随机现象与随机事件——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练（含解析）

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随机现象与随机事件——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练
一、选择题
1．抛掷一颗骰子,设事件A：落地时向上的点数是奇数,事件B：落地时向上的点数是偶数,事件C：落地时向上的点数小于3,事件D：落地时向上的点数大于5,则下列每对事件中,不是互斥事件的为是( )
A.A与B B.B与C C.A与D D.C与D
2．学校校园从教室到寝室的一排路灯共12盏，按照规定，如果两端有坏了的路灯或者中间同时坏了相邻的两盏或两盏以上的路灯，就必须马上维修，已知这排路灯坏了3盏，则这排路灯必须马上维修的概率为( )
A. B. C. D.
3．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“两枚骰子的点数之和为偶数”，事件“恰有一枚骰子的点数为偶数”，则( )
A. B.
C.A与B互为对立事件 D.A与B互为互斥但不对立事件
4．2023年1月至4月，曲靖市辖区内长期没有下雨，4月份处于严重干旱状况，广大市民必须加强节约用水意识，家家户户都要节约用水.为了督促市民节约用水，曲靖市水务投资公司对居民生活用水实行阶梯水价制度进行收费，其收费标准如下：一户居民每月用水量不超过15吨时，收费单价为3.5元/吨；超过15吨但不超过20吨时，超出15吨部分的收费单价为4.75元/吨；超过20吨时属于严重超标，超出20吨部分的收费单价为6元/吨.某学生社团对某生活区的住户进行用水量调查，该生活区的某单元内居住着3户人家，每户月用水量严重超标的概率均为且相互独立，该单元有至少两户人家月用水量严重超标的概率为，当时，( )
A. B. C. D.
5．给出下列四种说法：
①若事件A，B互斥，则与一定互斥；
②若A，B为两个事件，则；
③若事件A，B，C彼此互斥，则；
④若事件A，B满足，则A，B是对立事件.
其中错误的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. B. C. D.
7．袋子中有大小和质地相同的12个小球，分别为红球、黄球、绿球、黑球，从中任取一个球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，问得到黄球的概率是( )
A. B. C. D.
8．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则( )
A. B. C. D.
9．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设{2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是( )
A. B. C. D.
10．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为i”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”下列结论是判断错误的是( )
A.与互斥 B.，
C. D.，为对立事件
二、填空题
11．据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论：
①G和H是互斥事件但不是对立事件；
②F和H是互斥事件也是对立事件；
③；
④.
其中，正确结论的序号是__________.（请把你认为正确结论的序号都写上）
12．若A，B互为对立事件，其概率分别为，，且，，则的最小值为__________.
13．以下现象不是随机现象的是______.(填序号)
①在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现；
②明天下雨；
③同种电荷相互排斥；
④平面四边形的内角和是360°.
14．给出下列事件：①三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球；②当时，；③同种电荷，相互排斥，其中，必然事件的个数为______.
三、解答题
15．甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷.规定第1次由甲投掷.
（1）求第2次由甲投掷的概率；
（2）求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率.
参考答案
1．答案：B
解析：对于A,因为落地时向上的点数是奇数与落地时向上的点数是偶数不可能同时发生,
所以事件A与B是互斥事件,所以A错误,
对于B,因为落地时向上的点数是偶数与落地时向上的点数小于3可能同时发生,如落地时向上的点数为2,
所以事件B与C不是互斥事件,所以B正确,
对于C,因为落地时向上的点数是奇数与落地时向上的点数大于5不可能同时发生,
所以事件A与D是互斥事件,所以C错误,
对于D,因为落地时向上的点数小于3与落地时向上的点数大于5不可能同时发生,
所以事件C与D是互斥事件,所以D错误.
故选：B.
2．答案：A
解析：设必须马上维修记为事件A，则不需要马上维修为，
而表示9盏灯正常，且在9盏灯每相邻两盏灯中间，插入一盏已坏的灯，即一共有8个空，选出3个空，插入一盏已坏的灯，
，
.
故选：A.
3．答案：C
解析：因为事件“两枚骰子的点数之和为偶数”，
即事件A包括两枚骰子的点数之和为偶数分为两枚骰子都为奇数和偶数，
，
事件“恰有一枚骰子的点数为偶数”，
即事件B为两枚骰子一枚为奇数，一枚偶数，即两枚骰子的点数之和为奇数.
所以，
所以A与B互为对立事件，且
故A，B，D错误；C正确.
故选：C.
4．答案：A
解析：设事件A为：该单元有2户人家月用水量严重超标，事件B为：该单元有3户人家月用水量严重超标，则，，
即，
将各选项代入验证发现，唯有满足要求，故A正确；
或者，令，整理为：，
所以或，因为，所以.
故选：A.
5．答案：D
解析：对于①，若事件A，B互斥，则与不一定是互斥事件，
故①错误；
对于②，若A，B为两个事件，
则，故②错误；
对于③，若事件A，B，C彼此互斥，
则，故③正确；
对于④，若事件A，B满足，
则A，B不一定是对立事件，
例如：设投一枚硬币3次，事件A“至少出现一次正面”，
事件B“出现3次正面”，
则，，满足，
但A，B不是对立事件，故④错误，
故错误的命题有3个，
故选：D.
6．答案：A
解析：因为，，故，，
因为与为互斥事件，故，
又，，
所以有，
故，故.
故选：A.
7．答案：A
解析：从袋中任取一球，记事件“得到红球”，“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥.
由已知可得，，，，
则，即，
所以，则，
故从中任取一球，得到黄球的概率分别是，
故选：A.
8．答案：B
解析：因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，
所以.
将代入上式可得，
所以，.
故选：B.
9．答案：D
解析：至少有1名男生包含2名全是男生 1名男生1名女生，故，，
故A，C正确；
事件B与D是互斥事件，故，故B正确，
表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或至少有一名男生，
故，D错误，
故选：D.
10．答案：D
解析：由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确；
中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确；
发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确；
与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误；
故选：D.
11．答案：②④
解析：事件“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”，“选择历史学科”，“选择地理学科”
所以事件“选择政治学科”，包含于事件H，故事件G，H可以同时发生，不是互斥事件，故①不正确；
事件“选择一门理科学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生，且必有一个事件发生，故F和H是互斥事件也是对立事件，故②正确；
由题意可知，，所以，故③不正确；
事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生，故E和H是互斥事件，所以，故④正确.
故答案为：②④.
12．答案：9
解析：由事件A，B互为对立事件，其概率分别，
，且，，所以，
所以，
当且仅当，时取等号，所以的最小值为9.
故答案为：9.
13．答案：③④
解析：①在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现；因为硬币正面或反面朝上是随机出现的，所以该现象为随机现象；
②明天下雨；因为明天下雨或不下雨是不确定的，是随机的，所以是随机现象；
③同种电荷相互排斥；根据物理公理可知同种电荷必然相互排斥，是确定的结果，故不是随机现象；
④平面四边形的内角和是360°；根据平面几何四边形的基本性质可知，平面四边形的内角和一定是360°，是确定的，所以不是随机现象.
故选：③④.
14．答案：3
解析：对于事件①，三个球全部放入两个盒子，
假设两个盒子都没球，与题设不符，故其中必有一个盒子有一个以上的球，
故事件①为必然事件；
对于事件②，当时，，事件②为必然事件；
对于事件③，同种电荷，相互排斥，事件③为必然事件.
故答案为：3.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）掷出的骰子的点数的样本点总数为36.
记事件“掷出的点数之和为3的倍数”，
则，有12个样本点.
.
故第2次由甲投掷的概率为.
（2）前4次投掷中，乙恰好投掷2次的情况分以下三种：
第一种情况，第1，2次由甲投掷，第3，4次由乙投掷，其概率为，
第二种情况，第1，3次由甲投掷，第2，4次由乙投掷，其概率为，
第三种情况，第1，4次由甲投掷，第2，3次由乙投掷，其概率为.
故前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率为.
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