8.5.3 平面与平面平行——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练（含解析）

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8.5.3 平面与平面平行——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练
一、选择题
1．如图，在直三棱柱中，O是与的交点，D是的中点，，，给出下列结论.
①AB与是相交直线；
②平面；
③平面平面；
④平面，
其中正确的结论是( )
A.①② B.③④ C.②③ D.②④
2．若、是两个不重合的平面，
①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；
②设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则；
③若外一条直线l与内的一条直线平行，则.
以上说法中成立的有( )个.
A.0 B.1 C.2 D.3
3．设,为两个平面,则的充要条件是( )
A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行
C.,平行于同一条直线 D.以上答案都不对
4．设α，β，γ是三个不同平面，且，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．设a，b为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )
A.若，，则 B.若，，，则
C.若，，，则 D.若，，，则
6．已知m,n为不同的直线,,为不同的平面,下列命题为假命题的是( )
A., B.,
C., D.,
7．已知两个不同的平面，和两条不同的直线m，n，下面四个命题中，正确的是( )
A.若，，则
B.若，且，，则
C.若，，则
D.若，，则
8．在正方体中,M,N分别为,的中点,则下列结论正确的个数为( )
①平面;
②;
③直线与所成角的余弦值为
④过M,N,三点的平面截正方体所得的截面为梯形
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多项选择题
9．已知m,n是2条不同的直线,,,是3个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,则
D.若,,则
10．如图,在棱长为2的正方体中,已知M,N,P分别是棱,,的中点,点Q满足,,下列说法正确的是( )
A.平面
B.若Q,M,N,P四点共面,则
C.若,点F在侧面内,且平面,则点F的轨迹长度为
D.若,由平面分割该正方体所成的两个空间几何体为和,某球能够被整体放入或,则该球的表面积最大值为
三、填空题
11．设，，为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，，，则；
③若，，则；
④若，，，，则.
其中真命题的编号为_________.
12．在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是侧面四边形内（不含边界）一点.若平面AEF，则线段长度的取值范围是___________.
13．如图所示，在正方体中，E，F，G，H分别是棱，，，的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足___________（写出一种情况即可）时，有平面.
14．如图，在直三棱柱中，D为的中点，点P在侧面上运动，当点P满足条件__________时，平面BCD.（填一个满足题意的条件即可）
四、解答题
15．如图，在三 样中，D，E分別是梭，的中点.
（1）在棱上找一点F，使得平面平面，并证明你的结论；
（2）若，是边长为2的等边三角形，，，求二面角的正弦值.
16．如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，，.
（1）证明：平面；
（2）若平面，，，求二面角的正弦值.
参考答案
1．答案：D
解析：对于①，在直三棱柱中，根据异面直线的定义知AB与是异面直线，所以①错误；
对于②，的中点为D，且O是与的交点，所以O是的中点，连接OD，则，因为平面，平面，所以平面，所以②正确；
对于③，因为平面，所以平面AOD与平面相交，所以③错误；
对于④，因为在直三棱柱中，，所以四边形是正方形，平面，因为平面，所以，又，，所以平面，所以④正确，故选D.
2．答案：C
解析：对于①，设、为平面内两条相交直线，m、n为平面内两条相交直线，
且满足，，
因为，，，所以，，同理可得，
因为a、b为平面内两条相交直线，故，①对；
对于②，设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则、相交（不一定垂直），②错；
对于③，若外一条直线l与内的一条直线平行，由线面平行的判定定理可知，，③对.
所以，真命题的个数为2.
故选：C.
3．答案：B
解析：A选项,若这些无数条直线均平行,此时无法推出,A错误;
B选项,由面面平行的判定定理得到B正确,故D错误.
C选项,如图,,平行于同一条直线m,但,不平行,C错误;
故选：B.
4．答案：B
解析：由，，，则α，β可能相交，
故“”推不出“”，
由，，，由面面平行的性质定理知，
故“”能推出“”，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．答案：D
解析：A选项，如图1，满足，，但a，b不平行，A错误；
B错误，如图2，满足，，，但a，b不平行，B错误；
C选项，如图3，满足，，，但，不平行，C错误；
D选项，若，，，由线面平行的判断定理可得，D正确.
故选：D.
6．答案：B
解析：
7．答案：D
解析：对于A：若，，则或，故A错误；
对于B：当，，，且m与n相交时，故B错误；
对于C：若，，则或m与n异面，故C错误；
对于D：若，，根据面面平行的性质定理可得，故D正确.
故选：D
8．答案：B
解析：连接,交于点O,则O是的中点,
连接,,由于M,O,N是中点,可得,,
所以四边形是平行四边形,所以,
又平面,平面,所以平面,即①正确;
连接,,则,在正方体中,平面,又平面,所以,
又,平面,平面,所以平面,若,则平面或平面,而与平面相交,所以与不垂直,即②错误;
由于,所以为直线与所成角（或补角）,
设正方体棱长为2,
则,,,所以由余弦定理得,即③正确;
因为平面与平面平行,则过M,N,三点的截面与这两个平面的交线平行,由于其中一条交线是,另一交线过点M,所以在平面内作与平行（E是靠近A的四等分点）,连接,同理作出与平行（F是靠近D的三等分点）,从而得到截面,可知截面是五边形,即④错误;
综上,正确的个数是2个.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：对于A,,,则,A正确;
对于B,若,,则与的位置关系是平行或相交,B错误;
对于C,若,,由线面垂直的性质得与平行,C正确;
对于D,,,由面面平行的性质,得,D正确.
故选:ACD
10．答案：ACD
解析：在正方体中,A选项正确;
R,S分别是棱,的中点,当点Q为中点时,平面在正方体上的截面为正六边形,则Q,M,N,P四点共面,有,B选项错误;
若,则Q为上靠近C点的三等分点,取上靠近的三等分点G,的中点H,连接,,,
则在正方形中,可得,
平面,平面,则有平面,
同理可由,证明平面,
又,平面,,所以平面平面,
因为点F在侧面内,且平面,所以即为点F的轨迹,
则,C选项正确;
若,则Q为的中点,平面分割该正方体所成的两个空间几何体为和,
平面在正方体上的截面为正六边形,
某球能够被整体放入或,该球的表面积最大时,是以为顶点,底面为正六边形的正六棱锥的内切球,
正六边形的边长为,面积为,
正六棱锥,侧棱长,每个侧面面积为,棱锥的高为,
设该球的半径为R,由体积法可得,
解得,所以该球的表面积为,D选项正确.
故选：ACD.
11．答案：①③④
解析：对于①，由面面平行的传递性可知①正确；对于②，若，，，，则或与相交，所以②错误；对于③，若两个平面平行，其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，所以③正确；对于④，因为，，，所以，同理，由平行线的传递性可得，所以④正确.
12．答案：
解析：在正方体中，取，的中点M，N，连接，，，，，如图所示.
因为点E，F分别是棱，的中点，所以，又平面，平面AEF，所以平面AEF.显然四边形为矩形，有，，则四边形为平行四边形，则.因为平面，平面AEF，所以平面AEF.
又，平面，因此，平面平面AEF.因为平面AEF，所以平面.又点P在平面内，平面平面，所以点P在线段MN上（不含端点）.在中，，，等腰三角形底边MN上的高，于是，所以线段长度的取值范围是.
13．答案：线段FH（答案不唯一）
解析：取的中点R，连接FR，NR，FH，HN，易证平面平面，所以当线段FH时，有平面FHNR，所以平面.
14．答案：P是的中点（答案不唯一）
解析：取点P为的中点，连接，为的中点，，平面，平面，平面.当点P满足条件P是的中点时，平面BCD.（其他满足题意的条件均可.）
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）F为棱的中点.
证明如下：如图，连接，.
因为E，F分别是棱，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
因为D，F分别是棱，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
因为，所以平面平面.
（2）取的中点O，连接.
由为等边三角形，D为棱的中点，可得，
因为，，所以平面，所以.
因为，，所以.
又，所以平面.
以O为坐标原点，过点O作的平行线作为x轴，以，直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
则取.
设平面的法向量为，
则取.
所以，
则二面角的正弦值为.
16．答案：（1）证明过程见解析
（2）
解析：（1）如图：
取中点M，中点N，连接，，，，
一方面：因为，，
所以，，即四边形是平行四边形，
所以，，
又，，
所以，，即四边形是平行四边形，
所以，
因为，，
所以四边形是平行四边形，所以，
从而，
又因为面，面，
所以面，
另一方面：又因为，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为面，面，
所以面，
结合以上两方面，且注意到，，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面；
（2）若平面，又，平面，
所以，，
又，
所以以A为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，
设是平面的法向量，
则，即，令，解得，，
即可取平面的一个法向量为，
设是平面的法向量，
则，即，令，解得，，
即可取平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
则，
所以，即二面角的正弦值为.
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