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11第13章《轴对称》阶段检测卷(二)
（测试范围：13.3等腰三角形～13.4最短路径问题 解答参考时间：120分钟，满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若等腰三角形的底角为48°，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．66° B．84° C．48° D．68°
2．（3分）在△ABC中，∠A＝15°，∠B＝65°，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
3．（3分）如果等腰三角形两边长分别是10cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A．14cm B．18cm
C．24cm或18cm D．24cm
4．（3分）如图，△ABC的周长是20cm，AB＝AC＝7cm，AD⊥BC于点D，则BD的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
5．（3分）等腰三角形中有一个角是40°，则另外两个角的度数是（ ）
A．70°，70° B．40°，100°
C．70°，40° D．70°，70°或40°，100°
6．（3分）如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝15，则线段DE的长为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，则∠CAD的度数为（ ）
A．30° B．25° C．22.5° D．21°
8．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC＝BE B．EC＝BE C．BC＝EC D．AE＝EC
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
10．（3分）如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，则OC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是 所在的直线．
12．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC，过点A作DE∥BC，若∠1＝30°，则∠2＝ ．
13．（3分）等腰△ABC中，AB＝AC，点E为底边BC上一点，以点E为圆心，EA长为半径画弧，交AB于点D，测得∠CAE＝80°，∠EAD＝54°，则∠DEB＝ °．
14．（3分）如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC上任意一点，过O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，若OE+OF＝3，△ABC的面积为12，则AB＝ ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝9，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，CE∥AB交AD的延长线于点E，则CE的长为 ．
16．（3分）如图，∠AOB＝30°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN的值最小时，关于α，β的数量关系是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，求证：△EAB是等腰三角形．
18．（8分）上午8时，一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝43°，∠NBC＝86°，求从B处到灯塔C的距离．
19．（8分）已知：如图，在等边△ABC中，DB是AC边上的高，E是BC延长线上一点，且DB＝DE，求∠E的度数．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点的坐标分别为A（﹣3，6），B（﹣6，3），C（﹣2，1）．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）在y轴上找一点P，使AP+CP的值最小（保留作图痕迹）．
21．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
22．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）在点M、N运动过程中，能否得到以A、B、C其中一个点为顶点，以MN为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
23．（10分）已知△ABC为等边三角形．
（1）如图1，D为AC中点，点E在BC延长线上，若CD＝CE，求证：DB＝DE．
（2）如图2，点D在CA延长线上，E为线段BC上一点，若AD＝CE，AB与DE交于点Q，求证：∠BDC＝∠BQE．
（3）如图3，在（1）的条件下，以BD为斜边作等腰Rt△BDH，BH＝DH，M为线段BD上一动点，若CD＝2，，请直接写出的最小值 ．
24．（12分）平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a、b满足：，点A、C关于y轴对称，点F为x轴上一动点．
（1）求点A、B两点的坐标；
（2）如图1，若BC⊥CD，BA⊥EA，且BD＝BE，连接ED交x轴于点M，求证：DM＝ME；
（3）如图2，若BC⊥CD，且BC＝CD，直线BC上存在某点G（m，3m+3），使△DFG为等腰直角三角形（点D、F、G按逆时针方向排列），请直接写出点F的坐标．中小学教育资源及组卷应用平台
11第13章《轴对称》阶段检测卷(二)
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若等腰三角形的底角为48°，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．66° B．84° C．48° D．68°
【思路点拔】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵等腰三角形的底角为48°，
∴等腰三角形的顶角＝180°﹣48°﹣48°＝84°．
故选：B．
2．（3分）在△ABC中，∠A＝15°，∠B＝65°，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【思路点拔】根据三角形内角和定理求得∠C＝100°即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝15°，∠B＝65°，
∴∠C＝100°
∴△ABC是钝角三角形．
故选：D．
3．（3分）如果等腰三角形两边长分别是10cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A．14cm B．18cm
C．24cm或18cm D．24cm
【思路点拔】分10cm是腰长与底边两种情况讨论求解即可．
【解答】解：①10cm是腰长时，三角形的三边分别为10、10、4，能组成三角形，
所以，周长＝10+10+4＝24cm；
②10cm是底边时，三角形的三边分别为10、4、4，
∵4+4＝8＜10，
∴不能组成三角形，
综上所述，三角形的周长为24cm．
故选：D．
4．（3分）如图，△ABC的周长是20cm，AB＝AC＝7cm，AD⊥BC于点D，则BD的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【思路点拔】根据“三线合一”可得BD＝CD，由题意求出BC的长，即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴点D为BC的中点，BD＝CD，
∵△ABC的周长是20cm，AB＝AC＝7cm，
∴BC＝20﹣7﹣7＝6（cm），
∴，
故选：C．
5．（3分）等腰三角形中有一个角是40°，则另外两个角的度数是（ ）
A．70°，70° B．40°，100°
C．70°，40° D．70°，70°或40°，100°
【思路点拔】由等腰三角形的一个角是40度，可以分为若40°的角是顶角与若40°的角是底角去分析求解，小心别漏解．
【解答】解：若40°的角是顶角，则底角为：（180°﹣40°）＝70°，
∴此时另外两个角的度数是70°，70°；
若40°的角是底角，则另一底角为40°，
∴顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴此时另外两个角的度数是100°，40°．
∴另外两个角的度数是：70°、70°或40°、100°．
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝15，则线段DE的长为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【思路点拔】利用角平分线的定义和平行线的性质可得△DBO和△ECO是等腰三角形，从而可得DB＝DO，EO＝EC，然后利用等量代换，即可解答．
【解答】解：∵OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，
∴∠DBO＝∠DOB，∠ACO＝∠EOC，
∴DB＝DO，EO＝EC，
∵BD+CE＝15，
∴DO+EO＝15，
∴DE＝15，
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，则∠CAD的度数为（ ）
A．30° B．25° C．22.5° D．21°
【思路点拔】利用△ABC是等腰直角三角形先求出∠B，再利用△BDA是等腰三角形求出∠BAD，最后利用直角求出∠CAD即可．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵BD＝BA，
∴∠BDA＝∠BAD，
∴，
∴∠CAD＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：C．
8．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC＝BE B．EC＝BE C．BC＝EC D．AE＝EC
【思路点拔】根据同角的余角相等可得出∠BCD＝∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE＝∠DCE，再结合∠BEC＝∠A+∠ACE、∠BCE＝∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC＝∠BCE，利用等角对等边即可得出BC＝BE，此题得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE．
又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE．
故选：A．
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【思路点拔】本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，C是动点，所以要分情况讨论：以AC、AB为腰、以AC、BC为腰或以BC、AB为腰．则满足条件的点C可求．
【解答】解：如图，
由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个，x轴正半轴上的点不能成立，因为此时ABC三点共线，不能构成三角形；
以AC、BC为腰的三角形有2个；
以BC、AB为腰的三角形有2个．
则点C的个数是7．
故选：D．
10．（3分）如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，则OC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拔】根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠AOB＝150°，PC∥OB交OA于点C，
∴∠PCO＝30°，
过P作PE⊥OA于E，
∵PD⊥OB，OP平分∠AOB
∴PE＝PD＝3，∴∠AOP＝∠POD＝75°，
∴∠CPO＝75°，
∴OC＝PC＝6，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是 顶角平分线或底边上的高或底边上的中线 所在的直线．
【思路点拔】等腰三角形是轴对称图形，根据等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合即可得出答案．
【解答】解：∵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，
又等腰三角形是轴对称图形，
∴其对称轴是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线．
故答案为：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高．
12．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC，过点A作DE∥BC，若∠1＝30°，则∠2＝ 75° ．
【思路点拔】由平行线的性质可求出∠B的度数，再由等腰三角形的性质可求出∠C的度数，进而可求出∠2的度数．
【解答】解：
∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B＝30°，∠2＝∠C，
∵AB＝BC
∴∠BAC＝∠C75°，
∴∠2＝75°，
故答案为：75°．
13．（3分）等腰△ABC中，AB＝AC，点E为底边BC上一点，以点E为圆心，EA长为半径画弧，交AB于点D，测得∠CAE＝80°，∠EAD＝54°，则∠DEB＝ 31 °．
【思路点拔】根据角的和差关系结合等腰三角形的性质可求∠C，根据三角形内角和定理可求∠AEC，根据等腰三角形的性质可求∠AED，再根据平角的定义即可求解．
【解答】解：∵∠CAE＝80°，∠EAD＝54°，
∴∠CAB＝134°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝（180°﹣134°）÷2＝23°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠C＝77°，
由作图可知EA＝ED，
∴∠EDA＝54°，
∴∠AED＝180°﹣54°×2＝72°，
∴∠DEB＝180°﹣77°﹣72°＝31°．
故答案为：31．
14．（3分）如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC上任意一点，过O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，若OE+OF＝3，△ABC的面积为12，则AB＝ 8 ．
【思路点拔】连接OA．设AB＝x，则AC＝AB＝x．根据S△ABC＝S△ABO+S△AOC，以及OE+OF＝3，得出方程x×3＝12，解方程即可．
【解答】解：如图，连接OA．
设AB＝x，则AC＝AB＝x．
∵S△ABC＝S△ABO+S△AOC，
∴AB OEAC OF＝12，即x×3＝12，
解得x＝8，
所以AB＝8．
故答案为：8．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝9，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，CE∥AB交AD的延长线于点E，则CE的长为 4.5 ．
【思路点拔】利用含30°角的直角三角形的性质可得AC的长，然后证明∠E＝∠CAD，利用等角对等边可得AC＝CE，进而可得答案．
【解答】解：∵AB＝9，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝4.5，∠CAB＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠BAD＝30°，
∴∠E＝∠CAD＝30°，
∴AC＝CE＝4.5，
故答案为：4.5．
16．（3分）如图，∠AOB＝30°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN的值最小时，关于α，β的数量关系是 α+β＝210° ．
【思路点拔】作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，易知∠OPM＝∠OPM'＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN'＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM'＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN'＝∠AQN，
∴∠QPN＝α＝∠AOB+∠MQP＝30°+（180°﹣β），
∴α＝30°+（180°﹣β），
∴α+β＝210°．
故答案为：α+β＝210°．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，求证：△EAB是等腰三角形．
【思路点拔】根据SAS推出△DAB≌△CBA，根据全等得出∠DBA＝∠CAB，根据等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：∵在△DAB和△CBA中
∴△DAB≌△CBA（SAS），
∴∠DBA＝∠CAB，
∴EA＝EB，
即△EAB是等腰三角形．
18．（8分）上午8时，一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝43°，∠NBC＝86°，求从B处到灯塔C的距离．
【思路点拔】求出AB长，根据三角形外角性质求出∠A＝∠C，推出CB＝AB，代入求出即可．
【解答】解：AB＝（11﹣8）×20＝60（海里），
∵∠NAC＝43°，∠NBC＝86°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝43°＝∠NAC，
∴BC＝AB＝60海里，
即从B处到灯塔C的距离是60海里．
19．（8分）已知：如图，在等边△ABC中，DB是AC边上的高，E是BC延长线上一点，且DB＝DE，求∠E的度数．
【思路点拔】首先证明∠DBC＝30°，根据等腰三角形的性质即可解决问题；
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC∠ABC＝30°，
∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBC，
∴∠E＝30°．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点的坐标分别为A（﹣3，6），B（﹣6，3），C（﹣2，1）．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）在y轴上找一点P，使AP+CP的值最小（保留作图痕迹）．
【思路点拔】（1）根据轴对称的性质找出对应点即可求解；
（2）作点A关于y轴的轴对称A'连接A'C交y轴于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求．
21．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
【思路点拔】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HEBH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BEAD；
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）如图，BEAD，
理由如下：延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HEBH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BEAD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，
理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
22．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）在点M、N运动过程中，能否得到以A、B、C其中一个点为顶点，以MN为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【思路点拔】（1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；
（2）设点M、N运动t秒后，得到等边三角形AMN，表示出AM，AN的长，根据∠A＝60°，只要AM＝AN，三角形ANM就是等边三角形，列式计算即可；
（3）分M、N分别在AC、AB上和M、N在BC边上和AC边上三种情况，△AMN是等腰三角形时，证明△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB的长，列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）（1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，
由题意得，t+12＝2t，
解得：t＝12；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，
AM＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN，即t＝12﹣2t，
解得，t＝4，
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形AMN；
（3）由（2）得，点M、N运动4秒后，可得到等边三角形AMN，即△AMN是以MN为底边的等腰三角形，
当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底的等腰三角形，
当t＝8秒时，△BMN为以MN为底的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B＝60°，
在△ACM和△ABN中，
∴△ACM≌△ABN（AAS）
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，
由题意得，y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．
如图3，当BM＝BN＝2t时，过点B作BH⊥AC于H，
∵∠C＝60°，BC＝3，
∴CHBC＝6，BHBC＝6，
在Rt△MBH中，BM2＝BH2+MH2，即（2t）2＝（6）2+（6﹣t）2，
解得：t＝22（负值舍去），
综上所述，以MN为底边的等腰三角形时，M、N运动的时间为4秒或8秒或16秒或22．
23．（10分）已知△ABC为等边三角形．
（1）如图1，D为AC中点，点E在BC延长线上，若CD＝CE，求证：DB＝DE．
（2）如图2，点D在CA延长线上，E为线段BC上一点，若AD＝CE，AB与DE交于点Q，求证：∠BDC＝∠BQE．
（3）如图3，在（1）的条件下，以BD为斜边作等腰Rt△BDH，BH＝DH，M为线段BD上一动点，若CD＝2，，请直接写出的最小值 ．
【思路点拔】（1）证∠E＝∠DBC＝30°，通过等边对等角即可得证；
（2）要证∠BDC＝∠BQE，实则可证∠DBA＝∠EDN，所以需要构造全等三角形即可得证；
（3）要求线段和最小值问题，优先联想“将军饮马模型”，但本题系数不唯一，所以要把BM进行转化，而的关系可在30°的直角三角形中利用，所以过M作MN⊥BC于点N，将HMBM的最小值转化为HN的最小值，进而求解即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，
∴∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴DB＝DE；
（2）证明：方法一：过点E作EN∥DB交DC于点N，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，
∵EN∥DB，
∴∠ENC＝∠CEN＝∠C＝60°，
∴△CEN为等边三角形，
∴CE＝CN＝EN，
∵AD＝CE，
∴AD＝CN＝EN，
∴AD+AN＝CN+AN，即DN＝AC＝AB，
∵∠CNE＝∠CAB＝60°，
∴∠DNE＝DAB＝120°，
在Rt△BDA和△DEN中，
，
∴△BDA≌△DEN（SAS），
∴∠DBA＝∠EDN，
∴∠BQE＝∠DBA+∠BDE＝∠EDN+∠BDE＝∠BDC．
方法二：法二：过点D作DF∥BC交直线BA于点F，
同方法一思路，证△ADF为等边三角形，
再证△BDF≌△DEC（SAS），
∴∠DBA＝∠EDN，
∴∠BQE＝∠DBA+∠BDE＝∠EDN+∠BDE＝∠BDC．
（3）解：如图，过M作MN⊥BC于点N，
∵∠DBC＝30°，
∴MNBM，
∴HMBM＝HM+MN，
当H、M、N三点共线时HM+MN＝HN最小，
∵BD＝2，
∴在Rt△BHD中，BH＝DH，BH2+DH2＝BD2，
∴2BH2＝12，
∴BH＝DH
过H作HF⊥BD于点F，
∵BH＝DH，∠BHD＝90°，
∴HF＝BFBD，
∵∠HMF＝∠BMN＝60°，
∴∠HMF＝30°，
∴HM＝2MF，
在Rt△HMF中，MF2+HF2＝HM2，
即MF22＝（2MF）2，
解得MF＝1，
∴HM＝2，BM，
∴MN，
∴HN＝HM+MN，
即HMBM的最小值为．
故答案为：．
24．（12分）平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a、b满足：，点A、C关于y轴对称，点F为x轴上一动点．
（1）求点A、B两点的坐标；
（2）如图1，若BC⊥CD，BA⊥EA，且BD＝BE，连接ED交x轴于点M，求证：DM＝ME；
（3）如图2，若BC⊥CD，且BC＝CD，直线BC上存在某点G（m，3m+3），使△DFG为等腰直角三角形（点D、F、G按逆时针方向排列），请直接写出点F的坐标．
【思路点拔】（1）由变形为，再由非负数的性质列出方程求出a、b的值即可；
（2）作EN∥CD，交x轴于点N，先证明Rt△BCD≌Rt△BAE，再证明△CMD≌△NME，即可证明DM＝ME；
（3）过点D作DL⊥x轴于点L，先证明△BCD为等腰直角三角形，再证明△BOC≌△CLD，则L（﹣4，0），D（﹣4，1），再按点F与点C重合、DG＝GF且∠DGF＝90°、DF＝GD且∠FDG＝90°三种情况，分别求出相应的m的值，然后确定点F的坐标即可．
【解答】（1）解：由，可得，
∵，
∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得 a＝1，b＝3，
∴A（1，0），B（0，3）；
（2）证明：如图3，作EN∥CD，交x轴于点N，则∠DCM＝∠ENM，
∵BC⊥CD，BA⊥EA，
∴∠BCD＝∠BAE＝90°，
∵点A、C关于y轴对称，
∴点C（﹣1，0），y轴是线段AC的垂直平分线，
∴CB＝AB，
∵BD＝BE，
∴Rt△BCD≌Rt△BAE（HL），
∴CD＝AE；
∵∠DCM+∠BCA＝90°，∠EAC+∠BAC＝90°，且∠BCA＝∠BAC，
∴∠DCM＝∠EAC，
∴∠ENM＝∠EAC，
∴AE＝NE，
∴CD＝NE，
∵∠CMD＝∠NME，
∴△CMD≌△NME（AAS），
∴DM＝ME；
（3）解：如图4，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
∵BC＝CD，
∴△BCD为等腰直角三角形，
当点F与点C重合、点G与点B重合时，则△DFG为等腰直角三角形，
∴F（﹣1，0），
过点D作DL⊥x轴于点L，则∠BOC＝∠CLD＝90°，
∵∠CBO＝90°﹣∠OCB＝∠DCL，BC＝CD，
∴△BOC≌△CLD（AAS），
∴BO＝CL＝3，OC＝LD＝1，
∴OL＝OC+CL＝1+3＝4，
∴L（﹣4，0），D（﹣4，1）．
如图5，若DG＝GF，∠DGF＝90°，
由题意可得，G（m，3m+3），
过点G作QR∥x轴交y轴于点K，作DR⊥QR于点R，FQ⊥QR于点Q，
则∠R＝∠Q＝90°，
∴∠DGR＝90°﹣∠QGF＝∠GFQ，
∴△DGR≌△GFQ（AAS），
∴RG＝QF＝3m+3，
∴R（﹣4，3m+3），
由RK＝4可得，3m+3﹣m＝4，解得，
∴，
∵OF＝KQ，
∴，
∴F（4，0）；
如图6，若DF＝GD，∠FDG＝90°，作GH∥x轴，作DH⊥x轴于点P，交GH于点H，
∵∠DPF＝∠H＝90°，
∴∠FDP＝90°﹣∠GDH＝∠DGH，
∴△DPF≌△GHD（AAS），
∴DP＝GH＝1，
∴m＝﹣4+1＝﹣3，
∴G（﹣3，﹣6），
∴PF＝HD＝1﹣（﹣6）＝7，
∵P（﹣4，0），
∴xF＝﹣4﹣7＝﹣11，
∴F（﹣11，0），
综上所述，点F的坐标为（﹣1，0）或（4，0）或（﹣11，0）．
