8.6 空间直线、平面的垂直——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练（含解析）

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8.6 空间直线、平面的垂直——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练
一、选择题
1．如图所示,在二面角的棱上有两点A,B,线段,分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱,若,则线段的长为( )
A. B.1 C.8 D.
2．已知m、n、l是不重合的直线，、是不重合的平面，对于下列命题
①若，，则
②且，则
③且，则
④若m、n是异面直线，，，且，则
其中真命题的序号是( )
A.①② B.③④ C.②④ D.①③
3．若直线平面,则下列说法正确的是( )
A.l仅垂直平面内的一条直线 B.l仅垂直平面内与l相交的直线
C. l仅垂直平面内的两条直线 D.l与平面内的任意一条直线垂直
4．如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5．已知平面，，，，则“”是“且”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，EF是的中位线，AC与EF交于点G，已知是绕EF旋转过程中的一个图形，且平面ABCD．给出下列结论：
①平面PEF；
②平面平面ABCD；
③二面角的平面角是直线OP与平面ABCD所成角的2倍．
其中所有正确结论的序号为( )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
7．如图，菱形的对角线与交于点O，是的中位线，与交于点G，已知是绕旋转过程中的一个图形﹐且平面.给出下列结论：
①平面；
②平面平面；
③"直线直线"始终不成立.
其中所有正确结论的序号为( )
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
8．如图，在正三棱台中，，M，N分别是，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．如图,矩形中,,E为边的中点,将沿翻折成,若M为线段的中点,则在翻折过程中,下列结论中正确的是( )
A.翻折到某个位置,使得
B.翻折到某个位置,使得平面
C.四棱锥体积的最大值为
D.点M在某个球面上运动
10．已知正四棱锥的所有棱长均相等，O为顶点S在底面内的射影，则下列说法正确的有( )
A.平面平面
B.侧面内存在无穷多个点P，使得平面
C.在正方形的边上存在点Q，使得直线与底面所成角大小为
D.动点M，N分别在棱和上（不含端点），则二面角的范围是
三、填空题
11．已知二面角为，内一条直线m与l所成角为，内一条直线n与l所成角为，则直线m与直线n所成角的余弦值是_________.
12．已知在三棱锥中，平面，，，若三棱锥的外接球体积为，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
13．如图，在直三棱柱中，D为的中点，，，则异面直线与所成的角为___________.
14．在正四棱柱中,,点M是的中点,则与CM所成角的余弦值______.
四、解答题
15．如图，是半球O的直径，，M，N是底面半圆弧上的两个三等分点，P是半球面上一点，且.
（1）证明：平面：
（2）若点P在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值.
16．如图,在四棱锥中,底面是正方形,平面,且,点E为线段的中点.
(1)求证：平面;
(2)求证：平面;
参考答案
1．答案：D
解析：如图,过A作,过D作,,连接,
因为线段,分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱,
所以,,
所以四边形为矩形,
因为,,,平面,
所以平面,
因为平面,
所以,
因为二面角为,
所以,
因为,
所以,
所以为等边三角形,
所以,
在中,,
故选：D.
2．答案：B
解析：对于①若，，则m与n可能平行也可能异面，故①错误；
对于②，若，且，则或，故②错误；
对于③，若，且，则由线面垂直的判定定理得，故③正确；
对于④，若m、n是异面直线，，，且，
如图，因为，所以存在直线a，且满足，又，所以
同理存在直线b，且满足，又，所以，
因为m、n是异面直线，所以a与b相交，设，
又，所以，故④正确.
故选：B
3．答案：D
解析：若直线平面,则l与平面内的任意一条直线都垂直.
4．答案：C
解析：取的中点F，连接，，，
根据题意易知，
为异面直线与所成的角或其补角，
又，，
由余弦定理得.
故选：C.
5．答案：C
解析：由于，所以，，
若，则，，故充分性成立，
若，，设，，
则存在直线使得，所以，由于，故，
同理存在直线使得，所以，由于，故，
由于a，b不平行，所以a，b是平面内两条相交直线，所以，故必要性成立，
故选：C.
6．答案：A
解析：对①，由EF是的中位线，故，又平面PEF，
平面PEF，故平面PEF，故①正确；
对②，连接PA、PC、PG，菱形ABCD中，，即，
由折叠的性质可知，，即，
又AC、平面PAC，，故平面PAC，
又平面ABCD，故平面平面ABCD，故②正确；
对③，连接PO，由EF是的中位线，故G为OC中点，
故，即，，
由，，故为二面角的平面角，
由平面平面ABCD，故点P在平面ABCD的投影必在线段OC上，
故为直线OP与平面ABCD所成角，故③正确.
故选：A.
7．答案：B
解析：菱形的对角线与交于点O，是的中位线，则，
而平面，平面，因此平面，①正确；
连接，由，得，，而，平面，
则平面，又平面，因此平面平面，②正确；
显然是二面角的平面角，由绕旋转过程中，从逐渐减小到（不包含和），当时，，，平面，则平面，而平面，于是，③错误，
所以所有正确结论的序号为①②.
故选：B.
8．答案：C
解析：如图所示，连接，，取的中点P，连接，，
在正三棱台中，设，则，，
因为M，N分别是，的中点，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以即为异面直线，所成角（或其补角），
在梯形中，为梯形的高，过作于O，则，
所以，所以，，
所以，
即，，
在中，.
所以，
即异面直线，所成角的余弦值为.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于选项A：由题可知：,
若存在某个位置使得,
由于,,平面,可得平面,
且平面,所以,
又因为,可得,
由于在折叠过程中,,所以存在某个位置,使得,
故存在某个位置,使得,故A正确;
对于选项B：若存在某个位置,使得平面,
由,平面,可知,,
因为,,
由可得,由可得,
因为与不能同时成立,所以平面不成立,故B错误;
对于选项C：若四棱锥体积的最大时,则平面平面,
由于是等腰直角三角形,可知此时点到平面的距离为,
所以四棱锥体积的最大值为,故C正确;
对于选项D：取中点O,连接,
由于M为线段的中点,则,为定值,
所以M在以点O为球心的球面上,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BD
解析：已知所有棱长都相等，不妨设为1.对于A：过S作直线，因为，所以，所以l为平面与平面的交线，取中点E，中点F，连接，，由正四棱锥，可得，，所以，，所以为二面角的平面角，连接，
在中，所以平面与平面不垂直，故A错误；对于B：取中点G，中点H，连接，，，因为，，又平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，所以当时，平面，这样的点P有无穷多，故B正确；对于C：由已知可知当Q在正方形各边中点时，与底面所成角最大，所以，所以不布存Q使得与底面成的角为，故C错误；对于D：作垂直于，连接，因为平面，又平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以，因为则为二面角的平面角，当都无限向点B靠拢时，；当，时，，所以二面角范围是，故D正确.故选：BD.
11．答案：
解析：如图，过l上一点Q作交m于点E，交n于点F
设，，，
如图，设，，，，，，
，应填：.
12．答案：
解析：在三棱锥中，因平面，，平面，则，，而，
，，平面，因此，平面，又平面，则，
取PC中点O，连接BO，AO，如图，于是得，即有O是三棱锥的外接球球心，
由得：，，而，则有，，
而，，则，
从而有，所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
13．答案：/
解析：如图，
取的中点E，连接BE，DE，则，
则即为异面直线BD与AC所成的角.
由条件可知，，所以是等边三角形，
所以.
14．答案：或
解析：不妨设,以点A为坐标原点,
AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、,
则,,
所以,.
因此,与CM所成角余弦值为.
故答案为:.
15．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）连接，，，因为M，N是底面半圆弧上的两个三等分点，
所以有，又因为，
所以，都为正三角形，
所以，四边形是菱形，
记与的交点为Q，Q为和的中点，
因为，，
所以三角形为正三角形，
所以，所以，
因为P是半球面上一点，是半球O的直径，所以，
因为，平面，
所以平面.
（2）因为点P在底面圆内的射影恰在上，
由（1）知Q为的中点，为正三角形，所以，
所以底面，
因为四边形是菱形，所以，
即、、两两互相垂直，
以点Q为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
取，则，
设直线与平面的所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
16．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)连接,交于点O,连接,
是正方形对角线交点, 为的中点,
由已知E为线段的中点, ,
又平面,平面,
平面;
(2),E为线段的中点,,
平面,平面,,
在正方形中,,又,,平面,
平面,又平面,
,又,,平面,
平面;
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