第二十二章 二次函数 典例精讲与强化训练（含解析）

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第二十二章二次函数典例精讲与强化训练-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列函数一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．二次函数的图象经过平面内的四个象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．已知二次函数（、、为常数，）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．二次函数的图象如图所示，则其解析式是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题
9．已知为的角平分线，且，，当面积最大时，其周长为 ．
10． 与x轴最多有一个交点，则的最小值为 ．
11．已知二次函数图象的顶点在第二象限，且过点，若的值为非零整数，则b的值为 ．
12．写出一个开口向下，顶点为的二次函数 ．
13． 的三个顶点 均在抛物线 上， 并且斜边 平行于 轴， 若斜边上的高为 ， 则 的值为 ．
14．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为 秒．
15．抛物线经过点，，以及点D，若点D的横坐标为，则点D的纵坐标是 （用n的式子含表示）．
16．如图，一座抛物线型拱桥．当桥下水面宽度是4时，拱高为2．此时若平顶船的顶部与桥拱之间的距离不少于0.3，则能顺利从桥下通过．当一艘宽2的平顶船能从拱桥下通过，则它高出水面的高度不得超过 ．
三、解答题
17．已知二次函数的图象经过点、、，且与x轴交于A、B两点．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)判断点是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，请说明理由．
18．已知抛物线的对称轴为直线，且过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)该抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？
(3)当在什么范围内时，随的增大而减小？
19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式．
(2)P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标．
20．如图，用长为m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是 m），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽是单位：m，面积是单位：
(1)求与的函数关系式及的取值范围；
(2)如果要围成面积为的花圃，的长为多少米？
21．如图，抛物线经过，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点B，连接交y轴于点D，且．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点Q是抛物线上一点，其横坐标是m，当点Q到直线的距离是7时，求m的值；
(3)点P为抛物线对称轴上一点，连接，若是以为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
22．如图，某跳水运动员在跳台上进行跳水训练，在跳某个规定动作时，根据已建的平面直角坐标系，运动员在空中最高处的坐标为，点A的横坐标为，最后到入水点D．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）；
(2)正常情况下，运动员在距水面高度之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距的水平距离为，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A A A D A B
1．D
【分析】此题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义逐个判断即可，一般地，形如的函数（是常数，），叫做二次函数．
【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、是一次函数，故本选项不符合题意；
C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、是二次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据题目中的解析式和二次函数的性质可以求得的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：，
二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，顶点为，
二次函数的图象经过平面内的四个象限，
顶点在轴的下方，与轴的交点在负半轴，
，
．
故选：A．
3．A
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．根据二次函数的解析式求出顶点坐标，再根据二次函数的性质求出的值即可．
【详解】解：，
二次函数的顶点坐标为，且二次函数的图象开口向下，
当时，，
，
当时，，
解得或（舍去），
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．由二次函数(a、b、c为常数，)的图象开口向下可知，对称轴在y轴的右侧可知，由抛物线交y轴的正坐标可知，据此判断即可．
【详解】解：由二次函数(a、b、c为常数，)的图象可知，，，
故选项A符合题意，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了求二次函数解析式．设交点式，然后把代入求出a即可．
【详解】由图象可得抛物线过、、三点，
∴设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为，
故选：A．
6．D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可．
【详解】解：如图所示，
A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意；
B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意；
故选：D
7．A
【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上；利用随的增大而减小，即可判断．
【详解】解：二次函数，
开口向上，对称轴为，在对称轴的左侧，随的增大而减小，
和对称
因为，
于是．
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值是解题的关键．
首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围．
【详解】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象有恰有一个公共点．
图1
∴当时，，即，解得．
如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点．
图2
∵经过点，
∴当时，，即，解得．
∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
图3
当射线正好经过点时，
即当时，即，解得．
如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
图4
∵经过，
∴．
∴时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是或．
故选：B．
9．
【分析】本题考查角平分线的性质，坐标与图形，二次函数求最值，根据角平分线的性质，结合同高三角形的比等于底边比，得到，进而得到，以点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，设点坐标为，根据结合两点间的距离公式，求出，根据面积最大时点纵坐标最大，得到，进而求出点坐标，进一步求出的周长即可．
【详解】解：∵为的角平分线，
∴点到的距离相等，设点到的距离为，
∴，
∴，
∴，
以点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，
则，，，
设点坐标为，
则，，
∵，
∴，
∴，整理得，
面积最大时点纵坐标最大，
故当时，有最大值即有最大值，即面积有最大值，
故当时，，，
∵点在第一象限故，
则，，
则周长为：．
故答案为：
10．3
【分析】根据抛物线与轴最多有一个交点，且抛物线开口向上，抛物线的顶点坐标在轴上方或在轴上，根据当时，，得到，则，即可作答．本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点问题，熟悉这些性质是解题的关键．
【详解】解： 抛物线与轴最多有一个交点，且抛物线开口向上，
抛物线的顶点坐标在轴上方或在轴上，
当时，，
，
，
即
，
，
的最小值为3，
故答案为：3．
11．或
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，先根据题意确定、的符号，然后进一步确定的取值范围，根据的值为非零整数确定、的值，从而确定答案．
【详解】解：依题意知，，，
故，且，，
，
，
，
的值为非零整数，
的值为，1，
或，
或，
，
或．
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为顶点为，所以设，因为开口向下，所以，据此即可作答．
【详解】解：∵顶点为
∴设二次函数的解析式
∵开口向下，
∴
∴
故答案为：
13．1
【分析】此题考查二次函数的性质，直角三角形的特征，勾股定理，观察图形的能力，要找到各点坐标之间的关系，巧妙地代换未知量．
由抛物线表达式和三角形性质求出A、B、C各点坐标，就可以求出h．
【详解】解：由题，，均在抛物线上，并且斜边平行于轴，
知、两点关于轴对称，记斜边交轴于点，
可设，，，，，，斜边上的高为，
故，
是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，
，
，
方程两边平方得，即，
因为，
所以．
故答案为：1．
14．50
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题关键．对于二次函数，令，并解得的值，即可获得答案．
【详解】解：对于二次函数，
令，可得，
解得，（舍去），
所以，当炮弹落到地面时，经过的时间为50秒．
故答案为：50．
15．
【分析】本题考查抛物线的对称性，求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和点的坐标特征，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴对称轴为，
又∵，
∴点和点D关于对称轴对称，
∴点D的纵坐标是，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，以水面所在水平线为轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为轴，建立坐标系，用待定系数法求出函数表达式，进而求解．
【详解】解：如图，以水面所在水平线为轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为轴，建立坐标系，则抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为：，
木船宽，
把代入得：，
船顶点与桥拱之间的间隔应不少于，
木船的高不得超过．
故答案为：．
17．(1)
(2)点在函数图象上，的面积为6．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）将代入解析式，得，即可得点在函数图象上，令，求得的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）设二次函数为，把、、代入二次函数解析式，
得：，
解得．
∴二次函数的解析式为：；
（2）把代入解析式，可得：，
∴点在函数图象上．
当，，
解得：，
∴
∴．
18．(1)抛物线解析式为；
(2)抛物线是由抛物线向左平移个单位；
(3)当时，随的增大而减小．
【分析】（）根据对称轴，可得的值，根据抛物线过点，可得值；
（）根据顶点式，即可说明需要移动的单位和方向；
（）根据函数图象及函数的增减性回答即可；
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即抛物线解析式为，
∵过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由（）得：抛物线解析式为，
∴抛物线是由抛物线向左平移个单位长度得到的；
（3）由（）得：抛物线解析式为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，随的增大而减小．
19．(1)
(2)的最大值为，此时的坐标为
【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据点，利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出直线的解析式，再过点作轴的垂线，交于点，设点的坐标为，则，然后利用三角形的面积公式可得关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将点，代入得：，
解得，
则二次函数的表达式为．
（2）解：当时，，
则，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
如图，过点作轴的垂线，交于点，
则和的边上的高之和等于，
设点的坐标为，则，
所以，
则的面积，
由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
此时，
所以的最大值为，此时的坐标为．
20．(1)
(2)的长为米
【分析】本题主要考查二次函数的应用，正确列出函数表达式是解题的关键．
（1）根据题目数量关系列函数表达式即可；
（2）将代入（1）中表达式即可求解．
【详解】（1）解：由，得，
则，
∵，
∴，
∴，
∴y与x的函数关系式为；
（2）若，则，
解得：，，
∵，
所以，
即当的长为米时，花圃的面积为162平方米．
21．(1)
(2)，
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数、二次函数与直角三角形综合，点到直线的距离，解决问题的关键是熟练掌握二次函数性质、用待定系数法确定二次函数的解析式、运用勾股定理解直角三角形．
（1）根据，，得到，，对，令，则，得到，则，根据轴，得得到，把，代入，求得，的值，即可求得到抛物线解析式；
（2）由题意得，，则点Q到直线的距离为，故，解方程即可；
（3）抛物线解析式并配方为，得到抛物线的对称轴是直线，设，写出，，，根据是以为直角边的直角三角形，分两种情况：当时，；当时，，分别列方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
在中，令，则，
∴，则，
∵轴，
∴；
把点，代入，
得：，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：由题意得，，
则点Q到直线的距离为，
∴，
则或
解①得：或
解②，无解，
∴或；
（3）解： ∵抛物线的表达式为，
∴抛物线的对称轴是直线，
设，
则，，，
∵是以为直角边的直角三角形，
∴当时，，
∴，
∴，
∴
当时，,
∴
解得：，
∴
综上：或．
22．(1)
(2)该运动员此次跳水不会失误，理由见解析．
【分析】此题考查了二次函数的实际应用．
（1）利用待定系数法进行解答即可；
（2）求出运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为．当时，．则，据此即可判断该运动员此次跳水不会失误．
【详解】（1）解：∵运动员在空中最高处的坐标为，
∴设该抛物线的表达式为．
∵该抛物线经过点，
∴，解得．
∴抛物线的表达式为．
（2）该运动员此次跳水不会失误．理由如下：
∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距的水平距离为，点A的坐标为，
∴运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为．
当时，．
∵，
∴该运动员此次跳水不会失误．
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