第二十二章 二次函数 典型例题与跟踪训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十二章二次函数复习卷（典型例题与跟踪训练）数学九年级上册人教版
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若函数的图象是一条抛物线，且开口向上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列抛物线与抛物线相比，开口最小的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
4．如果函数是二次函数，那么k等于（ ）
A．3 B．0 C．－2 D．－1
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则（ ）
A． B． C． D．
7．若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．二次函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
10．若二次函数的图象开口向下，则a的取值范围是 ．
11．将抛物线向左平移6个单位长度所得到的新抛物线解析式为 ．
12．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为
13．如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ．
14．二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表：其中正确的是 ．
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …
有如下结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．
15．火炮，发明于中国，是指利用机械能、化学能（火药）、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器．在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且与的关系式为．若此炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等，则此炮弹飞行第 秒时的高度是最高的．
16．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上有且只有一个“三倍点”，则c的取值范围是 ．
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，抛物线上有不重合的两点，，它们的坐标分别为，．
(1)若该抛物线与轴交于点，求该抛物线的解析式．
(2)当时，求的值．
18．已知点在二次函数的图象上．
(1)求的值．
(2)若点，，都在二次函数的图象上，请将，，直接用“<”连接起来．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，与轴交于点．连接，，求的面积．
20．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为．
(1)y与x之间的函数关系式：
(2)求自变量x的取值范围：
(3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间：若不能，说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点，连接，点在线段上，设点的横坐标为．
(1)求直线的解析式；
(2)如果以为顶点的新抛物线经过原点，且与轴的另一个交点为，若是以为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B A D B A
1．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标．首先确定二次函数的顶点坐标，然后根据点的坐标特点写出顶点的位置．
【详解】∵
∴顶点坐标为
∴顶点所在的象限是第二象限．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了二次函数的定义，以及二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．时，开口向上；时，开口向下．根据函数图象是一条抛物线可知该函数是二次函数，再根据函数图象开口向上即可求解．
【详解】解：∵函数的图象是一条抛物线，
∴，
∴．
∵图象开口向上，
∴，
∴．
故选D．
3．C
【分析】此题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的开口大小与有关，越大，开口越小是解题的关键．
根据二次函数的开口大小与有关，越大，开口越小．
【详解】解：∵，
∴中开口最小的是．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查二次函数定义．根据题意利用二次函数一般形式：形如“（，a、b、c为常数”的函数为二次函数，即可列方程求解得到本题答案．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，
解得，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，熟练掌握二次函数与一次函数的性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．分别讨论a的情况，再根据一次函数与二次函数的图象分布，比较看是否一致即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
当时，则，，
一次函数的图象过一、二、三象限，
二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，且关于y轴对称，
当时，则，，
一次函数的图象过二、三、四象限，
二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且关于y轴对称，
只有A选项符合题意，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
根据二次函数的增减性列出不等式求解即可．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，
∵当时，随的增大而增大，
又∵，函数图像开口向上，
∴，
解得．
故选：D．
7．B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键．
先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答．
【详解】解：∵,
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵点离对称轴最远，点在对称轴上，
∴．
故选：B．
8．A
【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得，第二个月投放垃圾桶数量为个，则第三个月投放垃圾桶数量为个，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
故选：A．
9．减小
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性．根据，得函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小，即可得答案．
【详解】解：∵，对称轴为直线，
∴函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
10．
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，根据开口向下的二次函数的解析式中二次项系数为负数进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键．
根据平移的“左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向左平移6个单位所得直线解析式为：．
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当时，y随x的增大而增大，求得当时，；时，，即可求解．
【详解】解：由题意得，，对称轴，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵当时，；时，，
∴当时，函数值y的取值范围为，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】∵抛物线与直线交于、两点，
∴由函数图象可得，不等式的解集是，
故答案为：．
14．①②④
【分析】本题主要考查了二次函数性质，根据表格中的数据先求出抛物线的解析式为，根据抛物线的解析式逐项进行判断即可．
【详解】解：根据表格中的数据可知，抛物线经过点，，，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为：，
∵，
∴抛物线的开口向上，故①正确；
抛物线的对称轴是直线，故②正确；
根据表格可知，抛物线与y轴的交点坐标为，故③错误；
当时，y随x的增大而减小，故④正确；
综上分析可知：正确的是①②④．
故答案为：①②④．
15．9
【分析】本题考查二次函数的最值，以及二次函数的对称性，根据二次函数的图象和性质得到其在秒时的高度是最高，即可解题．
【详解】解：此炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等，
由对称性可知，此炮弹飞行第秒时的高度是最高的．
故答案为：9．
16．或
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．
由题意得，“三倍点”所在的直线为，根据二次函数的图象上有且只有一个“三倍点”转化为和有且只有一个交点，求，和时两个函数值相等时的c值即可．
【详解】解：由题意得，“三倍点”所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上有且只有一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和有且只有一个交点，
令，整理得，，
∴，解得，，
此时，，符合：
当时，，
当时，，
由图看出，当时，函数有两个“三倍点”，
∴，
综上，c的取值范围为：或．
故答案为：或．
17．(1)
(2)．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当时，点和点关于对称轴对称，据此求解即可．
【详解】（1）解：将点代入，
得，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：由题意得当时，则，
解得．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，比较二次函数值的大小．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据函数开口向下，得到离对称轴越远函数值越小，再求出各点到对称轴的距离，然后比较距离的大小即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上，
∴，
解得；
（2）解：∵二次函数的图象开口向下，
∴二次函数对称轴为轴，离对称轴越远函数值越小，
∵点，，都在该函数图象上，，
∴．
19．8
【分析】本题考查二次函数的性质，令和求出A，B，C三点的坐标，然后求解即可．
【详解】解：当时，，
∴点的坐标为，
当时，，
解得，，
，
．
20．(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】此题考查二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键．
（1）利用两个直角三角形的面积差求得答案即可；
（2）利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可；
（3）利用（1）的函数建立方程求解判断即可．
【详解】（1）解：∵运动的时间为x，点P的速度为，点Q的速度为，
，．
．
（2）解：，，
．
（3）解：不能，理由如下：
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）．
．
不在自变量x的取值范围内．
∴四边形的面积不能等于．
21．(1)
(2)或
【分析】（1）先确定点C的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）利用等腰三角形定义分类求解即可．
本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的分类求解，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
令得，
∴，
设直线的解析式为：，
将点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：.
（2）解：∵点的横坐标为，点在线段上，
∴，，
∴设新抛物线的解析式为，
∵点、点，
∴，，.
分情况讨论：
（1）当时，则，
解得，
此时，，
∴新抛物线的解析式为，
∵新抛物线经过原点，
∴，
解得，
∴新抛物线的解析式为；
（2）当时，，
解得，（此时与重合，舍去），
∴，
∴新抛物线的解析式为，
∵新抛物线经过原点，
∴，
解得，
∴新抛物线的解析式为.
综上所述，新抛物线的解析式为或.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)