深圳市中考备考百师助学培优课程——第12讲：《平行构造相似》 教学设计

第十二讲 相似多边形相关专题3：《平行构造相似》
------蒋沅润
知识技能梳理
相似三角形是初中数学中重要的内容，应用广泛：可以证明线段的比例式；也可证明线段相等、平行、垂直等；还可计算线段的长、比值，图形面积及比值。作平行线构造成比例线段及相似三角形是常见的添加辅助线的规律，其本质是构造“A”型或“X”型图形。
学习过程
模块一：作平行线构造双A型
例1. 如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且BD=DC，，求的值。
解法1 ：过点D作DG∥BE，交AC于点G
易证，设CD=EG=m， 则EC=2m
又 ∴
∴
解法2 ：过点E作EG∥AD，交BC于点G
易证，设EG=4m， 则AD=6m
又 ∴
∴ ∴
∴
例2．如图，E是AC的中点，直线EH交AD于点H，交CD的延长线于点B，且BC=3BD。
求的值。
解法1 ：过点E作AD的平行线
过点E作EN∥AD交CD于点N
易得△CEN∽△CAD，△BDH∽△BNE
∴
∵BC=3BD ， ∴ ∴
∴ ∴
解法2 ：过点A作BE的平行线
过点A作AQ∥BE交CB的延长线于点Q
∴
∵BC=3BD , ∴
∴
练习1
如图，点O是四边形ABCD对角线AC、BD的交点，∠BAD与∠ACB互补，＝，AD＝6，
AB＝7，AC＝5，则BC的长为　　．
【解答】解：过点O作OM∥AD交AB于M
∴＝，
∴AM＝×7＝，BM＝×7＝，
∵△BOM∽△BDA，
∴，
∴OM＝，
∵∠BAD+∠OMA＝180°，∠BAD+∠ACB＝180°，
∴∠OMA＝∠ACB， ∴△AMO∽△ACB，
∴，
∴BC＝
2．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF＝3EF，则＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：过点E作EH∥AD交BC于H，则＝，
∵BE是△ABC的中线，∴CE＝EA，∴CH＝HD，
∵EH∥AD，∴＝＝3，∴＝，
故选：B．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，
AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　　．
【解答】解：如图，过点D作DF∥AE，则＝＝，
∵＝，∴DF＝2EC，∴DO＝2OC，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，
此时△ABO的面积最大为：×4＝．
故答案为：．
模块二：作平行线构造双X型
例1. 如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且BD=DC，，求的值。
解法1 ：过点A作AG∥BC，交BE的延长线于点G。
易证，又BD=BC∴AG=BD
∴
解法2 ：过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G
易证AC=BG，
设AF=m， 则AG=4m ，AD=DG=2m
∴ ∴
例2．如图，E是AC的中点，直线EH交AD于点H，交CD的延长线于点B，且BC=3BD。
求的值。
解 ：过点B作AC的平行线
过点B作BM∥AC交AD延长线于点M
易得△BDM∽△CDA，△BHM∽△EHA
∴
∴
∴ ∴
∴ ∴
练习2
如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF，AC于P，Q，D，求BP：PQ：QD．
【解答】解：过D作DG∥BC，交AE于G，AH于H，
∵D为AC中点，∴DH是△AFC的中位线，
∴DH＝CF，CF＝2DH，
∵BE＝EF＝CF，∴BF＝2CF＝4DH，
∵DG∥BC，∴＝＝，∴QB＝4DQ，
∵DG是△AEC的中位线，∴DG＝CE＝EF＝BE，
∵DG∥BC，∴BP＝PD，
∴PQ＝1.5DQ，BP＝2.5DQ，
∴BP：PQ：QD＝5：3：2．
2．[阅读材料]
想一想在例3中，如果点D恰好是边AB的中点，那么点E是边AC的中点吗？此时，DE和BC有什么关系？△ADE与△EFC又有什么特殊关系呢？ 例3如图23.3.9，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．求证：△ADE∽△EFC．
[问题解决]
如图③，在△ABC中，P是边BC上的一点，且BP：PC＝2：1，连接AP，取AP的中点M，
连接BM并延长交AC于点N，若△AMN的面积为3，则△PMB的面积为 　　．
【解答】
过点P作PH∥AC交BN于点H，
∵PH∥AC，∴∠PHM＝∠ANM，
∵∠PMH＝∠AMN，AM＝PM，∴△PMH≌△AMN（AAS），
∴MH＝MN，S△PMH＝S△AMN＝3，
∵PM∥CN，BP：PC＝2：1，∴，∴，
∴S△PBH＝4S△PMH＝12，
∴S△PBM＝S△PBH+S△PMH＝12+3＝15．
故答案为：15．
3 .在△ABC中，点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B出发，在BC边上以相同的速度向C运动，过点D作DE∥BC交AC于点E．运动时间为t秒．
（1）若AB＝5，BC＝6，当t为何值时，四边形DFCE为平行四边形；
（2）连接AF、CD．若BD＝DE，求证：∠BAF＝∠BCD；
（3）AF交DE于点M，在DC上取点N，使MN∥AC，连接FN．
①求证：＝；
②若AB＝5，BC＝6，AC＝4，当MN＝FN时，请直接写出t的值．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，当DF∥AC时，四边形DFCE是平行四边形．
∴，∵AD＝BF＝t，∴BD＝5﹣t，∴，∴．
（2）证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，
∵AD＝BF，DE＝DB，∴，
∵∠ABF＝∠CBD，∴△ABF∽△CBD，∴∠BAF＝∠BCD．
（3）①证明：∵DE∥BC，∴△ADM∽△ABF，∴，
同理得：，∴．∴，
∵MN∥EC，∴，∴．
②与①可知，FN∥AB，
∵NM＝NF，∴∠NMF＝∠NFM，
∵∠BAF＝∠NFM，∠CAF＝∠NMF，∴∠BAF＝∠CAF，∴＝＝，
∴t＝BF＝×6＝．
模块三：做平行线构造A，X型
例1. 如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且BD=DC，，求的值。
解法1 ：过点D作DG∥AC，交BE于点G
证，又 ∴
∴
解法2 ：过点C作CG∥AD，交BE的延长线于点G
证， ∴
∴
例2．如图，E是AC的中点，直线EH交AD于点H，交CD的延长线于点B，且BC=3BD。
求的值。
解法 1 ：过点C作AD的平行线
过点C作CG∥AD交BE的延长线于点G
易得△BDH∽△BCG，△AEH∽△CEG
∴
∵BC=3BD, AE = CE ∴
∴
解法2 ：过点D作AC的平行线
过点D作DF∥AC交BE于点F
易得△BDF∽△BCE，△FDH∽△EAH
∴
∵BC=3BD , AE = CE
∴
练习3
如图，D、E是△ABC中BC边的两个三等分点，F是AC的中点，AD与EF交于O，
则等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：过点F作FH∥BC交AD于G．
∵FH∥BC∴△AFG∽△ACD
∵F是AC的中点．∴＝＝
又∵D、E是BC的分点．∴CD＝DE∴＝
又∵FH∥BC∴△GOF∽△DOE∴＝＝．
故选：A．
2．如图，已知AB＝AC，∠B＜30°，BC上一点D，满足∠BAD＝120°，，则＝　　．
【解答】解：如图，作BE∥AC交AD于E，作BH⊥AE于H，∴△ADC∽△EDB，
∴＝＝，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BE∥AC，∴∠DBE＝∠C，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴＝＝，
设AB＝AC＝6（个单位长度），
∴BE＝14，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAH＝60°，
∴AH＝3，BH＝3，
∴EH＝AH+AE＝3+AE，
在Rt△BEH中，根据勾股定理，得
∵EH2＝BE2﹣BH2，
∴，
∴AE＝10，
∴AD＝3，
∴＝＝．
故答案为：．
3 .抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，顶点为C。点P在第一象限抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，AP．若S△ACP：S△ADP＝4：5，求点P的坐标；
【解答】
解法1 ：
过点C作CE⊥x轴于点E，过点P作PF⊥x轴于点F
∴∠CED=∠PFD=90° ∴PF∥CE
∴△DPF∽△DCE
∴
∵ ∴
∴ ∴
∵
∴C（1,4） ∴CE=4 ∴
把 ，解得
∵点P在第一象限 ∴x＞0 ∴
解法2 ：
过点P作PN⊥x轴于点N，过点C作CM⊥PN于点M
∴∠CMP=∠BNP=90°
∵∠MPC=∠NPD ∴△CMP∽△DNP
∴
∵
∴ ∴
∵ ∴C（1,4）
∵CM∥y轴 ∴M与P纵坐标相同 即MN=4
∴
把 ，解得
∵点P在第一象限 ∴x＞0 ∴