对数的运算——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练（含解析）

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对数的运算——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练
一、选择题
1．设，，，那么( )
A． B． C． D．
2．已知,,则( )
A. B. C. D.
3．由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈,美国加大了对我国一些高科技公司的打压.为突破西方的技术封锁和打压,我国的一些科技企业积极实施了独立自主 自力更生的策略,在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题,实现芯片制造的国产化,加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元,在此基础上,计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%,则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是( )
参考数据：,,.
A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年
4．已知把物体放在空气中冷却时, 若物体原来的温度是,空气的温度是,则后物体的温度满足公式 (其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数).某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中, 冷却后牛奶的温度是,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.牛奶的温度降至还需
D.牛奶的温度降至还需
5．神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空,在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务,期间进行了很多空间实验,目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限,要通过回收水的方法制造可用水.回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水,循环使用.净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤的次数为( )（参考数据）
A.10 B.12 C.14 D.16
6．计算的结果是( )
A.1 B.2 C.lg2 D.lg5
7．在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字.这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d()的概率为.以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为( )
(参考数据：，)
A.2.9 B.3.2 C.3.8 D.3.9
8．若与互为相反数,则( )
A. B. C. D.以上答案均不对
二、多项选择题
9．设，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10．若，，则下列等式恒成立的为( )
A. B.
C. D.
11．已知正实数a，b满足，且，则的值可以为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12．若实数a，b满足，则下列关系中可能成立的有( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．若,,则_________________.
14．已知正实数a满足，则的值为________.
15．已知，则________.
16．若实数a，b，m满足，且，则实数m值为________.
四、解答题
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
18．已知，.
（I）求的值；
（II）若，，且，求的最小值.
19．已知函数,.
（1）当时,判断函数的奇偶性并证明;
（2）给定实数且,问是否存在直线,使得函数的图像关于直线对称 若存在,求出的值（用a表示）;若不存在,请说明理由.
20．已知，，求XYZ的可能取值.
参考答案
1．答案：C
解析：，
综上，.
故选：C
2．答案：B
解析：,
故选：B.
3．答案：C
解析：设2020年后第n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元,
由200,得,两边同取常用对数,得,
所以,所以从2026年开始,该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.
4．答案：D
解析：的牛奶放在的空气中,冷却2分钟以后物体的温度是.
则,两边取以e为底的对数,
得,解得,所以，
当牛奶的温度从降至时,, 即,解得 ，
所以牛奶的温度降至还需.
5．答案：C
解析：设过滤的次数为n,原来水中杂质为1,
则,即,
所以,
所以,
所以,
因为,
所以n的最小值为14,则至少要过滤14次.
故选:C.
6．答案：A
解析：由题意,
.
故选：A.
7．答案：C
解析：依题意一个数的首位数字是1的概率为，一个数的首位数字是5的概率为，
所求的比为
.
故选：C.
8．答案：C
解析：因为与互为相反数,则,因此,.
故选：C.
9．答案：AC
解析：对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.
10．答案：BD
解析：
A × 令，则.
B √ .
C × 令，则.
D √ .
11．答案：CD
解析：因为，所以，故.设，则，故，解得或2.经检验，1和2均是分式方程的解.当时，，故，，故；当时，，故，，故.故选CD.
12．答案：ABC
解析：当时，，即，故，A正确；
当时，，，故，B正确；
当时，，即，故，C正确；
当时，，，故，D错误；
故选：ABC.
13．答案：100
解析：因为,所以,
又,所以,则.
故答案为：100.
14．答案：
解析：，，，
，，，
.
故答案为：.
15．答案：2
解析：由得，解得或，
经检验，是原方程的解.
故答案为：2.
16．答案：
解析：由可得，，，又，即
，求得.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
（3）0
解析：（1）原式
.
（2）原式.
（3）原式
.
18．答案：（I）；
（II）
解析：（I），，，，
所以，.
（II）由换底公式得：，
所以，
当且仅当，即取等号，因此的最小值为.
19．答案：（1）偶函数,证明见解析;
（2）存在符合题意.
解析：（1）当时,,函数为偶函数,证明如下:
,
又函数的定义域为R,
函数为偶函数;
（2）假设存在直线,使得函数的图像关于直线对称,
则,
,
即,即,
,即,
,
,即,
且,
,
故存在,使得函数的图像关于直线对称.
20．答案：或
解析：由题意可知，①
同理，，②
可得，
则或.
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