集合——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练（含解析）

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集合——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练
一、选择题
1．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是( )
A.10 B.9 C.8 D.7
2．设集合A含有，1两个元素，B含有，2两个元素，定义集合，满足，，且，则中所有元素之积为( )
A. B. C.8 D.16
3．下列关系中正确的是( )
A. B. C. D.
4．已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果一定为U的是( )
A. B. C. D.
5．已知集合，则满足的集合B的个数为( )
A.16 B.14 C.8 D.2
6．对于集合A，B，“”不成立的含义是( )
A.B是A的子集 B.A中的元素都不是B的元素
C.A中至少有一个元素不属于B D.B中至少有一个元素不属于A
7．若，且M中至少含有一个质数，则满足要求的M的个数为( )
A.16 B.20 C.24 D.32
8．下列各式中关系符号运用正确的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．设,,则( )
A. B. C. D.
10．下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11．下列集合是无限集的是( )
A.是能被3整除的数} B.
C. D.是面积为1的菱形}
12．已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．给出下列说法：
①集合用列举法表示为；
②实数集可以表示为为实数}或；
③方程组的解组成的集合为.
其中不正确的有__________.（把所有不正确说法的序号都填上）
14．已知集合.若，则实数a的值构成的集合为___________.
15．用区间表示下列集合：
___________；___________；
___________；___________.
16．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座,其中有75人听了数学讲座,68人听了历史讲座,61人听了音乐讲座,17人同时听了数学、历史讲座,12人同时听了数学、音乐讲座,9人同时听了历史、音乐讲座,还有6人听了全部讲座,则听讲座人数为__________．
四、解答题
17．已知集合，，，且，求a的取值范围.
18．设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集.
（1）当时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由.
19．已知整数，集合，对于中的任意两个元素，，定义A与B之间的距离为.若且，则称是，，…，是中的一个等距序列.
（1）若，，，，判断，，，是否是中的一个等距序列？
（2）设A，B，C是中的等距序列，求证：为偶数；
（3）设，，…，是中的等距序列，且，，.求m的最小值.
20．中学阶段，对许多特定集合的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：.
（1）计算：；
（2）请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；
（3）若“A中的元素”是“对任意，都有成立”的充要条件，试求出元素I.
参考答案
1．答案：B
解析：①当m，n都为正偶数时，符合条件的有，，，共3个；②当m，n都为正奇数时，符合条件的有，，，，共4个；
③当m，n中一个为正偶数，一个为正奇数时，符合条件的有，，共2个.所以集合M的元素个数是9.故选B.
2．答案：C
解析：由题意知，，由集合的定义可知，集合中有以下元素：①，②，③，④，
根据集合中元素满足互异性得，
所以中所有元素之积为.故选C.
3．答案：B
解析：是无理数，所以A错误.空集是任何集合的子集，所以B正确.
集合与集合的元素类型不相同，没有包含关系，所以C错误.
当时，元素，所以D错误.
故选B.
4．答案：D
解析：由得当时，，故选项A不正确；，当时，，故选项B不正确；当时，，故选项C不正确；
因为，所以，故选项D正确.
故选D.
5．答案：A
解析：由集合，
可得集合A中的元素有，，，，，，
所以集合的任何一个子集，添加元素，后都可以作为集合B，所以符合条件的集合B共有个.故选A.
6．答案：C
解析：“”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，不成立的含义是集合A中至少有一个元素不属于集合B，故选C.
7．答案：C
解析：由题意，x可以取的所有值有0，1，2，3，4，其中质数有2，3.
当且M中只有一个质数时，集合有，，，，，，，；
当且M中只有一个质数时，集合有，，，，，，，；
当时，集合有，，，，，，，.
故总个数为（个）.故选C.
8．答案：C
解析：选项A，1为元素，而为集合，应为，A错误；
选项B，为集合，而为集合，应为，B错误；
选项C，为集合，为集合，所以，C正确；
选项D，为集合，而为集合，应为，D错误.故选C.
9．答案：BCD
解析：设,
而,即A错误,C正确;
,即B正确;
,即D正确.
故选：BCD.
10．答案：AD
解析：根据常见数集的表示可知，，，，.
故选：AD
11．答案：ABD
解析：对于A，能被3整除的数有无数个，所以为无限集；
对于B，满足的实数有无数个，所以集合为无限集；
对于C，该集合可表示为，为有限集；
对于D，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集.
故选ABD.
12．答案：CD
解析：x，y，z同为正数时，代数式的值为4，所以；当x，y，z中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为.故选CD.
13．答案：①②③
解析：①由，即，得或或.因为，所以集合用列举法表示为.②实数集正确的表示为为实数}或R.③方程组的解组成的集合正确的表示应为或.故①②③均不正确.
14．答案：
解析：因为集合，且，所以或.
（1）当时，，，符合题意.
（2）当时，解得或.
当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当时，，符合题意.
综上可知实数a的值构成的集合为.
15．答案：；；；
解析：集合表示大于的所有实数，可用开区间表示为；集合表示大于2且小于或等于5的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示小于或等于的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示大于或等于2且小于或等于4的所有实数，可用闭区间表示为.
16．答案：172
解析：
,
（人）．
故答案为：172.
17．答案：
解析：若，则，故，满足；
若，即，
由在上是增函数，得，即
①当时，函数在上单调递减，则，即，要使，必须且只需，解得，这与矛盾；
②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使，必须且只需，解得；
③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使，必须且只需，解得；
综上所述，a的取值范围是.
18．答案：（1）
（2）7
（3）不存在，理由见解析
解析：（1），，
（2）设，不妨设，
因为，所以B中元素个数大于等于7个，
又，，此时B中元素个数大于等于7个，
所以生成集B中元素个数的最小值为7.
（3）不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合A的生成集
则必有，，其4个正实数的乘积；
也有，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集
19．答案：（1），，，不是中的一个等距序列；
（2）见解析；
（3）7
解析：（1）
所以，，，不是中的一个等距序列
（2）设，，，
把，，分别称作，，的第一个，第二个，第三个坐标，若，，则A，B中有x个对应坐标不相同，
例如当时，说明A，B中有1个对应坐标不相同，其中，
就是符合的一种情况.
①当得，所以偶数
②当，
则A，B中有1个对应坐标不相同，并且B，C中有1个对应坐标不相同，
所以A，C中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即则，当有2个对应坐标不相同时，，都满足为偶数.
③当
则A，B中有2个对应坐标不相同，并且B，C中有个对应坐标不相同，
所以A，C中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即则，当有2个对应坐标不相同时，，都满足为偶数.
④当
则A，B中有3个对应坐标不相同，并且B，C中有3个对应坐标不相同，
所以A，C中有0个对应坐标不相同，即则，满足为偶数.
综上：A，B，C是中的等距序列，则为偶数
（3）根据第二问可得，则说明，中有5个对应坐标不相同
由变换到需改变5个坐标，保留1个不变，又因为从1变成0经过奇数次变化，
所以从变到至少经过6次变换，每个坐标变换5次，故m的最小值为7.
20．答案：（1）
（2）交换律：.证明见解析
（3）
解析：（2）交换律：.证明如下：
由题知，，
，
所以.
（3）若A中的元素，对任意，都有成立，由（2）知只需.
故，
即.
①若，显然有成立；
②若，则解得
所以当对任意，都有成立时，.
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