10.2 事件的相互独立性——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练（含解析）

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10.2 事件的相互独立性——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练
一、选择题
1．依次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正六面体骰子两次，设事件“第一次出现的点数是奇数”，“第一次出现的点数是1”，“两次的点数之和为奇数”，“两次的点数之和为7”，则下列结论错误的是( )
A.A与N相互独立 B.B与M相互独立
C.B与N相互独立 D.M与N相互独立
2．设A，B为随机事件，则的充要条件是( )
A. B.
C. D.
3．小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是( )
A. B. C. D.
4．某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行乒乓球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为（注：比赛结果没有平局），则甲队最终获胜且种子选手M上场的概率是( )
A. B. C. D.
5．校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；B表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；C表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则( )
A.事件A与B相互独立 B.事件A与C为互斥事件
C. D.
6．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图.假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是( )
A. B. C. D.
7．某中学三大社团“乐研社”“摄影社”“外联社”招新，据资料统计，2022级高一新生通过考核进入三个社团成功与否相互独立，新生小明通过考核进入三个社团“乐研社”“摄影社”“外联社”的概率依次为，a，b.已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则( )
A. B. C. D.
8．我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．某箱中有若干个编号依次为1,2,的球,每个球除编号外完全相同.现从箱中每次不放回地取一个球,若第m次取出球的编号为n,则记为,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则事件和事件相互独立
D.若,则事件和事件相互独立
10．在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立,发送0时,收到1的概率为 ,收到0的概率为;发送1时,收到0的概率为,收到1的概率为.若在信道内依次发送信号1,0,为了检验收到信号的一端将收到的信号发回到输入端.下列说法正确的是( )
A.“收到的信号为1,0”是“传回的信号为1,0”的充分条件.
B.“收到的信号为1,0”与“传回的信号为1,0”不是相互独立的
C.若,则事件“传回的信号为1,0”的概率一定大于0.25
D.若,则事件“传回的信号为1,0”的概率为
三、填空题
11．已知事件A，B是相互独立事件，且，，则_________.
12．甲、乙两人进行投篮比赛,每次投篮若一方投中且另一方未投中,则投中的一方获胜,否则本次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和,且每次投篮甲、乙投中与否互不影响,各次投篮也互不影响,则3次投篮甲至少获胜2次的概率为______________.
13．甲 乙两位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计赢2局者胜,分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的概率为,每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为________,本次比赛甲获胜的概率为________.
14．已知事件A,B相互独立,且,,则__________.
四、解答题
15．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.
（1）求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
（2）求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率.
16．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.
（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自A中学的人数，求的分布列和数学期望.
（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答2道题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意，，，
当两次分别为3，4或1，6或2，5时，两次的点数之和为7，
所以，
对A，，所以，
即A与N相互独立，故A正确；
对B，，，所以，故B正确；
对C，，，所以，故C正确；
对D，，，所以，故D错误.
故选：D.
2．答案：D
解析：对于A，由可知A，B为互斥事件，概率不一定相等，A错误；
对于B，由可知A，B相互独立，与概率大小无关，B错误；
对于C，抛掷一颗骰子，记掷出点数1，2，3，4为事件A，掷出点数3，4，5，6为事件B，
则事件表示掷出点数为3，4，为不可能事件，
所以，，，
显然，由推不出，C错误；
对于D，，
，
若，则，
即，反之亦然，
故的充要条件是，D正确.
故选：D.
3．答案：A
解析：小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是,
故选：A.
4．答案：B
解析：设事件“种子选手M第i局上场”，事件“甲队最终获胜且种子选手M上场”，
由全概率公式知，
因为每名队员是否上场是随机的，故，，，
所以，，，
所以，
所以甲队最终获胜且种子选手M上场的概率为.
故选：B.
5．答案：D
解析：由题意易知分组情况为：2,1,1，即所有安排方案有种，
铅球区域可能安排2人或1人，所以，
同理，，
而，，
由相互独立事件的充要条件可知，事件A与B不相互独立，
故A错误；
显然，事件A与C能同时发生，不为互斥事件，故B错误；
由条件概率公式知，故C错误；
，故D正确.
故选：D
6．答案：A
解析：若按照顺时针方向跳的概率为p，则按逆时针方向跳的概率为2p，可得，解得，即按顺时针方向跳的概率为，按逆时针方向跳的概率为.若青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上满足三次都按逆时针跳或者三次都按顺时针跳.①若按逆时针跳，则对应的概率为；②若按顺时针跳，则对应的概率为，则跳三次之后停在A叶上的概率为.故选A.
7．答案：D
解析：根据题意有解得.故选D.
8．答案：C
解析：因小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型，则小明父亲的血型可能是AA，AB，BB，它们对应的概率分别为，，，
当小明父亲的血型是AA时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型可能是AA，AB，它们的概率均为，
此时小明是A型血的概率为，
当小明父亲的血型是AB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型是AA的概率为，此时小明是A型血的概率为，
当小明父亲的血型是BB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型不可能是AA，
所以小明是A型血的概率为，即C正确.
故选：C.
9．答案：BC
解析：对于A,若,则只可能第1次取出的球编号为1,故,,错误;
对于B,若,则第1次未取到编号为1的球,且总计4个球,
分情况讨论：若第1次取编号为2的球,第2次取编号为1号或3号或4号球,共3种情况;
若第1次取编号为3的球,第2次取编号为1号或2号或4号球,共3种情况;
若第1次取编号为4的球,第2次取编号为1号或2号或3号球,共3种情况,总计9种情况,
第2次取编号为2的球的情况共2种,故,故B正确;
对于C,若,则前两次均未取编号为1的球,
故,,满足,故C正确;
对于D,若,则前两次均未取编号为1的球,且总计5个球,
前两次可取的只能为编号为2号或3号或4号或5号球.,且,
而第2次取球需分情况讨论：若第1次取编号为3的球,第2次取编号为2号或4号或5号球,共3种情况;
若第1次取编号为2的球,第2次取编号为3号或4号或5号球,共3种情况;
若第1次取编号为4的球,第2次取编号为2号或3号或5号球,共3种情况;
若第1次取编号为5的球,第2次取编号为2号或3号或4号球,共3种情况,总计12种情况,
第2次取编号为3的情况共3种,故,,故D错误.
故选：BC.
10．答案：BC
解析：收到信号为0,0概率为,则传回信号为1,0概率为,
收到信号为1,0概率为,则传回信号为1,0概率为,
收到信号为0,1概率为,则传回信号为1,0概率为,
收到信号为1,1概率为,则传回信号为1,0概率为,
所以传回信号为1,0概率为,
显然“收到的信号为1,0”不是“传回的信号为1,0”的充分条件,A错;
,B对;
由,则,
而,而,即不能取等号,故,
所以,C对;
由,则,D错.
故选：BC.
11．答案：0.42
解析：因为事件A，B是相互独立事件，所以，B也是相互独立事件.因为，，所以.
12．答案：
解析：设甲获胜为事件A,则,
则3次投篮甲至少获胜2次的概率为
.
故答案为：.
13．答案：或,或
解析：到第3局才分出胜负,则前两局甲 乙各赢一局,其概率为.
若甲获胜,分2种情况:①甲连赢2局,其概率为,
②前两局甲 乙各赢一局,第三局甲赢,其概率为.
故甲获胜的概率为.
故答案为:,
14．答案：
解析：因为,所以,
同理可得,又因为事件A,B相互独立,
所以.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1），分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，
则，，
夫妻二人都不需要交补考费的事件，
则：，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是.
（2）由（1）知，夫妻二人共交200元补考费的事件：
，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率.
16．答案：（1）分布列见解析，数学期望为
（2）
解析：（1）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，
，，
，.
所以的分布列为
0 1 2 3
P
.
（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，
设乙答对题数为，则.
设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，
则
.
由，及，得，
则.
又，所以.
设，则，.
易知当时，取得最大值.
所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为.
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