第2章 一元二次方程 章末复习测试（含解析）

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第2章一元二次方程章末复习讲义-数学九年级上册北师大版
一、单选题
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．（a、b、c为常数）
C． D．
2．设，，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．若关于的方程是一元二次方程，则的值不可能为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
6．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．若a是关于x的方程的一个根，则的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
8．某网络学习平台2021年的新注册用户数为36万，2023年的新注册用户数为81万．设新注册用户数的年平均增长率为，则有（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．请写出一个有一个根为1的一元二次方程： ．
10．若、是方程的两根，则 ．
11．一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 ．
12．在正实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，那么方程的解是 ．
13．某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是，则满足的方程是 ．
14．如图，在矩形中，，，点从点A出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动．设运动时间为，当时，时间 ．
15．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
16．对于两个互不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题：
（1）方程的解为 ；
（2）方程的解为 ．
三、解答题
17．解下列方程．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．若代数式的值与的值相等，求x的值．
19．已知方程是关于x的一元二次方程．
(1)若该一元二次方程没有实数根，试求k的取值情况；
(2)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值，并求出方程的根．
20．我们规定：对于任意实数，，，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：，已知关于的方程的一个根为2．
(1)的值为________．
(2)求方程的另一个根．
21．某村生态果园年樱桃产量为吨，年樱桃产量为吨，若该生态果园樱桃产量的年平均增长率相同．
(1)求该生态果园樱桃产量的年平均增长率；
(2)若樱桃产量的年增长率不变，请预估年该生态果园樱桃产量．
22．如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________．
(2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽．
(3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C A A B B D
1．C
【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断．本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】A. ，不是整式方程，不符合题意；
B. ，不一定是一元二次方程，不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，不是一元二次方程，不符合题意；
故选C．
2．A
【分析】利用作差法，用完全平方公式，得，结合非负性解答即可．
本题考查了大小比较，完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，，
故
．
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵关于的一元二次方程有一根为，
∴有一根为，
解得，
∴一元二次方程必有一根为，
故选：．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．对于，当， 方程有两个不相等的实根，当， 方程有两个相等的实根，， 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查一元二次方程方程的定义，根据一元二次方程的二次项系数不为0求解即可．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，则，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，把常数项移项后，提出公因式2，然后括号内配方求解即可．
【详解】解：
．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根的定义，将a代入一元二次方程得到，整体代入求代数式值即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，即，
∴；
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该网络学习平台2023年的新注册用户数该网络学习平台2021年的新注册用户数新注册用户数的年平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：D．
9．（答案不唯一）
【分析】根据根构造方程即可．
本题考查了根据方程的根构造方程，熟练掌握构造方法是解题的关键．
【详解】解：由一个根为1的一元二次方程，
故．
故答案为：．
10．2
【分析】根据根与系数关系定理解答即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：是方程的两个根，
则，
故答案为：2．
11．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项，叫作一次项系数，c叫做常数项．首先去括号，移项，再合并同类项可得，再确定二次项系数、一次项系数及常数项，再求和即可．
【详解】解：,
，
∴二次项系数为：3，一次项系数为：，常数项为：，
∴
故答案为：
12．
【分析】本题主要考查新定义运算及解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．根据题意列方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得：，即，
整理得：，
，
解得：（舍去，不符合题意），，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．根据题意第一次降低后的售价是原来的，那么第二次降低后的售价是原来的，列方程解答即可．
【详解】解：根据题意第一次降低后的售价是原来的
那么第二次降低后的售价是原来的
列方程得：
故答案为：．
14．或
【分析】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键．
过点P作于点H，用t表示线段长，求出的长，在中，用勾股定理列方程求解．
【详解】解：当运动时间为时，，，
过点P作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，四边形是矩形，
∴，
∴.
∵在中，，
即，
解得，．
故答案为：或
15．且
【分析】本题考查一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据关于x的方程有两个不相等的实数根得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
且，
故答案为：且．
16． 或
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义：
（1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案；
（2）当时，由新定义可得方程，解方程即可得到答案；当时，由新定义可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
（2）当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或（舍去）；
当时，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，或；
故答案为：或．
17．(1)
(2)
(3)，
(4)，
【分析】（1）利用直接开平方法计算即可．
（2）利用因式分解法法求解即可．
（3）利用因式分解法法求解即可．
（4）利用因式分解法法求解即可．
本题考查了直接开平方法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
解得．
（3）解：∵，
∴，
∴，
解得，．
（4）解：∵，
∴，
解得，．
18．或
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握常见的一元二次方程的解法成为解题的关键．
先根据题意得到一元二次方程，然后运用公式法解方程即可．
【详解】解：由题意可得：，整理得：，
∵，
∴．
∴x的值为或．
19．(1)
(2)答案不唯一，当时，
【分析】（1）根据，求k的取值情况即可；
（2）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，根据方程的根的判别式，解答即可．
本题考查了根的判别式，解方程，熟练掌握根的判别式和解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：∵方程没有实数根，，
∴，
解得．
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，，
∴，
解得．
当时，方程变形为，
解得．
20．(1)
(2)方程的另一个根是4
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程的根和解一元二次方程，正确理解新定义列出方程是解题的关键．
（1）根据新定义可得，且方程的一个根为2，将代入求解，即可得到的值；
（2）由（1）知，则可得方程，整理得，再利用因式分解法求解方程，由方程的一个根为2，即可得到方程的另外一个根．
【详解】（1）解：根据定义得：，且方程的一个根为2，
则即，
解得：；
（2）解：由（1）知，
，即，
，
解得：，
方程的一个根为2，
方程的另一个根是4．
21．(1)该果园樱桃产量的年平均增长率为
(2)预估该果园年樱桃产量大约为吨
【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，
（1）根据年的产量年的产量年平均增长率，把相关数值代入即可；
（2）由（1）中的平均增长率，即可求出年樱桃产量的吨数；
找准等量关系：年的产量年的产量年平均增长率是解题的关键．
【详解】（1）解：设该果园樱桃产量的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该果园樱桃产量的年平均增长率为；
（2）根据题意得，（吨），
答：预估该果园年樱桃产量大约为吨．
22．(1)
(2)此时花圃的长为9米，宽为5米
(3)这个花圃的面积不能达到；这个花圃面积最大可以做到．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，列代数式：
（1）用篱笆的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出；
（2）根据长方形的面积公式列方程求解即可；
（3）长方形的面积公式列方程，看方程是否有符合题意的解即可；利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案．
【详解】（1）解：设花圃的宽为x米，
则米，
故答案为：；
（2）解：由题意可得：，
∴
解得：，，
当时，，不符合题意，故舍去；
当时，，符合题意；
答：此时花圃的长为9米，宽为5米；
（3）解：当时，则，
∴，
∴此时原方程无解，
∴这个花圃的面积不能达到
，
∵，
∴，
∴这个花圃面积最大可以做到．
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