指数函数、幂函数、对数函数增长的比较——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练（含解析）

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指数函数、幂函数、对数函数增长的比较——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练
一、选择题
1．2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示.将年份作为自变量x，当年电影放映场次作为函数值y，则下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的函数是( )
A. B. C. D.
2．杭州亚运会火炬如图①所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图②所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
3．在一次物理实验中某同学测量获得如下数据：
x 1 2 3 4 5
y 5.380 11.232 20.184 34.356 53.482
下列所给函数模型较适合的是( )
A. B.
C. D.
4．已知，则下列命题正确的是( )
A.，，有成立
B.，，有成立
C.，，有成立
D.，，有成立
5．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是( )
A. B. C. D.
6．为了能在规定时间T内完成预期的运输最，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图四个选项所示，其中运输效率单位时间内的运输量逐步提高的选项是( )
A. B. C. D.
7．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( ).
A.甲食堂的营业额较高
B.乙食堂的营业额较高
C.甲、乙两食堂的营业额相同
D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
8．函数的图象大致是( ).
A. B. C. D.
9．三个变量，，随着变量x的变化情况如下表所示.
x 1 3 5 7 9 11
5 135 625 1715 3635 6655
5 29 245 2189 19685
5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( ).
A.，， B.，， C.，， D.，，
10．如图所示，阴影部分的面积S是的函数，则关于该函数的图象正确的是( ).
A. B. C. D.
二、填空题
11．已知函数，.若，，使得成立，则m的范围是________.
12．已知函数的图象与直线相交.若其中一个交点的纵坐标为1，则的最小值是________.
13．一对实数a，b满足，，则________.
14．方程的解是________.
三、解答题
15．（1）解方程：；
（2）计算：.
参考答案
1．答案：D
解析：由题图可知在第一象限内，y是关于x的增函数.当时，在第一象限内是减函数，当时，在第一象限内没有图象，故最不适合.故选D.
2．答案：A
解析：由题图可知，该火炬中间细，两端粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，结合所给的函数图象，A选项较为合适，故选A.
3．答案：D
解析：由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A中的函数增长速度保持不变，B中的函数增长速度越来越慢，C中的函数y是随x的增大而减小，D中的函数符合题意.故选D.
4．答案：A
解析：因为，所以函数，，均为增函数，且各类函数的增长速度为指数函数快于幂函数，幂函数快于对数函数，所以，，有成立.故选A.
5．答案：D
解析：依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数模型，故随着x的增长，的增长速度最快.故选D.
6．答案：B
解析：由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足.
故选：B
7．答案：A
解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意可得，则5月份甲食堂的营业额，乙食堂的营业额.
因为，所以，故该年5月份甲食堂的营业额较高.
8．答案：A
解析：易知在区间上，当时，，即；当时，，即；当时，，即.又当时，，据此可知只有A符合条件.
9．答案：C
解析：从题中表格可以看出，三个变量，，都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，应呈指数型函数变化，变量的增长速度最慢，应呈对数型函数变化.故选C.
10．答案：C
解析：由平曲图形，可知S随着h的增加而减少，并且减少的趋势在减小，当时，阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，故选C.
11．答案：
解析：因为对于，使得，
即，即.
因为，函数在上单调递增，单调递减，
，即，即，
又，
设，则，，对称轴为，
①当，即时，，即，
解得，所以；
②当即，，即，解得.
所以解集为，
③当时，即，，解得，此时解集为.
综上，m的取值范围是.
故答案为：.
12．答案：3
解析：因为函数与直线过，
所以由函数的图象与直线相交，
其中一个交点的纵坐标为1得，
设交点，
代入，，
，
再把点代入直线方程：，
即，
当且仅当时，等号成立，
故取最小值3.
故答案为：3.
13．答案：3
解析：令，
则，
又因为，
所以，
所以，
又因为函数在R上单调递增，
，
所以，
所以，
所以.
故答案为：3.
14．答案：
解析：，
，
，
，
.
故答案为：.
15．答案：（1）或
（2）1
解析：（1）方程：即，
因式分解为，或，解得或.
（2）原式
.
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