深圳市中考备考百师助学培优课程——第14讲：手拉手模型常见结论的证明和应用 教学设计

《“手拉手”模型常用结论的证明及应用》教学设计
手拉手模型，也叫整体旋转法，是中考最重要的模型之一，全国一年176套中考卷中，
有40%的卷子考到此模型。手拉手模型分为“全等手拉手”和“相似手拉手”，在解决手拉手模型的问题时，需要灵活运用全等三角性和相似三角形的性质与判定方法，以及轴对称的性质和判定方法来进行证明。同时，还需要掌握基本的手拉手模型形式及其变形情况，才能更好的解决相关问题。
教学目标
知识与技能：了解手拉手模型的组成条件，探究“全等手拉手”模型和“相似手拉手”模型的常用结论，会利用手拉手模型来解决几何问题;
过程与方法：在探究手拉手模型常用结论的过程中，培养分析问题、解决问题的能力，培养模型思想；
情感态度与价值观：养成主动探索、获取知识的习惯，感受探索的乐趣和成功的体验，激发学生学好数学的愿望和信心.
重点难点
重点：探索全等手拉手模型、相似手拉手模型的常用结论；
难点：利用旋转、全等、相似等知识解决手拉手模型的相关问题.
教学过程
全等手拉手模型
精典例题
例1：如图，在线段BD上取一点A，在同侧作等边△ABC和等边△ADE，连接BE、CD，求证：(1)△ABE≌△ACD; (2)BE=CD; (3)△AFB≌△AGC; (4)△AFE≌△AGD;(5)△AFG是等边三角形;(6)∠COB=∠CAB; (7)OA平分∠BOD;(8)FG//BD.
例2：如图，已知正方形ABCD和正方形DEFG有公共顶点D，连接AG，CE，相交于点H.求证:(1)△ADG≌△CDE;(2)AG CE;(3)HD平分∠AHE;(4)AC2+EG2=AE2+CG2 .
跟踪练习
1．（2022秋 界首市校级月考） ( http: / / www.m / math / report / detail / 7032e7a1-dc99-4473-ba9d-8115a5401dd9" \t "http: / / www.m / math / ques / detail / _blank )如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝30°，∠ACE＝25°，则∠ADE的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
2．（2023秋 江阳区校级月考） ( http: / / www.m / math / report / detail / 16a8e7ec-ef41-4254-a1c4-e82647af721b" \t "http: / / www.m / math / ques / detail / _blank )已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2020春 富县期末） ( http: / / www.m / math / report / detail / c570e71a-9a83-4294-8b0d-a484b8021583" \t "http: / / www.m / math / ques / detail / _blank )如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE．（1）求证：BG＝DE；（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度数．
4．（2019秋 新都区期末 ( http: / / www.m / math / report / detail / cd429fde-83ff-461b-bfb9-6644ee0741ad" \t "http: / / www.m / math / ques / detail / _blank )如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：2，CD＝，求线段AB的长．
相似手拉手模型
精典例题
例3：如图，已知△ABC∽△ADE，求证：（1）△ABD∽△ACE; （2）∠BFC=∠BAC.
跟踪练习
1．如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，AC＝AD，∠ACD＝60°，则对角线BD长的最大值为（　　）
A．5 B．2 C．2 D．1
2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，则BD＝（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
3．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，则有△BAD≌　 　．
（2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，D，E在同一条直线上，连接CE，试探究线段BE，CE，DE之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∠AEC＝135°，求证：BE⊥CE．
手拉手综合题
例5:（2019 玄武区一模） ( http: / / www.m / math / report / detail / 3713bf9a-9b00-44f9-ab83-d40dabeabc03" \t "http: / / www.m / math / ques / detail / _blank )如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则＝（　　）
A． B． C． D．
例6:（2022 深圳中考） ( http: / / www.m / math / report / detail / 943f6960-17b1-4547-b3af-9e3355331110" \t "http: / / www.m / math / ques / detail / _blank )已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD＝45°，则AF长为 　 　．
跟综练习
1．（2022 无锡） ( http: / / www.m / math / report / detail / 680c4ac8-f6ec-4f34-ba1a-5b79116980d5" \t "http: / / www.m / math / ques / detail / _blank )△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝　 　°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 　 　．
2．（2023 成都） ( http: / / www.m / math / report / detail / 57eb4c26-0721-49ce-80d8-1f16e6ebc64a" \t "http: / / www.m / math / ques / detail / _blank )探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且＝（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．
【初步感知】
（1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF＝AB，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
【拓展运用】
（3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB＝2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．
教学反思
本节课从全等手拉手模型、相似手拉手模型、手拉手综合题三个模块进行探索，题目从易到难，每个模块都有两个精典例题，2-4道跟综练习。熟悉手拉手模型，有助于学生在遇到相关问题时快速作出判断，从而顺利解决问题。模块一和模块二难度不大，适合中等及以上的学生学习，模块三难度比较大，适合优等生学习。