深圳市中考备考百师助学培优课程——第11讲：《一线三等角模型》 教学设计

罗湖区中考备考百师助学培优课程之《一线三等角模型》
深圳市罗湖实验学校 熊梦玲
教材分析
“一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，这样会形成一组全等或相似三角形.根据等角的度数，此模型可分为锐角一线三等角、 直角一线三等角和钝角一线三等角.
“一线三等角”模型本质上是一个重要的基本几何模型，数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现形式，初中阶段的“一线三等角”模型是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律. 它一般不单独出现，通常与其他特殊图形结合，如等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形，以及与翻折、坐标系结合等，从而考查这些图形的性质.因此“一线三等角”模型可以出现在选择题、填空题的最后一题，也可以出现在解答题的几何证明、综合题中，是一个使用频率高、综合性较强的模型.平时的训练中，需要提升自己的模型思想，提炼问题的基本图形，利用基本图形的性质特点来突破考题，在具体分析过程中，也要结合数形结合思想，如根据题干信息提炼图形的结构特点，然后结合图形，采用代数运算的方式探求深层信息，促进信息的融合、转化.
核心素养分析
2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念、数据观念；数学学科核心素养也提到数学抽象和直观想象，逻辑推理和运算能力，数学模型和数据分析.因此在数学学习中，我们有必要及时归纳一些数学模型.“一线三等角”问题的核心思想就是模型思想，关键的解题途径是能从复杂图形中分离出此模型，把握基本图形并建立方程或函数，帮助我们塑造模型观念，增强数学能力，提高解题技巧，提升数学核心素养.
学情分析
本次教学设计的授课对象为九年级学生，学生已有与本课时内容相关的知识基础如下：①全等三角形的性质与判定；②相似三角形的性质与相似；③三角函数； ④二元一次方程（组）.
本课程适用于对中考几何题有一定解决能力并有待提升综合能力的学生，弥补和改善学生漏听或未听懂这部分知识的不足，旨在促进学生深入理解方法和思想，从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效果.
四、教学任务分析
1. 课堂教学目标
（1）知识与技能：探索“一线三等角”的基本特征，并且能够在不同背景中认识和把握基本图形，能利用“一线三等角”模型解决相关计算和证明问题；能够构造“一线三等角”模型，解决较为复杂的几何问题.
（2）过程与方法：通过观察分析，大胆猜想，探索“一线三等角”基本图形，培养学生合作交流、逻辑推理的能力；让学生在解决相关问题时感受几何基本模型对几何学习的重要性.
（3）情感态度与价值观：在学习活动中积累对数学的兴趣，培养与同学的交往、合作意识，在动手动脑的过程中发展想象力，体会模型思想、转化思想、分类讨论思想和数形结合思想；提高解题技巧，提升数学核心素养.
教学重点和难点
（1）教学重点
①识别“一线三等角”模型的基本特征，并应用“一线三等角”模型解决相关问题；
②构造“一线三等角”模型，解决复杂的几何问题.
（2）教学难点
构造“一线三等角”模型，并解决较为复杂的几何问题.
五、具体教学过程设计
1、概述：
引导学生回顾一线三等角模型的基本分类：
1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2, 结论：△ACP△BPD
1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2, 结论：△ACP△BPD
同侧
锐角 直角 钝角
异侧
2）相似篇：条件：∠1=∠CPD=∠2, 结论：△ACP∽△BPD
同侧
锐角 直角 钝角
异侧
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时.
结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.
结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.
结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
模块一 三角齐见，模型自现——图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题.
（一）典例精讲
如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG＝6，则BE的长为________．
例1图 例2图
解析：由题意可得：∠FDG=∠FGE=∠GBE=60°
∵ FGD∽ GEB，
∴DG=2，代入得,
设计意图：本题题目中已有“一线三等角”模型，直接运用模型导出相似，解决问题，需要学生利用已知条件发现模型，并运用模型.
如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cos∠α＝，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①②④
【分析】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；②由BD＝6，则DC＝10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；④依据相似三角形对应边成比例即可求得．
设计意图：本题题目中也已存在“一线三等角”模型，同时考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形与全等三角形的模型是解题的关键.．
（二）跟进练习——暂停视频课后巩固练习
如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，点F在AC上，且∠DEF＝45°．
（1）求证：△BED∽△CFE；
（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的长．
如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．
（1）如图1，当点Q在线段CA上时，
①求证：△BPE∽△CEQ；
②线段BE，BP，CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由；
（2）当△APQ为等腰三角形时，求的值．
3、模块二 模型隐藏，及时添补——模型隐藏，及时添补，图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.
（一）知识铺垫
找角、定线、构相似
如果直线上只有1个角，该角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的.两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
tan∠2=tan∠3=tan∠α，则∠1=∠2=∠3=α，
在NM的延长线上截取，在MN的延长线上截取，
（二）典例精讲
如图所示，一次函数与坐标轴分别交于 A、B 两点，点 P 是线段 AB 上一个动点（不包括 A、B 两端点），C 是线段 OB 上一点，∠OPC=45°，若△OPC 是等腰三角形，求点 P 的坐标_______________________.
【解答】①当CP=CO时，
∠COP=∠OPC=45°，∠OCP=90°，即PC⊥y轴.
又∵一次函数与坐标轴分别交于A、B两点，
∴中，令x=0，则y=4；令y=0，则x=4，
∴AO=BO=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，∴∠COP=∠CBP
∴OP=BP,
∴C是BO中点，∴CO=CP==2
∴P（2，2）
②当PC=PO时，过P作PD⊥y轴，
由①知，∴AO=BO=4，△AOB是等腰直角三角形，
∵∠ABO=∠BAO=∠OPC=45°，
∴△OAB△PBC（利用“一线三等角”模型所得，若大题，三角形全等需完整证明过程）
∴BP=AO=4
∴在Rt△BDP中，
∴OD=OB-BD=
∴P
综上，P（2，2）或
设计意图：已知两个相等的45°角，补上一个45°角，构造一线三等角模型的案例，并借助模型，证明得到全等，综合利用等腰三角形的性质，计算解决问题.
例2. 如图，△ABC中，，∠B=90°，AD=2，BC=4，则BD=_________.
【答案】分别延长BC、CB至F、E点，连接ED、AF，使得∠E=∠F=∠ACD，
∴
∴设BD=a，则BE=3a，ED=
∵AD=2，BC=4
∴BF=3（2+a），AF=，CF=BF-BC=2+3a
又∵∠E=∠F=∠ACD
∴△CDE∽△ACF(利用“一线三等角”模型所得，若大题，需推导两角相等证明相似）
∴
∴，整理可得a2+2a-8=0，解得a=2或- 4（舍）
经检验：a＝2是原方程的根
∴BD=2
设计意图：已知一线一等角，补全剩余两个角构成“一线三等角”模型的案例，本题使用模型可以充分利用直角三角形的性质和三角函数，体现了“一线三等角”模型的优势.
例 3. 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5，BC =______.
【答案】分别延长BC、CB至点E，H，连接AH，DE，使得∠H=∠E=45°，
∵∠H=∠E=45°，AB=3
∴HB=3，AH=
设BC=x，过D作DF⊥BC交BC于F，
∵AD=5，
∴FC=x-5，AC=
∵DF=AB=3，FC=x-5
∴DE=，CE=3-（x-5）=8-x
∵∠H=∠E=∠ACD=45°
∴△AHC∽△CED(利用“一线三等角”模型所得，若大题，需推导两角相等证明相似）
∴
∴ 整理可得，x2-5x-6=0，解得x1=6，x2=-1（舍）
经检验：x＝6是原方程的根，综上，BC=6
设计意图：已知一线一等角，补全剩余两个角构成“一线三等角”模型的又一案例，但本题的构造方式有多种，学生可以从多个维度去构造模型，都能解决问题，避免学生产生无法入手的焦虑.
本题还可作其他辅助线构造“一线三等角”模型：
（三）跟进练习——暂停视频课后巩固练习
如图，△ABC中，∠B=90°，∠CAD=45°，AB=3，CD=5，BD=___________.
阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的长；
小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE．
（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程．
（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：
如图3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．
4、模块三 有直角，“K”型现——有直角，“K”型现，图形中出现直角或45°，构造一线三直角（K型模型）
（一）知识铺垫
图1
图1 图2
其他特殊角，构造“一线三直角”
45o角构等腰直角三角形造“一线三直角”全等，如下图；
2. 30o角构直角三角形造“一线三直角”相似，如下图；
tanα=k→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如下图；
（二）典例精讲
如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是AB上的动点，连接DE，将△AED沿着DE折叠，A点落在F处，若EF∥AC，则AE的长度是 　 　．
【分析】过点F作FM⊥AB，垂足为M，并延长MF交CD于点N，设AE＝x，根据矩形的性质可得AD＝BC＝6，AB∥CD，∠DAE＝∠B＝90°，从而可得MN⊥CD，AC＝10，再利用折叠的性质可得AE＝EF＝x，∠DAE＝∠DFE＝90°，然后根据已知易证△FND∽△EMF，利用三角函数的性质可得MF＝，EM＝，从而表示出FN的长，最后根据相似比，列出关于x的方程进行计算即可解答．
设计意图：本题是利用已知直角，作垂线构造“一线三垂直”模型的案例，并结合模型利用相似、三角函数解决问题.
例2. 如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为(0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数的图像上，则点B的坐标为________________.
【解答】如图，作CD⊥AB于D，CG⊥x轴于G，过D点作EF∥OB，交y轴于E，交CG于F，设设点C的坐标为，点B的坐标为（a，0），AB的中点D的坐标为
利用△AED∽△DFC（“一线三直角”模型），有相似比，得到
，从而解决问题.
设计意图：本题中没有出现已知直角，但是出现了等边三角形，利用等边三角形“三线合一”的性质，先构造了直角，再作垂线构造“一线三垂直”模型的案例，并且是比较常见的反比例函数的结合，所以要对反比例函数的性质，三角函数熟练，这道题也对计算的要求较高，给计算能力强的学生提供了思考的方向.
（三）跟进练习——暂停视频课后巩固练习
如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝3AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为　 　 ．
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，∠BED+∠C＝90°，△BED与△FED关于DE对称，则DE的长为 　 　．
矩形ABCD在直角坐标系的位置如图所示，点，点C（0，5），反比例函数的图像交边AB、BC于D、E两点，且∠DOE=45°，则k=___________.
六、课后反思
本次教学通过问题引领学生经历模型的抽象－延伸－完备－整合－创建－综合应用，问题从简单到复杂，知识由具体到抽象，教学思路清晰明了，知识层层递进，思维拾阶而上，学生逐步养成用数学模型进行思考的学习习惯．
数学模型就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构．史宁中教授在《数学思想概论》中提出这样的观点：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型 ……”，可见模型对学生学习、研究数学的重要意义．基于此，教学中教师通过模型分类梳理，引导学生在探究中积累学习经验，掌握建模方法．
著名数学家波利亚指出，数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾，如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面. 因此学生在学习完老师所讲的内容后，应绘制属于自己的思维蓝图，建立知识网络，将模型巩固应用和升华.解题后的反思可避免解题的错误，优化解题方法，发现更多的问题，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生思维的深刻性、广阔性和灵活性.