常用逻辑用语——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练（含解析）

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常用逻辑用语——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练
一、选择题
1．给定下列两个命题：
①“”为真是“”为假的必要不充分条件；
②“，使”的否定是“，使”.
其中说法正确的是( )
A.①真②假 B.①假②真 C.①和②都为假 D.①和②都为真
2．命题“，”，为假命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
3．已知命题“，使得”，若“非p”为真，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知下列命题：
①命题“，”的否定是“，”；
②“”是“”的充分不必要条件；
③“若，则且”的逆否命题为真命题；
④已知p，q为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题.
其中真命题的个数为( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0
5．命题“，”为真命题的充要条件是( )
A. B. C. D.
6．在下列命题中，是真命题的是( )
A.，
B.，
C.，
D.已知，，则对于任意的n，，都有
7．下列说法错误的是( )
A.命题“若，则或”的逆否命题为“且，则”
B.若为真命题，则p，q均为真命题
C.“”是“”的充分不必要条件
D.命题p：存在，使得，则：任意，都有
8．已知函数，，若，对于，都有成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
9．命题，使得为假命题，则实数a的取值范围为_________.
10．下列存在量词命题是真命题的是_________.（填序号）
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在一实数，使；
③存在实数a，使函数的值随x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身.
11．若“，”为真命题，则实数a的取值范围为_________.
12．给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.
已知集合，，存在实数m使得“”是“”的________条件.
三、解答题
13．指出下列命题中哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假.
（1）对任意一个无理数x，也是无理数；
（2）对任意实数a，b，若，则；
（3）对任意一个实数x，都有；
（4）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线.
14．已知命题，，命题，.
（1）当p为假命题时，求实数a的取值范围；
（2）若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围.
15．已知a，b是实数，求证：成立的充要条件是.
16．在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答下列问题.
已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若__________，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：①“”为真，则p，q中至少有一个为真，推不出“”为假，
若“”为假，则p为真，“”为真，
故“”为真是“”为假的必要不充分条件，故①正确；
②“，使”的否定是“，使”，故②正确.
故选：D.
2．答案：D
解析：若命题“，”为假命题，则“，”为真命题，所以，，设集合，选项中a的范围构成集合N，则，所以选D.
故选：D.
3．答案：B
解析：因为，使得，
所以非p：，使得，且为真命题，
即，都有恒成立，
令，
则时，，
所以.
故选：B.
4．答案：C
解析：命题“，”的否定是“，”，①错误；
“”是“”的必要不充分条件，②错误；
“若，则且”为假命题，故逆否命题为假命题，③错误；
若“”为假命题，则p，q均为假命题，故“”为真命题，④正确.
故选：C.
5．答案：D
解析：原命题可写为“，”，
当时，随x增大而增大，所以，取最大值为3，
所以.
故选：D.
6．答案：B
解析：选项A，，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；
选项B，，，，故该选项正确；
选项C，，，而当，，不成立，故该选项错误，排除；
选项D，，，当n，时，当a、b取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除.
故选：B.
7．答案：B
解析：对于A，由逆否命题定义知原命题的逆否命题为：且，则，知A正确；
对于B，若为真命题，则p，q一真一假或均为真命题，故B错误；
对于C，，充分性成立；或，必要性不成立，“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，由特称命题的否定知：任意，都有，D正确.
故选：B.
8．答案：B
解析：因为，，
所以，
当时，，
当时，，
因为，对于，都有成立，
所以的最大值大于的最大值，故舍去
即，解得.
故选：B.
9．答案：
解析：因为，使得为假命题，
所以，，
又
所以，
故答案为：.
10．答案：①③④
解析：三角形面积相等，只需满足底乘以高相等即可，并不一定要相似，①对；
对应的判别式为，则恒成立，②错；
要使函数为增函数，即可，③对；
设实数为a，则，④对.
故答案为：①③④.
11．答案：
解析：若，，则对于恒成立
又函数在区间上单调递增
所以，故.
故答案为：.
12．答案：②，③
解析：①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解，故不存在实数m，则不符合题意；
②“”是“”的充分不必要条件时，，，；解得，符合题意；
③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得；
当，需满足，，，解集为；
综上所述，实数m的取值范围.
故答案为：②，③.
13．答案：（1）全称量词命题，假命题
（2）全称量词命题，假命题
（3）全称量词命题，真命题
（4）存在量词命题，假命题
解析：（1）全称量词命题，假命题.如：是无理数，但是有理数，所以该命题是假命题.
（2）全称量词命题，假命题.当，时，满足，此时，，，所以该命题为假命题.
（3）全称量词命题，真命题.对任意一个实数x，都有，则，故该命题是真命题.
（4）存在量词命题，假命题.因为平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线，所以该命题是假命题.
14．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由p为假命题，得为真命题，
即，，
即在时有解，
所以，，
易知当时，，所以.
（2）由（1）可知，当p为真命题时，；当p为假命题时，.
当q为真命题时，方程在上有解，则，解得；当q为假命题时，.
所以当p为真命题，q为假命题时，；当p为假命题，q为真命题时，.
所以当p和q中有且只有一个是真命题时，a的取值范围是或.
15．答案：证明见解析
解析：证明：先证明充分性：若，
则，
故充分性成立；
再证明必要性：若，则，
即，
即，
即，
因为，所以，即，故必要性成立.
所以成立的充要条件是.
16．答案：（1）
（2）选择①②：实数a的取值范围是；选择③：实数a的取值范围是
解析：（1）当时，集合，
由，得或，
所以.
（2）若选择①，则，
当时，，解得，满足；
当时，解得.
所以实数a的取值范围是.
若选择②“”是“”的充分不必要条件，则，
当时，，解得，满足；
当时，解得.
所以实数a的取值范围是.
若选择③，
当时，，解得，满足；
当时，或解得.
所以实数a的取值范围是.
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