湖南省醴陵市渌江中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·醴陵开学考）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．7，9，11
C．6，9，12 D．
2．（2024九上·醴陵开学考）在平面直角坐标系中，点M(3，2)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024九上·醴陵开学考）函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． ＞2 B． ≥2 C． ≤2 D． ＜2
4．（2024九上·醴陵开学考）有40个数据，其中最大值为34，最小值为12，若取组距为4，则应分为（ ）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
5．（2024九上·醴陵开学考）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·醴陵开学考）若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·醴陵开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．四个角都相等的平行四边形是正方形
D．有一个角是直角的四边形是矩形
8．（2024九上·醴陵开学考）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，过点E作交于点F．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·醴陵开学考）做一做：用一张长方形纸片折出一个最大正方形．如下图，步骤①将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合；步骤②用剪刀沿剪掉长方形；步骤③将沿折痕展开得到正方形．其依据是（ ）
A．有一个角是直角的菱形是正方形
B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
10．（2024九上·醴陵开学考）如图，在平行四边形中，，，点E，F，G，H分别是、、、的中点，连接，，，，当从锐角逐渐增大到钝角的过程中，四边形的形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
11．（2024九上·醴陵开学考）边形的外角和等于 ．
12．（2024九上·醴陵开学考）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ．
13．（2024九上·醴陵开学考）已知数据： ， ，π， ，0，其中无理数出现的频率为 .
14．（2024九上·醴陵开学考）从四个数中随机取两个数求和记为，则使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为 ．
15．（2024九上·醴陵开学考）如图，在中，，CD是高，若，，则 ．
16．（2024九上·醴陵开学考）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ．
17．（2024九上·醴陵开学考）若将如图所示的矩形放入平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为、、，则点C的坐标为 ．
18．（2024九上·醴陵开学考）如图，点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为 ．
19．（2024九上·醴陵开学考）计算：．
20．（2024九上·醴陵开学考）如图，公园有一块三角形空地，过点A修垂直于的小路，过点D修垂直于的小路（小路宽度忽略不计），经测量，米，米，米．
（1）求小路的长；
（2）求小路的长．
21．（2024九上·醴陵开学考）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为，．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
（2）分别写出C、D两颗棋子的坐标；
（3）有一颗黑色棋子E的坐标为，请在图中画出黑色棋子E．
22．（2024九上·醴陵开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE∥AB交AC于点E，∠B＝34°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：AE＝DE．
23．（2024九上·醴陵开学考）如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
24．（2024九上·醴陵开学考）某校七年级学生参加60秒跳绳测试，从七年级学生中随机抽取了部分同学的成绩，并绘制了如下不完整的统计表和统计图，请解答下列问题：
次数分组 频数 百分比
3
4
19
m
8
n
2
合计
（1） ， ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校七年级有300名学生，请估计60秒能跳120次及以上的学生有多少人？
25．（2024九上·醴陵开学考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，，与轴交于点．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在轴上找一点使最大，求的最大值．
26．（2024九上·醴陵开学考）如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当四边形是平行四边形时，求t的值；
（2）当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________；
（3）在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A，，故5，12，13是勾股数；
B，，故7，9，11不是勾股数；
C，，故6，9，12不是勾股数；
D，不是整数，故不是勾股数．
故答案为：A．
【分析】根据满足勾股定理的三个正整数，称为勾股数，逐项分析即可求解.
2．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵3>0，2>0，
∴点M(3，2)在第一象限，
故答案为：A.
【分析】根据平面直角坐标系中，点的坐标与点所在的象限的关系，即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意得，x-2＞0，
解得，x＞2.
故答案为：A.
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可．
4．【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：由题意得，
∴应分6组，
故答案为：C
【分析】根据分组要注意包含最大值、最小值，且起始值和结束值均要比最大值要大一些，比最小值要小一些，结合题意即可求解.
5．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的概念，可知ACD不是中心对称图形，B是中心对称图形，所以ACD不符合题意，B符合题意，
故答案为：B.
【分析】由中心对称图形的概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，若旋转后的图形能够与原来的图形重合，则这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，即可对每一项的图形进行判断求解.
6．【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：当x=-1时，y1=2×（-1）+1=-1；当x=2时，y2=2×2+1=5，
∴y1故答案为：A.
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，将x=-1或2代入函数解析式中，求出y1、y2的值，即可比较y1、y2的大小.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以A是假命题，A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以B是真命题，B符合题意；
C、四个角都相等，则四个角都是直角，而有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以C是假命题，C不符合题意；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以D是假命题，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据菱形、平行四边形、正方形、矩形的判定定理，真命题与假命题的定义逐项进行判断求解.
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠A=100°，∠C=30°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-100°-30°=50°，
根据画图可知平分，
∴，
∵EF∥AB，
∴∠BEF=∠ABE=25°，
故答案为：A．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠ABC=50°，根据角平分线尺规作图画法得平分，从而由角平分线的定义求得，接下来利用平行线的性质，得∠BEF=∠ABE=25°.
9．【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵折叠的性质，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质得，，，然后由矩形的性质得，从而求出，根据等腰三角形的判定得，进而得，根据”四边相等的四边形是菱形“证出四边形是菱形，根据正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形得证四边形是正方形.
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接、、、，
∵点E，F，G，H分别是、、、的中点，
∴，，，，，，，，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是矩形，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，，，
∴，
∴平行四边形不可能是矩形或正方形，
故选：．
【分析】根据三角形中位线中位线定理可推出，，，进而得到四边形是平行四边形，当时，可证平行四边形是矩形，可得，进而得到，此时平行四边形是菱形，由，，，得到，平行四边形不可能是矩形或正方形，即可求解，
11．【答案】
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由多边形的外角和定理得2024边形的外角和等于360°，
故答案为：360°.
【分析】根据”多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°“，进行求解.
12．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A（3，-2），A与B关于y轴对称，
∴B（-3，-2），
故答案为：（-3，-2）.
【分析】由坐标点关于坐标轴对称的规律：①A（x，y）与B（x，-y）关于x轴对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；②A（x，y）与B（-x，y）关于y轴对称，即横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解.
13．【答案】
【知识点】频数与频率；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵ =2，
∴ ， ，0是有理数， ，π是无理数，
∴无理数出现的频率为 .
故答案为： .
【分析】把需要化简的数据进行化简，对最简结果进行有理数，无理数的甄别，常见的无理数有四类：①根号型的数：开方开不尽的数，② 与π有关的数，③构造型：像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④三角函数型：如sin60°等；最后用这组数据中无理数的个数比上这组数据的总个数即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵使得一次函数y=ax的图像经过一、三象限，
∴a>0，即四个数中随机取两个数求和的结果为正数，
画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中四个数中随机取两个数求和的结果为正数的有6种，
∴从四个数中随机取两个数求和记为，使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为，
故答案为：．
【分析】根据正比例函数的图象性质：当k>0时，函数图象经过一、三象限；当k<0时，函数图象经过二、四象限，得a>0，然后画出树状图得所有的等可能结果数为12，其中四个数中随机取两个数求和的结果为正数的结果数为6，最后利用概率公式进行解答即可.
15．【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵CD是的高，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠B=30°，
∴∠BCD=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=30°，
∵AD=1，
∴AC=2AD=2，
∴AB=2AC=4，
∴BD=AB-AD=4-1=3，
故答案为：3.
【分析】先求出∠BDC=∠ADC=90°，从而得∠BCD=60°，进而得∠ACD=30°，然后由含30°的直角三角形的性质得AC=2AD、AB=2AC，接下来求BD=AB-AD的值即可.
16．【答案】30°
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的内角和公式；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵将正六边形与正方形按如图所示摆放，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：30°．
【分析】根据正多边形的性质、多边形的内角和定理求出∠ABO、∠OCD的度数，从而得∠OBC、∠OCB的度数，最后由直角三角形两锐角互余求出∠BOC的度数.
17．【答案】（4，3）
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥y轴，BC⊥y轴，AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∵，，，
∴-a=-4，C（a，3），
∴a=4，
∴点C的坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）.
【分析】本题考查了坐标与图形，根据矩形的性质可知AD⊥y轴，BC⊥y轴，AB⊥x轴，CD⊥x轴，由A、B、D的坐标得-a=-4，
C（a，3），求出a的值，即可得点C坐标.
18．【答案】（0，4）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵A（3，0），C（-2，0），
∴OA=3，OC=5，
∴AB=AC=5，
在中，根据勾股定理得：，
∴B（0，4），
故答案为：（0，4）.
【分析】本题考查点的坐标及勾股定理，由A、C两点坐标得OA、OC的长，从而求出AB=AC的长，进而利用勾股定理求出OB的长，即可求解.
19．【答案】解：原式
.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用乘方、算数平方根、负整数指数幂进行化简，然后进行乘法运算，最后进行加减运算.
20．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AB=13，BD=5，
∴根据勾股定理，得，
∴小路AD的长为12米；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
由（1）得AD=12，
∵CD=9，
∴根据勾股定理，得，
∵DE⊥AC，
∴，
∴，
∴小路DE的长为7.2米.
【知识点】三角形的面积；勾股定理的实际应用-其他问题
21．【答案】（1）解：如图，即为所求平面直角坐标系；
（2）解：由（1）可知，C、D两颗棋子的坐标为：C（2，1），D（-2，1）；
（3）解：如图，点E即为所求.
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标确定原点O，再画出平面直角坐标系即可；
（2）由（1）所画的平面直角坐标系即可得C、D的坐标；
（3）根据点的坐标定义确定横纵坐标的位置，即可得点E.
22．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠B=34°，
∴∠B=∠C=34°，
∴∠BAC=180°-34°-34°=112°，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC，
∴，
（2）证明：由（1）得∠BAD=∠DAC，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠ADE=∠DAC，
∴AE=DE.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别是OB、OD的中点，
∴，
∴OE=OD，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵AB=3，BC=5，
∴根据勾股定理，得AC=4，
∴，
∴根据勾股定理，得，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，然后由中点的定义求出OE=OD，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得证结论；
（2）先求出∠BAC=90°，利用勾股定理得AC=4，从而得OA=2，再利用勾股定理得OB=OD的值，最后求BD=OB+OD的值即可.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
24．【答案】（1）10，8%
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解：（人），
∴若该校七年级有300名学生，则估计60秒能跳绳120次及以上的学生有144人.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）3÷6%=50（人），
∴m=50×20%=10（人），
∴160≤x≤180的频数为：50-（3+4+19+10+8+2）=4（人），
∴，
故答案为：10，8%.
【分析】（1）先求出总数为50人，再乘120≤x≤140的百分比得m的值，接下来用总数减去其余各组的频数和得160≤x≤180的频数，最后再除以总数、乘百分百得n的值；
（2）由（1）求出的数据补全频数分布直方图；
（3）用样本估计总体，用样本中60秒能跳120次及以上学生占比乘七年级总人数300进行求解.
（1）（人），
组的频数为：（人），
即，
故答案为：10，；
（2）如图，补全图形如下：
（3）（人）
答：60秒能跳绳120次及以上的学生有144人．
25．【答案】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A（3，5），
B（a，-3），
∴m=3×5=-3a，
∴m=15，a=-5，
∴反比例函的表达式为，B（-5，-3），
将A（3，5），B（-5，-3）代入，得，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：如图，
当P、B、C三点共线时，PB-PC有最小值为BC，
∵一次函数与x轴交于点C，
∴C（-2，0），
∵B（-5，-3），
∴，
∴PB-PC的最大值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函的表达式，同时求出B点坐标，然后再次用待定系数法求出一次函数的表达式；
（2）根据题意，可知当P、B、C三点共线时，PB-PC有最小值为BC，然后求出点C的坐标，最后用直角坐标系中两点距离公式：对于，有，即可得BC的值.
26．【答案】（1）解：根据题意，得AP=t，CQ=3t，则BP=18-t，
∵四边形是平行四边形，
∴BP=CQ，即18-t=3t，
解得：t=4.5，
∴当四边形是平行四边形时，t的值为4.5；
（2）7，4
（3）解：解：如图，
由（1）（2）得AP=t，BP=18-t，DQ=28-3t，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴ 若四边形能够成为菱形， 则AD的长为12cm.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（2）①根据题意，得AP=t，CQ=3t，则DQ=28-3t，
∵四边形是矩形，
∴AP=DQ，即t=28-3t，
解得：t=7，
∴当t=7时，四边形是矩形；
②设点P的移动速度为x，则AP=xt，
∵点Q的移动速度不变，
∴由①得DQ=28-3t，
∵四边形是正方形，AD=16，
∴AD=DQ=AP=16，
∴28-3t=16，xt=16，
解得：t=4，
∴4x=16，
解得：x=4，
∴要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是4cm/s；
故答案为：7，4.
【分析】根据题意求出AP=t，CQ=3t，则BP=18-t，由平行四边形对边相等的性质得到关于t的方程18-t=3t，解方程求出t的值即可求解；
（2）①根据题意求出AP=t，CQ=3t，则DQ=28-3t，由矩形对边相等的性质得到关于t的方程t=28-3t，解方程求出t的值；②设点P的移动速度为x，则AP=xt，由①得DQ=28-3t，根据正方形四边相等的性质得到关于t、x的方程28-3t=16，xt=16，解方程求出t、x的值；
（3）先得AP=t，BP=18-t，DQ=28-3t，根据菱形四边相等的性质得到关于t的方程，解方程求出t的值，从而得AP、BP=DQ=DP的值，根据平行线的性质求出∠A=90°，进而利用勾股定理求出AD的长.
1 / 1湖南省醴陵市渌江中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·醴陵开学考）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．7，9，11
C．6，9，12 D．
【答案】A
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A，，故5，12，13是勾股数；
B，，故7，9，11不是勾股数；
C，，故6，9，12不是勾股数；
D，不是整数，故不是勾股数．
故答案为：A．
【分析】根据满足勾股定理的三个正整数，称为勾股数，逐项分析即可求解.
2．（2024九上·醴陵开学考）在平面直角坐标系中，点M(3，2)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵3>0，2>0，
∴点M(3，2)在第一象限，
故答案为：A.
【分析】根据平面直角坐标系中，点的坐标与点所在的象限的关系，即可得到答案.
3．（2024九上·醴陵开学考）函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． ＞2 B． ≥2 C． ≤2 D． ＜2
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意得，x-2＞0，
解得，x＞2.
故答案为：A.
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可．
4．（2024九上·醴陵开学考）有40个数据，其中最大值为34，最小值为12，若取组距为4，则应分为（ ）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：由题意得，
∴应分6组，
故答案为：C
【分析】根据分组要注意包含最大值、最小值，且起始值和结束值均要比最大值要大一些，比最小值要小一些，结合题意即可求解.
5．（2024九上·醴陵开学考）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的概念，可知ACD不是中心对称图形，B是中心对称图形，所以ACD不符合题意，B符合题意，
故答案为：B.
【分析】由中心对称图形的概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，若旋转后的图形能够与原来的图形重合，则这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，即可对每一项的图形进行判断求解.
6．（2024九上·醴陵开学考）若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：当x=-1时，y1=2×（-1）+1=-1；当x=2时，y2=2×2+1=5，
∴y1故答案为：A.
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，将x=-1或2代入函数解析式中，求出y1、y2的值，即可比较y1、y2的大小.
7．（2024九上·醴陵开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．四个角都相等的平行四边形是正方形
D．有一个角是直角的四边形是矩形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以A是假命题，A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以B是真命题，B符合题意；
C、四个角都相等，则四个角都是直角，而有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以C是假命题，C不符合题意；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以D是假命题，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据菱形、平行四边形、正方形、矩形的判定定理，真命题与假命题的定义逐项进行判断求解.
8．（2024九上·醴陵开学考）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，过点E作交于点F．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠A=100°，∠C=30°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-100°-30°=50°，
根据画图可知平分，
∴，
∵EF∥AB，
∴∠BEF=∠ABE=25°，
故答案为：A．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠ABC=50°，根据角平分线尺规作图画法得平分，从而由角平分线的定义求得，接下来利用平行线的性质，得∠BEF=∠ABE=25°.
9．（2024九上·醴陵开学考）做一做：用一张长方形纸片折出一个最大正方形．如下图，步骤①将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合；步骤②用剪刀沿剪掉长方形；步骤③将沿折痕展开得到正方形．其依据是（ ）
A．有一个角是直角的菱形是正方形
B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵折叠的性质，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质得，，，然后由矩形的性质得，从而求出，根据等腰三角形的判定得，进而得，根据”四边相等的四边形是菱形“证出四边形是菱形，根据正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形得证四边形是正方形.
10．（2024九上·醴陵开学考）如图，在平行四边形中，，，点E，F，G，H分别是、、、的中点，连接，，，，当从锐角逐渐增大到钝角的过程中，四边形的形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接、、、，
∵点E，F，G，H分别是、、、的中点，
∴，，，，，，，，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是矩形，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，，，
∴，
∴平行四边形不可能是矩形或正方形，
故选：．
【分析】根据三角形中位线中位线定理可推出，，，进而得到四边形是平行四边形，当时，可证平行四边形是矩形，可得，进而得到，此时平行四边形是菱形，由，，，得到，平行四边形不可能是矩形或正方形，即可求解，
11．（2024九上·醴陵开学考）边形的外角和等于 ．
【答案】
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由多边形的外角和定理得2024边形的外角和等于360°，
故答案为：360°.
【分析】根据”多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°“，进行求解.
12．（2024九上·醴陵开学考）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A（3，-2），A与B关于y轴对称，
∴B（-3，-2），
故答案为：（-3，-2）.
【分析】由坐标点关于坐标轴对称的规律：①A（x，y）与B（x，-y）关于x轴对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；②A（x，y）与B（-x，y）关于y轴对称，即横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解.
13．（2024九上·醴陵开学考）已知数据： ， ，π， ，0，其中无理数出现的频率为 .
【答案】
【知识点】频数与频率；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵ =2，
∴ ， ，0是有理数， ，π是无理数，
∴无理数出现的频率为 .
故答案为： .
【分析】把需要化简的数据进行化简，对最简结果进行有理数，无理数的甄别，常见的无理数有四类：①根号型的数：开方开不尽的数，② 与π有关的数，③构造型：像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④三角函数型：如sin60°等；最后用这组数据中无理数的个数比上这组数据的总个数即可得出答案.
14．（2024九上·醴陵开学考）从四个数中随机取两个数求和记为，则使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵使得一次函数y=ax的图像经过一、三象限，
∴a>0，即四个数中随机取两个数求和的结果为正数，
画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中四个数中随机取两个数求和的结果为正数的有6种，
∴从四个数中随机取两个数求和记为，使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为，
故答案为：．
【分析】根据正比例函数的图象性质：当k>0时，函数图象经过一、三象限；当k<0时，函数图象经过二、四象限，得a>0，然后画出树状图得所有的等可能结果数为12，其中四个数中随机取两个数求和的结果为正数的结果数为6，最后利用概率公式进行解答即可.
15．（2024九上·醴陵开学考）如图，在中，，CD是高，若，，则 ．
【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵CD是的高，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠B=30°，
∴∠BCD=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=30°，
∵AD=1，
∴AC=2AD=2，
∴AB=2AC=4，
∴BD=AB-AD=4-1=3，
故答案为：3.
【分析】先求出∠BDC=∠ADC=90°，从而得∠BCD=60°，进而得∠ACD=30°，然后由含30°的直角三角形的性质得AC=2AD、AB=2AC，接下来求BD=AB-AD的值即可.
16．（2024九上·醴陵开学考）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ．
【答案】30°
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的内角和公式；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵将正六边形与正方形按如图所示摆放，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：30°．
【分析】根据正多边形的性质、多边形的内角和定理求出∠ABO、∠OCD的度数，从而得∠OBC、∠OCB的度数，最后由直角三角形两锐角互余求出∠BOC的度数.
17．（2024九上·醴陵开学考）若将如图所示的矩形放入平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为、、，则点C的坐标为 ．
【答案】（4，3）
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥y轴，BC⊥y轴，AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∵，，，
∴-a=-4，C（a，3），
∴a=4，
∴点C的坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）.
【分析】本题考查了坐标与图形，根据矩形的性质可知AD⊥y轴，BC⊥y轴，AB⊥x轴，CD⊥x轴，由A、B、D的坐标得-a=-4，
C（a，3），求出a的值，即可得点C坐标.
18．（2024九上·醴陵开学考）如图，点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为 ．
【答案】（0，4）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵A（3，0），C（-2，0），
∴OA=3，OC=5，
∴AB=AC=5，
在中，根据勾股定理得：，
∴B（0，4），
故答案为：（0，4）.
【分析】本题考查点的坐标及勾股定理，由A、C两点坐标得OA、OC的长，从而求出AB=AC的长，进而利用勾股定理求出OB的长，即可求解.
19．（2024九上·醴陵开学考）计算：．
【答案】解：原式
.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用乘方、算数平方根、负整数指数幂进行化简，然后进行乘法运算，最后进行加减运算.
20．（2024九上·醴陵开学考）如图，公园有一块三角形空地，过点A修垂直于的小路，过点D修垂直于的小路（小路宽度忽略不计），经测量，米，米，米．
（1）求小路的长；
（2）求小路的长．
【答案】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AB=13，BD=5，
∴根据勾股定理，得，
∴小路AD的长为12米；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
由（1）得AD=12，
∵CD=9，
∴根据勾股定理，得，
∵DE⊥AC，
∴，
∴，
∴小路DE的长为7.2米.
【知识点】三角形的面积；勾股定理的实际应用-其他问题
21．（2024九上·醴陵开学考）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为，．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
（2）分别写出C、D两颗棋子的坐标；
（3）有一颗黑色棋子E的坐标为，请在图中画出黑色棋子E．
【答案】（1）解：如图，即为所求平面直角坐标系；
（2）解：由（1）可知，C、D两颗棋子的坐标为：C（2，1），D（-2，1）；
（3）解：如图，点E即为所求.
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标确定原点O，再画出平面直角坐标系即可；
（2）由（1）所画的平面直角坐标系即可得C、D的坐标；
（3）根据点的坐标定义确定横纵坐标的位置，即可得点E.
22．（2024九上·醴陵开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE∥AB交AC于点E，∠B＝34°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：AE＝DE．
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠B=34°，
∴∠B=∠C=34°，
∴∠BAC=180°-34°-34°=112°，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC，
∴，
（2）证明：由（1）得∠BAD=∠DAC，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠ADE=∠DAC，
∴AE=DE.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
23．（2024九上·醴陵开学考）如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别是OB、OD的中点，
∴，
∴OE=OD，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵AB=3，BC=5，
∴根据勾股定理，得AC=4，
∴，
∴根据勾股定理，得，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，然后由中点的定义求出OE=OD，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得证结论；
（2）先求出∠BAC=90°，利用勾股定理得AC=4，从而得OA=2，再利用勾股定理得OB=OD的值，最后求BD=OB+OD的值即可.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
24．（2024九上·醴陵开学考）某校七年级学生参加60秒跳绳测试，从七年级学生中随机抽取了部分同学的成绩，并绘制了如下不完整的统计表和统计图，请解答下列问题：
次数分组 频数 百分比
3
4
19
m
8
n
2
合计
（1） ， ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校七年级有300名学生，请估计60秒能跳120次及以上的学生有多少人？
【答案】（1）10，8%
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解：（人），
∴若该校七年级有300名学生，则估计60秒能跳绳120次及以上的学生有144人.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）3÷6%=50（人），
∴m=50×20%=10（人），
∴160≤x≤180的频数为：50-（3+4+19+10+8+2）=4（人），
∴，
故答案为：10，8%.
【分析】（1）先求出总数为50人，再乘120≤x≤140的百分比得m的值，接下来用总数减去其余各组的频数和得160≤x≤180的频数，最后再除以总数、乘百分百得n的值；
（2）由（1）求出的数据补全频数分布直方图；
（3）用样本估计总体，用样本中60秒能跳120次及以上学生占比乘七年级总人数300进行求解.
（1）（人），
组的频数为：（人），
即，
故答案为：10，；
（2）如图，补全图形如下：
（3）（人）
答：60秒能跳绳120次及以上的学生有144人．
25．（2024九上·醴陵开学考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，，与轴交于点．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在轴上找一点使最大，求的最大值．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A（3，5），
B（a，-3），
∴m=3×5=-3a，
∴m=15，a=-5，
∴反比例函的表达式为，B（-5，-3），
将A（3，5），B（-5，-3）代入，得，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：如图，
当P、B、C三点共线时，PB-PC有最小值为BC，
∵一次函数与x轴交于点C，
∴C（-2，0），
∵B（-5，-3），
∴，
∴PB-PC的最大值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函的表达式，同时求出B点坐标，然后再次用待定系数法求出一次函数的表达式；
（2）根据题意，可知当P、B、C三点共线时，PB-PC有最小值为BC，然后求出点C的坐标，最后用直角坐标系中两点距离公式：对于，有，即可得BC的值.
26．（2024九上·醴陵开学考）如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当四边形是平行四边形时，求t的值；
（2）当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________；
（3）在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度．
【答案】（1）解：根据题意，得AP=t，CQ=3t，则BP=18-t，
∵四边形是平行四边形，
∴BP=CQ，即18-t=3t，
解得：t=4.5，
∴当四边形是平行四边形时，t的值为4.5；
（2）7，4
（3）解：解：如图，
由（1）（2）得AP=t，BP=18-t，DQ=28-3t，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴ 若四边形能够成为菱形， 则AD的长为12cm.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（2）①根据题意，得AP=t，CQ=3t，则DQ=28-3t，
∵四边形是矩形，
∴AP=DQ，即t=28-3t，
解得：t=7，
∴当t=7时，四边形是矩形；
②设点P的移动速度为x，则AP=xt，
∵点Q的移动速度不变，
∴由①得DQ=28-3t，
∵四边形是正方形，AD=16，
∴AD=DQ=AP=16，
∴28-3t=16，xt=16，
解得：t=4，
∴4x=16，
解得：x=4，
∴要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是4cm/s；
故答案为：7，4.
【分析】根据题意求出AP=t，CQ=3t，则BP=18-t，由平行四边形对边相等的性质得到关于t的方程18-t=3t，解方程求出t的值即可求解；
（2）①根据题意求出AP=t，CQ=3t，则DQ=28-3t，由矩形对边相等的性质得到关于t的方程t=28-3t，解方程求出t的值；②设点P的移动速度为x，则AP=xt，由①得DQ=28-3t，根据正方形四边相等的性质得到关于t、x的方程28-3t=16，xt=16，解方程求出t、x的值；
（3）先得AP=t，BP=18-t，DQ=28-3t，根据菱形四边相等的性质得到关于t的方程，解方程求出t的值，从而得AP、BP=DQ=DP的值，根据平行线的性质求出∠A=90°，进而利用勾股定理求出AD的长.
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