深圳市中考备考百师助学培优课程——第13讲：一、二次函数与反比例函数应用题 教学设计

《一、二次函数与反比例函数应用题》
罗外初中 任平
知识梳理
一次函数、反比例函数和二次函数是初中数学最重要的三类函数模型，因此函数应用问题是中考的热点问题,随着新课标理念在考试命题方向的不断加深落实，函数与数学文化结合，与生活情景结合、跨学科类的应用题型变得丰富起来，对阅读能力、将实际问题转化为数学问题的抽象思维能力、用数学的思维和语言表达和解决实际问题的能力，思维创新的能力都有综合考查。
初中数学一次函数、反比例函数与二次函数应用考查分以下几方面：
1、结合实际问题确定函数类型，用待定系数法确定函数表达式
2、利用函数表达式和函数图象的性质，将实际问题转化为数学问题，用数
学符号建立方程、不等式表示数学问题中的数量关系和变化规律。
3、求出结果并讨论结果的意义，对实际问题进行解答。
主要数学思想：数形结合思想、函数方程思想、分类讨论思想
模块一 一次函数的应用
【例题精讲】
1、我国传统的计重工具秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为(厘米)时，秤钩所挂物重为(斤，则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
(厘米) 1 2 4 7 11 12
(斤 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50
(1)在上表，的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
(2)根据(1)的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？
【答案】 (1) ，这组数据错误 (2)4.5
【详解】解：(1)观察图象可知：，这组数据错误．
(2)设，把，，，代入可得，
解得，，
当时，，
答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤．
2、某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润(元)与销售量之间函数关系的图像如图中折线所示．请你根据图像及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
日期 销售记录
6月1日 库存，成本价8元/，售价10元/(除了促销降价，其他时间售价保持不变)．
6月9日 从6月1日至今，一共售出．
6月10、11日 这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/．
6月12日 补充进货，成本价8.5元/．
6月30日 水果全部售完，一共获利1200元．
(1)截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
(2)求图像中线段所在直线对应的函数表达式．
(1)400元；(2)
【详解】解：(1)(元)．
答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元．
(2)设点坐标为．
根据题意，得，
解这个方程，得．
∴点坐标为．
设线段所在直线的函数表达式为，
∵两点坐标分别为，，
∴ 解这个方程组，得．
∴线段所在直线的函数表达式为．
3、【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
【分析】任务1：依表计算即可；
任务2：根据待定系法确定关系式即可；
任务3：（1）根据题意计算即可；（2）设h＝kt+30，代入w计算化简，利用二次函数性质求w的最小值即可；
任务4：按照上一问题中的结论设计即可．
【解答】解：任务1：
变化量分别为：29﹣30＝﹣1（cm）；28.1﹣29＝﹣0.9（cm）；27﹣28.1＝﹣1.1（cm）；25.8﹣27＝﹣1.2（cm），
∴每隔10min水面高度观察值的变化量为：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2．
任务2：
设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝kt+b，
∵t＝0 时，h＝30；t＝10时，h＝29；
∴，解得：，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝﹣0.1t+30；
任务3：
w＝（30﹣30） +（29﹣29）2+（28﹣28.1）2+（27﹣27）2+（26﹣25.8）2＝0.05．
设优化后的一次函数为：h＝mt+30
w＝（0m+30﹣30）2+（10m+30﹣29）2+（20m+30﹣28.1）2+（30m+30﹣27）2+（40m+30﹣25.8）2＝3000（m+0.102）2+0.038，
∴当k＝﹣0.102时，w的最小值为0.038．
任务4：
在容器外壁每隔1.02cm标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了10分钟．
方法总结：（1）正确理解题意，建立一次函数模型；（2）将数据转化为点坐标，利用待定系数法确定函数表达式；
【针对练习】
1、如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t，y1（细实线）表示铁桶中水面高度，y2（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则y1，y2随时间t变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题考查函数的图象，圆柱体和长方体的灌水时间与容积之间的关系，底面面积越大，注水相同时间，水面上升的高度越慢．
【解答】解：根据题意，先用水管往铁桶中持续匀速注水，
∴y1中从0开始，高度与注水时间成正比，
当到达t1时，铁桶中水满，所以高度不变，
y2表示水池中水面高度，
从0到t1，长方体水池中没有水，所以高度为0，t1到t2时注水从0开始，
又∵铁桶底面积小于水池底面积的一半，
∴注水高度y2比y1增长的慢，即倾斜程度低，t2到t3时注水底面积为长方体的底面积，
∴注水高度y2增长的更慢，即倾斜程度更低，长方体水池有水溢出一会儿为止，
∴t3到t4，注水高度y2不变．
故选：C．
【总结】本题考查函数的图象，圆柱体和长方体的灌水时间与容积之间的关系，底面面积越大，注水相同时间，水面上升的高度越慢．解题的关键是倾斜程度的意义的理解．
2、甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可以计算出a的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出b的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距50米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④．
【解答】解：由图可得，
甲的速度为：600÷100＝6（米/秒），故③错误，不符合题意；
乙的速度为：600÷60﹣6＝4（米/秒），
a＝4×100＝400，故①错误，不符合题意；
b＝600÷4＝150，故②正确，符合题意；
设当甲、乙相距50米时，甲出发了m秒，
两人相遇前：（600﹣50）＝m（6+4），
解得m＝55；
两人相遇后：（600+50）＝m（6+4），
解得m＝65；故④正确，符合题意；
故选：C．
【总结】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3、（2023，株洲中考）某花店每天购进16支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理．该花店记录了10天该种花的日需求量（n为正整数，单位：支），统计如下表：
日需求量n 13 14 15 16 17 18
天数 1 1 2 4 1 1
（1）求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数；
（2）当n＜16时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：y＝10n﹣80；当n≥16时，日利润为80元．
①当n＝14时，问该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率．
【分析】（1）根据表格求解；
（2）把n＝14代入求解；
（3）把y＝70代入求解．
【解答】解：（1）1+1+2＝4，
答：花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天；
（2）①当n＝14时，y＝10n﹣80＝10×14﹣80＝60，
答：当n＝14时，该花店这天的利润为60元；
②当n＜16时，70＝10n﹣80，解得：n＝15，
当n＝15时，有2天，
∴
答：该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为．
4、（12分）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点 （x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．
例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）．
（1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；
（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示x，y；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；
（3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
【分析】（1）由待定系数法可求直线l1的解析式；由平移的性质可求直线l2的解析式；
（2）①由题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m），再得出点（2m，m），按照乙方式移动（10﹣m）次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；
②由①的结果可得直线l3的解析式，进而可画出函数图象；
（3）由题意可得点A，点B，点C的坐标，由待定系数法可求直线AB的解析式，即可求解．
【解答】解：（1）设l1的解析式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴l1的解析式为y＝﹣x+6，
将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式为y＝﹣x+15；
（2）∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了（10﹣m）次，
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m），
∴点（2m，m）按照乙方式移动（10﹣m）次后得到的点的横坐标为2m+10﹣m＝m+10，纵坐标为m+2（10﹣m）＝20﹣m，
∴x＝m+10，y＝20﹣m；
②∵x+y＝m+10+20﹣m＝30，
∴直线l3的解析式为y＝﹣x+30；
函数图象如图所示：
（3）∵点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，
∴点A（a，﹣a+6），点B（b，﹣b+15），点C（c，﹣c+30），
当a≠b≠c，﹣a+6≠﹣b+15≠﹣c+30时，
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝（﹣1+）x+6﹣，
∵点A，点B，点C三点始终在一条直线上，
∴c（﹣1+）+6﹣＝﹣c+30，
∴5a+3c＝8b，
当a＝b＝c时，则点A，点B，点C共线，
当﹣a+6＝﹣b+15＝﹣c+30时，﹣2a+b+c＝33，
∴a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b或a＝b＝c或﹣2a+b+c＝33．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，平移的性质，掌握平移的性质和一次函数的性质是解题的关键．
5、综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和
，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝ m，BC＝ m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】
（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为（4，2）；
（2）观察图象得到l2 与函数y＝ 图象没有交点，所以不能围出；
（3）平移直线y＝﹣2x通过（2，4），将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8；
（4）直线y＝﹣2x+a在点（1，8）和点（8，1）上面或两点之间移动，把（1，8）、（8，1）代入y＝﹣2x+a得a的值，再求a的范围．
【解答】解：（1）将反比例函数y＝与直线l1：y＝﹣2x+10联立得
，
∴＝﹣2x+10，
∴x2﹣5x+4＝0，
∴x1＝1，x2＝4，
∴另一个交点坐标为（4，2），
∵AB为xm，BC为ym，
∴AB＝4，BC＝2．
故答案为：（4，2）；4；2；
（2）不能围出；
y＝﹣2x+6的图象，如答案图中l2所示：
∵l2 与函数y＝图象没有交点，
∴不能围出面积为 8m2的矩形．
（3）如答案图中直线l3所示：
将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8．
（4）∵AB和BC的长均不小于1m，
∴x≥1，y≥1，
∴≥1，∴x≤8，∴1≤x≤8，
∵直线y＝﹣2x+a在点（1，8）和点（8，1）上面或两点之间移动，
把（1，8）代入y＝﹣2x+a得a＝10，
把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17，
∴10≤a≤17．
【点评】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象得交点问题．
模块二 反比例函数的应用题
【例题精讲】
1、视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表.
素材1国际通用的视力表以5米为检测距离,任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b(mm)，在平面直角坐标系中描点如图1.
探究1检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“ E”形图边长.
素材2图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ，视力值n与分辨视角θ(分)的对应关系近似满足n=(0.5≤θ≤10).
探究2当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ范围.
素材3如图3，当θ确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为 b 的Ⅱ号“E”测得的视力相同.
探究3若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长.
【解答】解：
探究1:由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，
设n=(k≠0)，将其中一点(9,0.8)代入得: 0.8=
解得: k=7.2，
n=，将其余各点一一代入验证，都符合关系式;
将n=1.2代入n=得:b=6;
答:检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm;
探究2: ∵n=
在自变量0的取值范围内，n随着θ的增大而减小，
当n≥1.0时，0<≤1.0，又∵0.5≤≤10，0.5≤≤1.0;
探究3:由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得
由探究1知b1=6， 解得b2=3.6
答:检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为3.6mm.
2、建筑是一门不断演化和创新的艺术，从古代的大理石殿堂到现代的钢铁森林，它的魅力在于其无限的可能性．近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图2为某广东厂家设计制造的双曲铝单板建筑的横截面，可以看作由两条曲线EG、FH（反比例函数图象的一支）和若干线段围成，其中四边形ABDC与四边形GMNH均为矩形，AB＝2m，BE＝2m，AC＝20m，GM＝10m，MN＝4m，如图2所示，取AC中点O，以点O为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．请回答下列问题：
（1）如图2，求EG所在双曲线的解析式．
（2）如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架EG，并加装了始终垂直于EG的伸缩机械臂PQ用来雕刻EG所在曲面的花纹，请问点P在EG上滑动过程中，PQ最长为多少米？
（3）如图4，为通风透气避免潮湿，在某一时刻，打开遮光板AC，太阳光线经点A恰好照射到点E，请求出此时线段HN上光线无法直射部分即线段KN的长．
【解答】解：（1）∵AC＝20m，AB＝2m，BE＝2m，O为AC中点，AO＝10m，
∴E（﹣8，﹣2），
设EG所在双曲线的表达式为，
将点E坐标（﹣8，﹣2）代入表达式中，
得：，
解得k＝16，
∴双曲线的表达式为；
（2）如图：点E与点G坐标分别为（﹣8，﹣2），（﹣2，﹣8），
设EG所在直线解析式y＝k1x+b1，将E、G两点坐标代入得，
解得k1＝﹣1，b1＝﹣10，
∴EG所在直线解析式为y＝﹣x﹣10，
根据反比例函数图象轴对称的性质，曲线EG关于直线y＝x对称，
∴，解得x＝y＝﹣5，
∴P（﹣5，﹣5），
解得x＝y＝4，
∵Q在第三象限，∴Q（﹣4，﹣4）；
∴PQ的最大值为＝；
（3）如图，光线与曲线EG相切于T，设直线AE的解析式为 y＝k2x+b2
将点A（﹣10，0），点E（﹣8，﹣2）代入得，解得
∴AE所在直线解析式为y＝﹣x﹣10，
∵TK∥AE，
∴设直线TK解析式为y＝﹣x+m，
∴，
解得m＝﹣8或m＝8（舍），
∴TK解析式为y＝﹣x﹣8，
将x＝2分别代入y＝﹣x﹣8，y＝﹣，
解得点K（2，﹣10），点G（﹣2，﹣8），点M（﹣2，﹣18）点N（2，﹣18），
∴KN＝﹣10﹣（﹣18）＝8．
【针对练习】
1、如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点O25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1＝9.8N）的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1，以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据杠杆原理可得，F L＝25×9.8，
∵把弹簧秤与中点O的距离L记作x，弹簧秤的示数F记作y，
∴xy＝245（0＜x≤50）；
∵5×49＝245，
4.9×50＝245，
故F关于L的函数图象大致是选项C．
故选：C．
2、2023年杭州亚运会跳水女子10米跳台，中国运动员全红蝉表现出色，第二跳动作向内翻腾三周半获得了7名裁判全部打出10分满分，并最终获得冠军．在正常情况下，运动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作，并且准备好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间t（秒）和运动员距离水面的高度h（米）之间满足的系：．
（1）为避免出现失误，那么运动员最多有多长时间完成规定动作？
（2）为保证跳水运动员安全，标准的跳水池长、宽、深都有一定的规定，某校计划修建一周长为200米的长方形跳水池，假设面积为s米，一边长为x米，另一边长为y米
①根据已知条件请用x表示y= ；用s、x表示y= ．
②如下示意图所示为y和x的示意图，请根据图象说明当面积s取最大值时，x的值，并求出面积的最大值．
解：（1）由题意知，
解得： (舍去)
答：为避免出现失误，运动员最多有秒完成规定动作
① 根据已知条件请用x表示y= 100-x ；用s、x表示y= .
②由图像可知，当反比例函数与一次函数仅有一个交点的时候，s有最大值。
联立得：
化简得：
∵函数仅有一个交点
∴
∴s最大值为2500
答：面积s的最大值为2500
3、教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，如图（1）在正方形绿化带ABCD内修建一个矩形耕种园AEFG，其中点G在AD上，点E在AB上，已知正方形绿化带ABCD的面积为400m2，AB，AD是墙壁，BC、CD无墙壁．已知矩形耕种园AEFG的面积为正方形花园面积的，该耕种园借助绿化带的墙壁，只设置围栏GF、EF即可．小明用所学的数学知识进行了如下探究．
（1）建立数学模型由题意知，此耕种园的面积为，设AE＝x米，则米．设所需围栏的长度为y米，则y关于x的函数解析式为 ；
（2）画出函数图象：
x 5 8 10 12.5 16 20
y 25 20.5 20 20.5 22.25 a
①列表：其中，a＝ ；
②请根据上表数据，在如图（2）所示的平面直角坐标系中描点，并画出y关于x的函数图象，其中，自变量x的取值范围是 ；
（3）观察函数图象，解决问题：
①当所用围栏20米时，求AE的长；
②若围栏的长度为b米，则b的取值范围为 时，每一个b值都对应两种围栏方式．
【解答】解：（1）∵四边形AEFG为矩形，
∴GF＝AE，EF＝AG，
∴围栏的长度，
故荅案为：；
（2）①将x＝20代入可得：y＝25，
∴a＝25；
故答案为：25；
②根据表中数据描点作图如下：
由图可得自变量x的取值范围是5≤x≤20；
（3）①当y＝20时，
，
解得：x＝10，
答：AE的长为10米；
②当b＝25时有x＝5或x＝20两种方案，
当b＝20时只有x＝10一种种方案，
当20＜b≤25时每个函数值都有两个自变量与之相对应，
∴20＜b≤25．
4、【问题情境】
如图1，木匠陈师傅现有一块五边形ABFED木板，它是由矩形ABCD木板用去△CEF后的余料，AD＝4，AB＝5，DE＝1，点F是BC边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在AD上，并使得所截矩形材料的面积最大．
【初步探究】
若BF＝2时，爱动脑筋的小明尝试对特殊位置矩形面积进行计算．
特殊位置1：若截取的矩形有一边是DE，则截取的矩形面积是 ；
特殊位置2：若截取的矩形有一边是BF，则截取的矩形面积是 ．
【问题解决】
计算：当BF＝2时，小明发现可以截取出比特殊位置1或特殊位置2时面积更大的矩形，请你计算出该矩形面积的最大值．
应用：如图2，陈师傅还有另一块余料，∠BAF＝∠AFE＝90°，AB＝EF＝1，CD＝3，AF＝9，CD∥AF，且CD和AF之间的距离为5，曲线是反比例函数y＝图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在AF上，则所截矩形材料面积的最大值是 ．
【深度思考】
经探究，小明发现，当BF满足某个条件时，符合陈师傅要求的矩形恰好另一条边是BF，请问：BF需满足什么条件，请说明理由．
解：【初步探究】特殊位置1如图，
以AD，DE为边的矩形面积为4×1＝4，
故答案为：4；
特殊位置2
如图，
以AB，BF为边的矩形面积为5×2＝10，故答案为：10；
【问题解决】
计算：如图，
当G在EF上，矩形为AMGN时，延长MG交CD于H，设EH＝x，
由矩形的性质可得GH∥CF，则△EGH∽△EFC，
∴，
∴，
∴GH＝，
∴S＝，
∵-，
当x＝时，S最大值＝，
∴该矩形的面积最大值为，
应用：
如图，在AF上取点O，满足AO＝4，FO＝5，建立平面直角坐标系，曲线是y＝的一部分，
∵CD与AF之间的距离为5，
∴D（1，5），E（5，1），A（﹣4，0），B（﹣4，1），C（﹣2，5），
当矩形为MNGH时，
设BC为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴BC：y＝2x+9，
设G（），
把y＝t代入y＝2x+9得：x＝，
∴H（），
∴S＝MN NG＝（）t＝5﹣＝﹣，
∵-，
∴当t＝时，S有最大值，
此时S＝﹣，
∴所截矩形材料面积的最大值是，
故答案为：；
【深度思考】
如图
设EH＝x，BF＝a（a＜4），
∵，
∴，
∴GH＝，
∴S＝（1+X）（4﹣）＝- ，
∵-，
∴当x＝﹣＝时，S有最大值，
又∵矩形的一边为BF，即1+x＝5，
∴x＝4，∴，∴a＝，经检验，符合题意，∴BF的长为．
模块三：二次函数的应用
【例题精讲】
深圳地铁16号线(ShenzhenMetroLine16)，又称“深圳地铁龙坪线”，是深圳市境内第16条建成运营的地铁线路，于2022年12月28日开通运营一期工程(大运站至田心站)。数学小组成员了解到16号线地铁进入某站时在距离停车线400米处开始减速.他们想了解地铁从减速开始，经过多少秒在停车线处停下 为解决这一问题，数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离s(米)与时间t(秒)的函数关系，再应用该函数解决相应问题.
（1）【建立模型】①收集数据：
t（秒） 0 4 8 12 16 20 24 28 …
S（米） 400 324 256 196 144 100 64 36 …
②绘制图像：在平面直角坐标系中描出所收集数据对应的点，并用光滑的曲线依次连接
③猜想模型：观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象.（请填写选项）
A．一次 B. 二次 C.反比例
④求解析式：请根据表格数据，求出S关于t的解析式（自变量t的取值范围不作要求）
⑤验证结论：将数据中的其余几对值所求的解析式，发现他们 （“都”或“不都”）满足该函数解析式。
（2）【问题解决】：地铁从减速开始，经过 秒在停车线处停下。
（3）【拓展应用】:已知16号地铁列车在该地铁站经历的过程如下:进站:车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒;停靠:列车停靠时长为40秒(即列车停稳到再次启动停留的时间为40秒);出站:列车再次启动到列车车头刚好出站，用时5秒.数学小组经计算得知，在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离s(米)与时间t(秒)的函数关系变为
s =(t -80) (80 ≤t≤100)，请结合函数图象，求出该地铁站的长度是__米.
【详解】解：
(1)③根据图象可得:观察这条曲线的形状，它可能是二次函数的图象，故答案为:B;
④设函数为s = at + bt +c（a）,
把(0,400)，(4,324)，(8,256)代入s = at + bt +c可得:
解得：：
S关于t的解析式为：s= -20t+400
⑤当t=12时 ,s = -20+400=196
当t= 16时，s = -20+400=144
当t=20时，s = -20+400= 100;
当t=24时，s = -20+400= 64
当t=28时，s= -20+400=36
故答案为:都;
(2)在s=t -20t+400中，令s=0得;
0=t -20t+400,
解得t1=t2=40,
地铁从减速开始，经过40秒在停车线处停下
(3)由题意可得:地铁从减速开始，经过40秒在停车线处停下，车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒，
当t= 16时，s=144，此时站内长度为144米，
在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离与时间t(秒)的函数关系变为
s =(t -80)
当t = 85时，整个站的长度为: s = (85-80) =12.5, 144+12.5=156.5(米)
故该地铁站的长度156.5米.
如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造
型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．
【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为y＝ax2+9，待定系数法求解即可；
（2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求；
（3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得b的取值范围即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+9，
把点A（3，0）代入，得：9a+9＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+9；
（2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求；
把x＝1代入y＝﹣x2+9，得：y＝8，∴B（1，8）
设直线A′B的解析式为y＝kx+m，
∴，
∴y＝2x+6，
令x＝0，得y＝6，∴P点的坐标为（0，6）；
（3）y＝﹣x2+2bx+b﹣1＝﹣（x﹣b）2+b2+b﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝b，顶点坐标为（b，b2+b﹣1），
（1）当0＜b≤4时，得：
﹣62+12b+b﹣1≥9，解得：，
∴≤b≤4，
（2）当4＜b＜6时，
由b﹣4＞6﹣b，得：b＞5，
∴﹣42+8b+b﹣1≥9，解得：
∴5＜b＜6；
由b﹣4≤6﹣b，得：b≤5，
∴﹣62+12b+b﹣1≥9，解得：，
∴4＜b≤5；
∴当4＜b＜6时，都成立；
（3）当b≥6时，得：
∴﹣42+8b+b﹣1≥9，解得：，∴b≥6都成立，综上所述，b的取值范围为．
【针对练习】
为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式
销量q（千克）与x的函数关系式为q＝x+10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；
（3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
【分析】（1）用待定系数法可得m，n的值；
（2）由销售额W＝pq，分两种情况可得答案；
（3）分两种情况，结合（2）可列出方程解得答案．
【解答】解：（1）把（5，50），（10，40）代入p＝mx+n得：
∴p＝﹣2x+60（1≤x＜20），
故答案为：﹣2，60；
（2）当1≤x＜20时，W＝pq＝（﹣2x+60）（x+10）＝﹣2x2+40x+600；
当20≤x≤30时，W＝pq＝30（x+10）＝30x+300；
∴
（3）在W＝﹣2x2+40x+600中，令W＝1000得：﹣2x2+40x+600＝1000，
整理得x2﹣20x+200＝0，方程无实数解；
由30x+300＞1000得，
∵x整数，∴x可取24，25，26，27，28，29，30，
∴销售额超过1000元的共有7天．
2、用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图1)．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H(单位：m)，如果在离水面竖直距离为h(单校：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm)与h的关系为s2=4h(H—h)．
图1 图2
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔．
(1)写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【答案】(1)，当时，；(2)或；(3)垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm
【详解】解：(1)∵s2=4h(H-h)，
∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400，
∴当h=10时，s2有最大值400，
∴当h=10时，s有最大值20cm．
∴当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
故答案为：最大射程是20cm.
(2) ∵s2=4h(20-h)，
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a(20-a)=4b(20-b)，
∴20a-a2=20b-b2，
∴a2-b2=20a-20b，
∴(a+b)(a-b)=20(a-b)，
∴(a-b)(a+b-20)=0，
∴a-b=0或a+b-20=0，
∴a=b或a+b=20.
故答案为：a=b或a+b=20.
(3)设垫高的高度为m，则
∴当时，
∴时，此时
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
故答案为：垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm.
3、如图1，排球场长为，宽为，网高为．队员站在底线点处发球，球从点的正上方的点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为．即．这时水平距离，以直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图2．
(1)若球向正前方运动(即轴垂直于底线)，求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式(不必写出取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；
(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点(如图1，点距底线，边线，问发球点在底线上的哪个位置？(参考数据：取
【详解】解：(1)设抛物线的表达式为：，
将，代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：；
当时，，
当时，，
故这次发球过网，但是出界了；
(2)如图，分别过点作底线、边线的平行线、交于点，
在中，，
当时，，解得：或(舍去，
，而，故，
，发球点在底线上且距右边线0.1米处．
4、某公司生产型活动板房成本是每个425元．图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．
(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式；
(2)现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为50元．已知，求每个型活动板房的成本是多少？(每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本+一扇窗户的成本)
(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价(元)定为多少时，每月销售型活动板房所获利润(元)最大？最大利润是多少？
【答案】(1)(2)500(3)n=620时，w最大=19200元
【详解】(1)由题可知D(2,0)，E(0,1)代入到
得 解得
∴抛物线的函数表达式为；
(2)由题意可知N点与M点的横坐标相同，把x=1代入，得y=
∴N(1，) ∴MN=m
∴S四边形FGMN=GM×MN=2×=，
则一扇窗户的价格为×50=75元，因此每个B型活动板的成本为425+75=500元；
(3)根据题意可得w=(n-500)(100+20×)=-2(n-600)2+20000,
∵一个月最多生产160个，
∴100+20×≤160 解得n≥620
∵-2＜0，∴n≥620时，w随n的增大而减小
∴当n=620时，w最大=19200元．
5、篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分(如图1所示建立直角坐标系)，抛物线顶点为点B．
(1)求该抛物线函数表达式．
(2)当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．
①求OD的长．
②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E(4，1.3)．东东起跳后所持球离地面高度h1(m)(传球前)与东东起跳后时间t(s)满足函数关系式h1＝﹣2(t﹣0.5)2+2.7(0≤t≤1)；小戴在点F(1.5，0)处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2(m)与东东起跳后时间t(s)的函数关系如图2所示(其中两条抛物线的形状相同)．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由(直线传球过程中球运动时间忽略不计)．
【答案】(1)y＝﹣2(x﹣0.4)2+3.32；(2)①1m；②能，
【详解】解：(1)设y＝a(x﹣0.4)2+3.32(a≠0)，
把x＝0，y＝3代入，解得a＝﹣2，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣2(x﹣0.4)2+3.32．
(2)①把y＝2.6代入y＝﹣2(x﹣0.4)2+3.32，
化简得(x﹣0.4)2＝0.36，
解得x1＝﹣0.2(舍去)，x2＝1，∴OD＝1m．
②东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E．
由图1可得，当0≤t≤0.3时，h2＝2.2．
当0.3＜t≤1.3时，h2＝﹣2(t﹣0.8)2+2.7．
当h1﹣h2＝0时，t＝0.65，
东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，
设MD＝h1，NF＝h2，
当点M，N，E三点共线时，过点E作EG⊥MD于点G，交NF于点H，过点N作NP⊥MD于点P，
∴MD∥NF，PN∥EG，
∴∠M＝∠HEN，∠MNP＝∠NEH，
∴△MPN∽△NEH，∴，
∵PN＝0.5，HE＝2.5，∴NH＝5MP．
(Ⅰ)当0≤t≤0.3时，
MP＝﹣2(t﹣0.5)2+2.7﹣2.2＝﹣2(t﹣0.5)2+0.5，
NH＝2.2﹣1.3＝0.9．∴5[﹣2(t﹣0.5)2+0.5]＝0.9，
整理得(t﹣0.5)2＝0.16，
解得(舍去)，，
当0≤t≤0.3时，MP随t的增大而增大，
∴．[]
(Ⅱ)当0.3＜t≤0.65时，MP＝MD﹣NF＝﹣2(t﹣0.5)2+2.7﹣[﹣2(t﹣0.8)2+2.7]＝﹣1.2t+0.78，
NH＝NF﹣HF＝﹣2(t﹣0.8)2+2.7﹣1.3＝﹣2(t﹣0.8)2+1.4，
∴﹣2(t﹣0.8)2+1.4＝5×(﹣1.2t+0.78)，
整理得t2﹣4.6t+1.89＝0，
解得，(舍去)，，
当0.3＜t≤0.65时，MP随t的增大而减小，
∴．
(Ⅲ)当0.65＜t≤1时，h1＜h2，不可能．
给上所述，东东在起跳后传球的时间范围为．