深圳市中考备考百师助学培优课程——第16讲：对角互补模型 教学设计

教学设计
课 题 第十六讲《对角互补模型----全等、相似、圆》 课时 课 型 复习
教学目标 经历对角互补模型有特殊到一般的探索过程，发展学生的合情推理能力；探索并证明的过程，培养学生的逻辑素养，利用模型的三个模块体会数学分类讨论，转化，化归，类比等数学思想在数学中的应用。
教学重点 理解并掌握构建全等三角形和相似三角形解决几何问题。
教学难点 应用构建图形的方式解决几何问题。
教学方法 自主学习，合作探究式学习
课前准备 自主学习单，直尺，三角板，圆规
教学过程 师生活动
模块一：全等型 典例精讲：如图，已知OC平分∠AOB，， 的两边分别与OA交于点D，OB交于点E，试探究以下结论： （（1）当， （①CD与CE的数量关系为 ； ②OD、OE与OC之间的数量关系为 ； ③与OC之间的数量关系为 ； （（2)当，以上关系式是否还成立？若不成立写出关系式，并说明理由。 （(3）当为任意锐角时，请用含有的式子表示 ①CD与CE的数量关系为 ； ②OD、OE与OC之间的数量关系为 ； ③与OC之间的数量关系为 ； 例1.如图，在四边形ABCD中，CA平分，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，若四边形ABCD的面积为 ，则AC= 。 例2.已知：如图①，在四边形ABCD中，=DB平分 求证：AB=BC 如图②，若试判断形状，并说明理由。 如图③，在（2）的条件下，在AB上取一点E，BC上取一点F，连接CE，AF，并交于点M，连接EF。若AD=EF=7，CD=8（CF），求AE的长。 图① 图② 图③ 【归纳总结】对角互补的四边形中，有一条对角线是角平分线时，可以构造全等三角形来解决边，角和面积问题。 模块一：跟踪练习 在正方形ABCD中，AB=4，点E在对角线BD上，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F。若BF=1，则 。 2.矩形ABCD，AB=6，AD=5，G为CD中点，DE=DG，于F，则DF的长为 。 3.如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若，则的值为________． 模块二：相似型 模块二：典例精讲 如图，已知∠AOB＝90 ，OC为∠AOB内部一条射线， ∠DCE=90 ，交OA边于点D，交OB边于点E，∠BOC＝. 求证：CE=CD tan 例1、在四边形ABCD中，∠A+∠C=180，AD=2CD， 若，则 。 例2.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． 问题发现： （1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则　　； ②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则　　； 拓展研究：如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：； 解决问题：如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值． 图① 图② 图③ 图④ 模块二：跟踪练习 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，且∠EDF＝90°，若AC＝3，BC＝4，DE＝2DF时，则AD的长为________． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，P是线段AC的中点，点M为线段AB延长线上一点，点N为线段BC延长线上一点，且∠MPN＝90°，则＝ ． 3.问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.试猜想线段BF和CG的数量关系，并加以证明. （1）数学思考：请解答上述问题. （2）问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若，，求的值. （3）问题拓展：在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出的面积. 【归纳总结】对角互补的四边形中，有一组邻边成比例，可以构造相似三角形来解决问题。
模块三：四点共圆--综合题 模块三：典例精讲 已知：如图，在四边形ABCD中，已知∠A=∠C=90°，求证A、B、C、D四点共圆. 归纳：当∠A+∠C=180°时，可以得出点A，B，C，D四点共圆。 【例1】.如图，正方形 ABCD，点 P 是对角线 AC 上一点，连接 BP，过 P 作 PQ⊥BP，PQ 交 CD 于 Q，连接 BQ 交 AC 于 G，若 AP，Q 为 CD 中点，则下列结论： ①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形 ABCD 的面积是16；其中正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 模块三：跟踪练习 如图，点 M、N 分别是正方形 ABCD 的边 BC，CD 上的动点（不与B， C，D 重合），且始终保持∠MAN＝45，AM，AN 分别交 BD于点 E，F，以下四个结论：①AF⊥FM；②；③当∠BAM＝22.5°时，∠FMN＝∠BAM；④DN+BM＝MN．其中正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2、已知：在正方形 ABCD 中，点 E 是边 AB 上点，点 G 在边 AD 上，连接 EG，EG＝DG，作 EF⊥EG，交边 BC 于点 F（图1）． 求证：AE+CF＝EF； （2）连接正方形 ABCD 的对角线 AC，连接 DF，线段 AC 与线段 DF 相交于点 K（图2），探究线段 AE、AD、AK 之间的数量关系，直接写出你的结论； （3）在（2）的条件下，连接线段 DE 与线段 AC 相交于点 P，（图3）若 AK＝． △BEF 的周长为24，求 PK 的长． 图1 图2 图3 3.（2022 广州越秀区） （1）【基础巩固】如图1，△ABC内接于⊙O，若∠C＝60°，弦AB＝2，则半径r＝　 　； （2）【问题探究】如图2，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝60°，AD＝DC，点B为弧AC上一动点（不与点A，点C重合）． 求证：AB+BC＝BD； （3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段AD、AB、BC）和一条道路劣弧围成，已知CM＝DM千米，∠DMC＝60°，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点P在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM、MC、CP、PD，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由． 【总结提升】 今天你有哪些收获？ 作业：完成自主学习单 学生自主探究 当， 时，写出结论，并说明理由 师生共同归纳，为任意锐角时，三种数量关系。 师生共同探究归纳方法 精讲精练 巩固训练 师生共同探究对角互补的四边形，一组邻边成比例时的边角关系。 精讲精练 学生独立完成，教师指导 巩固训练 师生共同归纳总结方法 利用四边形中一组对角是90时，可以证明这四个顶点在同一个圆上，由特殊到一般可以归纳出当四边形对角互补时，这四个顶点是在同一个圆上的。 精讲精练 巩固训练 师生共同总结归纳
板书设计： 对角互补四边形 模块一：全等型 例题： 模块二：相似型 练习： 模块三：四点共圆
教后反思：