实际问题中的函数模型——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练（含解析）

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实际问题中的函数模型——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练
一、选择题
1．某中学坚持“五育”并举，全面推进素质教育.为了更好地增强学生们的身体素质，校长带领同学们一起做俯卧撑锻炼.锻炼是否达到中等强度运动，简单测量方法为，其中t为运动后的心率（单位：次/分）与正常时心率的比值，k为每个个体的体质健康系数.若介于之间，则达到了中等强度运动；若低于28，则运动不足；若高于34，则运动过量.已知某同学正常时的心率为80次/分，体质健康系数.经过俯卧撑后心率y（单位：次/分）满足，x为俯卧撑个数.已知俯卧撑每组12个，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的俯卧撑组数为（e为自然对数的底数，）( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2．声源在空中传播时,衰减量(单位：)与传播距离d(单位：米)之间的关系为若传播距离从20米变化到40米,则衰减量的增加值约为(参考数据：)( )
A. B. C. D.
3．按照相关规定，某化工厂产生的废气中的某类污染物经过过滤装置的处理，含量降至过滤前的以下才能排放，已知过滤过程中，废气中污染物的含量P（单位：）与时间t（单位：）的关系为，其中，k是常数.若时，该类污染物的含量降为过滤前的，若废气能排放，则至少需要过滤（结果保留整数，参考数据：）( )
A. B. C. D.
4．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每座城市至少要投资40万元.由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元与投入a(单位：万元满足，乙城市收益Q(单位：万元与投入A(单位：万元满足，则投资这两座城市收益的最大值为( )
A.26万元 B.44万元 C.48万元 D.72万元
5．根据调查统计,某市未来新能源汽车保有量基本满足模型,其中y(单位：万辆)为第x年底新能源汽车的保有量,p为年增长率,N为饱和度,为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆,以此为初始值,以后每年的增长率为,饱和度为1300万辆,那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为( )(结果四舍五入保留整数,参考数据：,)
A.65万辆 B.64万辆 C.63万辆 D.62万辆
6．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运,从而转变成公共资源一系列活动的总称.垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值,减少垃圾处理量和处理设备的使用,降低处理成本,减少土地资源的消耗,具有社会、经济、生态等方面的效益.已知某种垃圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中a,b为非零常数）.若经过12个月,这种垃圾的分解率为20%,经过24个月,这种垃圾的分解率为40%,那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过( )（参考数据）
A.64个月 B.40个月 C.52个月 D.48个月
7．某“定制班车”的票价按下列规则制定：
①行程在以内的（含）,票价2元;
②行程在以上的,前票价2元,以后每增加票价增加1元（不足的按计算）．
小明某天乘坐该“定制班车”,行程,票价4元,那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．从甲地到乙地的距离约为,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量单位：与速度单位：的下列数据：
v 0 40 60 80 120
Q
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系,则下列四个函数模型中,最符合实际情况的函数模型是( )
A. B.
C. D.
9．薯条作为一种油炸食品,风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1）,将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段,以解释食物品质与油炸时间之间的关系.
在特定条件下,薯条品质得分p与煎炸时间t（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数）,图2记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳煎炸时间为( )
A.2.25min B.2.75min C.3.25min D.3.75min
10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱,遣人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
11．某公司生产某种产品的总利润y（单位：万元）与总产量x（单位：件）的函数解析式为，若公司想不亏损，则总产量x至少为____________.
12．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为_______.（精确到0.1）（参考数据：）
13．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中L表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量的单位数为___________.
14．声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）.声强级为60dB的声强是声强级为30dB的声强的______倍.
三、解答题
15．某地政府为进一步推进地区创业基地建设,助推创业带动就业工作,拟对创业者提供万元的创业补助.某企业拟定在申请得到x万元创业补助后,将产量增加到万件,同时企业生产m万件产品需要投入的成本为万元,并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.（注:收益＝销售金额＋创业补助－成本）
（1）求该企业获得创业补助后的收益y万元与创业补助x万元的函数关系式;
（2）当创业补助为多少万元时,该企业所获收益最大
参考答案
1．答案：B
解析：设俯卧撑组数为，则，所以，所以.当时，，则.因为，，且，所以.
2．答案：B
解析：衰减量(单位：)与传播距离r(单位：米)的关系式为,
则d从20米变化到40米时衰减量的增加值为,
3．答案：C
解析：依题意可得，所以，两边取对数可得，所以，则，所以.令，即，所以，即，所以，所以废气至少需要过滤才能排放.
4．答案：B
解析：由题意可知：，
设投资这两座城市收益为y，
则有，
令，则有，
该二次函数的对称轴为，且开口向下，
所以，
故选：B
5．答案：B
解析：根据题中所给模型,代入有关数据,注意以2023年的为初始值,
则2033年底该省新能源汽车的保有量为,
因为,所以,
所以,
所以2033年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆.
故选：B.
6．答案：B
解析：依题意,,
两式相除得,则,
由两边取以10为底的对数得,
由,得,
两边取以为底的对数得个月.
故选:B
7．答案：B
解析：因为小明的票价为元,则小明的行程最大为,
又当小明的行程为时,票价只需元,
则小明的行程需大于且不超过,所以.
故选：B
8．答案：B
解析：依题意可知该函数必须满足三个条件：
第一,定义域为;第二,在定义域上单调递增;第三,函数经过坐标原点．
函数不经过坐标原点,排除A,函数单调递减,排除C,
当时,没有意义,排除D.
9．答案：C
解析：由图2知,解得,,,
所以,
所以当时,p取得最大值.
故选：C.
10．答案：A
解析：由题意,每株的价格为,少拿一株后数量一共是株,运费是,
,即;
故选：A.
11．答案：
解析：由题意可知，
解得，
故答案为：.
12．答案：0.8
解析：在中，当时，，则，
所以视力的小数记录法的数据为0.8.
故答案为：0.8
13．答案：8100
解析：因为鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为：
，
所以，当一条鲑鱼以的速度游动时，
，
，
.
故答案为：8100.
14．答案：1000
解析：由题设，，可得，
，可得，
声强级为60dB的声强是声强级为30dB的声强的倍.
故答案为：1000.
15．答案：（1）见解析
（2）当时,该企业所获收益最大,最大值为74万元
解析：（1）依据题意可知,销售金额万元,创业补助万元,成本为万元,
所以收益,.
（2）由（1）可知,,
其中,当且仅当,即时,取等号.
所以,
所以当时,该企业所获收益最大,最大值为74万元.
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