2015-2016学年湖南省益阳市高一（上）期末数学试卷（解析版）

2015-2016学年湖南省益阳市高一（上）期末数学试卷
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U={﹣1，0，1}，A={0，1}，则 UA=（　　）
A．{﹣1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，1}
　
2．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
　
3．下列函数在（0，+∞）上是减函数的是（　　）
A．y=|x| B．y= C．y=x3 D．y=2x
　
4．设 a=，则a，b 的大小关系是（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定
　
5．下列命题正确的是（　　）
A．如果一条直线平行一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面
B．如果一条直线平行一个平面，那么这条直线平行这个平面内的所有直线
C．如果一条直线垂直一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直这个平面
D．如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直这个平面内的所有直线
　
6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D与C1D1所成角的余弦值是（　　）
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A． B． C． D．
　
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）
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A．4 B．5 C．6 D．8
　
8．在空间直角坐标系中，已知三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），则三角形ABC 是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
　
9．设函数与g（x）=3﹣x的图象的交点为（ x0，y0 ），则x0所在的区间为（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
　
10．设f（x）=，则 f[f （﹣1）]=（　　）
A． B．1 C．2 D．4
　
11．方程x2+y2+2ax﹣4y+（a2+a）=0表示一个圆，则a的取值范围是（　　）
A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）
　
12．已知函数f（x）=ln|x﹣2|﹣|x﹣2|，则它的图象大致是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
　
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13．以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的体积为　　　　　　．
　
14．已知2x+2﹣x=3，则 4x+4﹣x=　　　　　　．
　
15．已知直线l：2x﹣y+1=0与圆（x﹣2）2+y2=r2相切，则r等于　　　　　　．
　
16．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同 ( http: / / www.21cnjy.com )，假定保鲜时间y（小时）与储藏温度x（℃）的关系为指数型函数y=kax，若牛奶在10℃的环境中保鲜时间约为64小时，在5℃的环境中保鲜时间约为80小时，那么在0℃时保鲜时间约为　　　　　　小时．
　
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}．
（1）求A∪B；
（2）若A∩C≠ ，求a的取值范围．
　
18．已知平面直角坐标系中，三点A（1，﹣1），B（5，2），C（4，m），满足AB⊥BC，
（1）求实数m的值；
（2）求过点C且与AB平行的直线的方程．
　
19．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x（1﹣x）．
（1）在如图所给直角坐标系中画出函数f（x）的草图，并直接写出函数f（x）的零点；
（2）求出函数f（x）的解析式．
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20．如图，正方形ABCD与正方形ABEF有一条公共边AB，且平面ABCD⊥平面ABEF，M是EC的中点，AB=2．
（1）求证：AE∥平面MBD；
（2）求证：BM⊥DC；
（3）求三棱锥M﹣BDC的体积．
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21．已知直线l：x﹣y+a=0（a＜0）和圆C：（x﹣3）2+（ y﹣2）2=19相交于两点A、B，且|AB|=2．
（1）求实数a的值；
（2）设O为坐标原点，求证：OA⊥OB．
　
22．已知函数f（x）=ln（1+x）．
（1）若函数g（x）=f（e4x）+ax，且g（x）是偶函数，求a的值；
（2）若h（x）=f（x）[f （x）+2m﹣1]在区间[e﹣1，e3﹣1]上有最小值﹣4，求m的值．
　
　
2015-2016学年湖南省益阳市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U={﹣1，0，1}，A={0，1}，则 UA=（　　）
A．{﹣1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，1}
【考点】补集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】由题意，直接根据补集的定义求出 UA，即可选出正确选项．
【解答】解：因为U={﹣1，0，1}，A={0，1}，
所以 UA={﹣1}
故选：A
【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键．
　
2．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【考点】直线的倾斜角．
【专题】直线与圆．
【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．
【解答】解：设直线的倾斜角为θ．
则，
∴θ=60°．
故选：C．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．
　
3．下列函数在（0，+∞）上是减函数的是（　　）
A．y=|x| B．y= C．y=x3 D．y=2x
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据一次函数、反比例函数、指数函数和y=x3的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．
【解答】解：A．x＞0时，y=|x|=x为增函数，∴该选项错误；
B.在（0，+∞）上是减函数，∴该选项正确；
C．y=x3在（0，+∞）上是增函数，∴该选项错误；
D．指数函数y=2x在（0，+∞）上是增函数，∴该选项错误．
故选：B．
【点评】考查一次函数、反比例函数及指数函数的单调性，清楚函数y=x3的图象及其单调性．
　
4．设 a=，则a，b 的大小关系是（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数的单调性求解．
【解答】解：∵a=，
∴0＜，，
∴a＜b．
故选：B．
【点评】本题考查两个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用．
　
5．下列命题正确的是（　　）
A．如果一条直线平行一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面
B．如果一条直线平行一个平面，那么这条直线平行这个平面内的所有直线
C．如果一条直线垂直一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直这个平面
D．如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直这个平面内的所有直线
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】在A中，这条直线有可能包含于这个平 ( http: / / www.21cnjy.com )面；在B中，这条直线和这个平面内的所有直线平行或异面；在C中，当这无数条直线没有交点时，那么这条直线不一定垂直这个平面；在D中，由直线与平面垂直的性质定理得这条直线垂直这个平面内的所有直线．
【解答】解：在A中，如果一条直线平行一个平面内的一条直线，
那么这条直线平行于这个平面或包含于这个平面，故A错误；
在B中，如果一条直线平行一个平面，
那么这条直线和这个平面内的所有直线平行或异面，故B错误；
在C中，如果一条直线垂直一个平面内的无数条直线，
当这无数条直线没有交点时，那么这条直线不一定垂直这个平面，故C错误；
在D中，如果一条直线垂直一个平面，
那么由直线与平面垂直的性质定理得这条直线垂直这个平面内的所有直线，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
　
6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D与C1D1所成角的余弦值是（　　）
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A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．
【分析】由C1D1∥A1B1，得∠A1B1D是B1D与C1D1所成角，由此能求出B1D与C1D1所成角的余弦值．
【解答】解：∵C1D1∥A1B1，∴∠A1B1D是B1D与C1D1所成角，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为a，
∴，B1D=，
∴cos∠A1B1D===．
∴B1D与C1D1所成角的余弦值是．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
　
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）
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A．4 B．5 C．6 D．8
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，代入柱体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，
其底面面积S=×（1+2）×2=3，
高h=2，
故体积V=Sh=6，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
　
8．在空间直角坐标系中，已知三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），则三角形ABC 是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用．
【分析】由空间两点间距离公式分别求出三边长，再由勾股定理能判断三角形的形状．
【解答】解：∵三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），
∴|AB|==，
|AC|==，
|BC|==1，
∴AC2=AB2+BC2，
∴三角形ABC是直角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中两点间距离公式的合理运用．
　
9．设函数与g（x）=3﹣x的图象的交点为（ x0，y0 ），则x0所在的区间为（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【考点】函数的图象．
【专题】计算题；数形结合；构造法；函数的性质及应用．
【分析】令f（x）﹣g（x）=+x﹣3，从而可判断f（2）﹣g（2）=﹣1＜0，f（3）﹣g（3）=＞0，从而解得．
【解答】解：令f（x）﹣g（x）=+x﹣3，
f（2）﹣g（2）=﹣1＜0，f（3）﹣g（3）=＞0，
故（f（2）﹣g（2））（f（3）﹣g（3））＜0，
故x0所在的区间为（2，3），
故选：C．
【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用及数形结合的思想应用．
　
10．设f（x）=，则 f[f （﹣1）]=（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【考点】函数的值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数的性质求解．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（﹣1）=﹣1+2=1，
f[f （﹣1）]=f（1）=．
故选：A．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
　
11．方程x2+y2+2ax﹣4y+（a2+a）=0表示一个圆，则a的取值范围是（　　）
A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）
【考点】二元二次方程表示圆的条件．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件进行求解即可．
【解答】解：方程x2+y2+2ax﹣4y+（a2+a）=0表示一个圆，
则4a2+16﹣4（a2+a）＞0，
解得a＜4，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆的一般方程的应用，根据二元二次方程表示圆的条件是解决本题的关键．
　
12．已知函数f（x）=ln|x﹣2|﹣|x﹣2|，则它的图象大致是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】函数的图象．
【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由题意可判断函数f（x）的图象关于直线x=2对称，且在（2，3）上是增函数，在（3，+∞）上是减函数，从而解得．
【解答】解：∵f（x+4）=ln|x+2|﹣|x+2|=ln|﹣x﹣2|﹣|﹣x﹣2|=f（﹣x），
∴f（x+4）=f（﹣x），
∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，
故排除C、D；
又∵当x＞2时，f（x）=ln（x﹣2）﹣（x﹣2），
f′（x）=﹣1=，
∴f（x）在（2，3）上是增函数，在（3，+∞）上是减函数，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想应用．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13．以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的体积为　8π　．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】圆柱的底面半径和高均为2，代入体积公式计算即可．
【解答】解：圆柱的底面半径和高均为2，∴圆柱的体积V=π×22×2=8π．
故答案为：8π．
【点评】本题考查了圆柱的定义与结构特征，属于基础题．
　
14．已知2x+2﹣x=3，则 4x+4﹣x=　7　．
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】直接把要求解的式子配方后代入已知条件得答案．
【解答】解：∵2x+2﹣x=3，
∴4x+4﹣x=（2x+2﹣x）2﹣2=32﹣2=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值，关键是完全平方式的应用，是基础题．
　
15．已知直线l：2x﹣y+1=0与圆（x﹣2）2+y2=r2相切，则r等于　　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】根据圆心到直线的距离等于半径，可得=r，由此求得r的值．
【解答】解：根据圆心（2，0）到直线l：2x﹣y+1=0的距离等于半径，可得=r，求得r=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
　
16．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同， ( http: / / www.21cnjy.com )假定保鲜时间y（小时）与储藏温度x（℃）的关系为指数型函数y=kax，若牛奶在10℃的环境中保鲜时间约为64小时，在5℃的环境中保鲜时间约为80小时，那么在0℃时保鲜时间约为　100　小时．
【考点】函数的值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由已知条件列出方程组求出a，k，由此能求出结果．
【解答】解：∵保鲜时间y（小时）与储藏温度x（℃）的关系为指数型函数y=kax，
牛奶在10℃的环境中保鲜时间约为64小时，
在5℃的环境中保鲜时间约为80小时，
∴，解得，k=100，
∴在0℃时保鲜时间y=ka0=k=100小时．
故答案为：100．
【点评】本题考查牛奶保鲜时间的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}．
（1）求A∪B；
（2）若A∩C≠ ，求a的取值范围．
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】（1）根据并集运算即可求A∪B；
（2）若A∩C≠ ，根据集合关系即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，
∴A∪B={x|1＜x≤8}；
（2）∵A={x|2≤x≤8}，C={x|x＞a}，
∴若A∩C≠ ，则a＜8，
即a的取值范围是（﹣∞，8）．
【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，比较基础．
　
18．已知平面直角坐标系中，三点A（1，﹣1），B（5，2），C（4，m），满足AB⊥BC，
（1）求实数m的值；
（2）求过点C且与AB平行的直线的方程．
【考点】待定系数法求直线方程．
【专题】转化思想；直线与圆．
【分析】（1）由AB⊥BC，可得kAB kBC=﹣1，解得m即可．
（2）由（1）可知：C，利用平行直线的斜率之间的关系可得斜率，再利用点斜式即可得出．
【解答】解：（1）kAB==，kBC==2﹣m，
∵AB⊥BC，
∴kAB kBC=×（2﹣m）=﹣1，解得m=．
（2）由（1）可知：C，
∴要求的直线方程为：y﹣=（x﹣4），化为9x﹣12y+4=0．
【点评】本题考查了考查了相互平行与相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
19．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x（1﹣x）．
（1）在如图所给直角坐标系中画出函数f（x）的草图，并直接写出函数f（x）的零点；
（2）求出函数f（x）的解析式．
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【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数的图象．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质以及函数零点的定义进行求解即可．
（2）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【解答】解：（1）当x≥0时，由f（x）=2x（1﹣x）=0得x=0或x=1，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＜0时，函数的零点为﹣1，
即函数f（x）的零点为0，﹣1，1．
（2）若x＜0，则﹣x＞0，
∵x≥0时，f（x）=2x（1﹣x）．
∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣2x（1+x）．
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣2x（1+x）=﹣f（x），
即f（x）=2x（1+x），x＜0．
即f（x）=．
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【点评】本题主要考查函数零点的求解以及函数解析式的求解决，利用函数奇偶性的定义和性质进行转化是解决本题的关键．
　
20．如图，正方形ABCD与正方形ABEF有一条公共边AB，且平面ABCD⊥平面ABEF，M是EC的中点，AB=2．
（1）求证：AE∥平面MBD；
（2）求证：BM⊥DC；
（3）求三棱锥M﹣BDC的体积．
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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接OM，证明OM∥AE，利用线面平行的判定证明：AE∥平面MBD；
（2）证明CD⊥平面BCE，即可证明：BM⊥DC；
（3）利用等体积法求三棱锥M﹣BDC的体积．
【解答】（1）证明：连接AC，交BD于O，连接OM，
∵ABCD是正方形，
∴OA=OC，
∵M是EC的中点，
∴OM∥AE，
∵OM 平面MBD，AE 平面MBD，
∴AE∥平面MBD；
（2）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，BE⊥AB，
∴BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥CD，
∵BC⊥CD，BC∩BE=B，
∴CD⊥平面BCE，
∵BM 平面BCE，
∴CD⊥BM；
（3）解：由（2）知道，BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥BC，
∵M是EC的中点，
∴S△BMC==1，
∵CD⊥平面BCE，
∴VM﹣BDC=VD﹣BMC==．
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【点评】本题考查线面平行、垂直的判定，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
　
21．已知直线l：x﹣y+a=0（a＜0）和圆C：（x﹣3）2+（ y﹣2）2=19相交于两点A、B，且|AB|=2．
（1）求实数a的值；
（2）设O为坐标原点，求证：OA⊥OB．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）由题意，圆心到直线的距离d===，结合a＜0，即可求实数a的值；
（2）证明x1x2+y1y2=0，即可证明：OA⊥OB．
【解答】（1）解：由题意，圆心到直线的距离d===，
∵a＜0，
∴a=﹣3；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
将y=x﹣3代入圆方程得：2x216x+15=0，
∴x1+x2=8，x1x2=，
∵y1=x1﹣3，y2=x2﹣3，
∴y1y2=（x1﹣3）（x2﹣3）=x1x2﹣3（x1+x2）+9=﹣，
∴x1x2+y1y2=0，
∴OA⊥OB．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查基础知识的综合运用和灵活能力．
　
22．已知函数f（x）=ln（1+x）．
（1）若函数g（x）=f（e4x）+ax，且g（x）是偶函数，求a的值；
（2）若h（x）=f（x）[f （x）+2m﹣1]在区间[e﹣1，e3﹣1]上有最小值﹣4，求m的值．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）先求出g（x ( http: / / www.21cnjy.com )）=ln（1+e4x）+ax，由g（x）为偶函数，便可得到ln（1+e﹣4）﹣a=ln（1+e4）+a，这样便可求出a的值；
（2）可设f（x）=t，可得到t∈[1，3]，设y=h（x），从而有，可讨论和区间[1，3]的关系：分和三种情况，在每种情况里，根据y的最小值为﹣4便可建立关于m的方程，解方程即得m的值．
【解答】解：（1）g（x）=f（e4x）+ax=ln（1+e4x）+ax，g（x）为偶函数；
∴g（﹣1）=g（1）；
即ln（1+e﹣4）﹣a=ln（1+e4）+a；
∴ln（1+e4）﹣lne4﹣a=ln（1+e4）+a；
∴﹣4﹣a=a；
∴a=﹣2；
（2）令f（x）=t，x∈[e﹣1，e3﹣1]，∴t∈[1，3]；
设y=h（x），则y=；
①若，即时，当t=1时，ymin=2m=﹣4；
∴m=﹣2与不符；
②若，即时，当时，；
解得m=，或（舍去）；
③若，即时，当t=3时，
ymin=6m+6=﹣4；
∴，与不符；
综上得， m的值为．
【点评】考查已知f（x）求f[g（x） ( http: / / www.21cnjy.com )]的方法，偶函数的定义，换元法的应用，配方求二次函数最值的方法，根据二次函数的单调性求二次函数在闭区间上的最值．