3.3.2 从函数观点看一元二次不等式 练习（2课时）（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第2课时　一元二次不等式的简单应用
一、选择题
1.不等式≤0的解集是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.{x|x<1或x≥3}
B.{x|x≤1或x>3}
C.{x|1≤x<3}
D.{x|1≤x≤3}
2.不等式1<<2的解集是 (　 )
A.{x|x<0} B.{x|x<-2}
C.{x|-23.若产品的总成本y(万元)与产量x(件)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0A.100件 B.120件
C.150件 D.180件
4.对任意实数x,不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0恒成立,则a的取值范围是 (　 )
A.{a|-2B.{a|-2≤a≤2}
C.{a|a<-2或a>2}
D.{a|a≤-2或a>2}
5.若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为 (　 )
A.-3C.-3≤k<0 D.-36.已知关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈{x|0A.m≤-3 B.m≥-3
C.-3≤m<0 D.m≥4
7.在R上定义运算 :A B=A(1-B),若不等式(x-a) (x+a)<1对x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 (　 )
A.-1B.0C.-D.-8.(多选题)[2024·湖北鄂州部分高中协作体高一期中] 不等式x2+bx+c≥2x+b对任意的x∈R恒成立,则 (　 )
A.b2-4c+4≤0 B. b≤0
C.c≥1 D. b+c≥0
9.(多选题)某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120),每小时的油耗(所需要的汽油量)为L,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,若每小时的油耗不超过9 L,则速度x的值可以为 (　 )
A.60 B.80
C.100 D.120
二、填空题
10.不等式>3的解集为　　　　.
11.若不等式x2+ax+4≥0对一切012.若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　　.
三、解答题
13.解下列不等式:
(1)<0;(2)≤1.
14.已知不等式2x2+bx+c<0的解集是{x|0(1)求b,c;
(2)若对于任意的-1≤x≤1,不等式2x2+bx+c+t≤2恒成立,求t的取值范围.
15.若实数m,n为方程x2-2kx+k+6=0的两根,则(m-1)2+(n-1)2的最小值为 (　 )
A.8 B.14
C.-14 D.-
16.某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y(元)关于实际电价x(元/千瓦时)的函数关系式.
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%
注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价).
第2课时　一元二次不等式的简单应用
1.C　[解析] 不等式≤0等价于解得1≤x<3,所以不等式的解集是{x|1≤x<3}.故选C.
2.B　[解析] 由1<<2得0<-<1,即-1<<0.由<0得x<0,由-1<得>0,即x(x+2)>0,解得x>0或x<-2.综上知x<-2.故选B.
3.C　[解析] 由条件知y-25x=(3000+20x-0.1x2)-25x=-0.1x2-5x+3000.若生产者不亏本,则需-0.1x2-5x+3000≤0,即x2+50x-30 000≥0,∴(x+200)(x-150)≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).∴最低产量为150件.
4.A　[解析] 当a-2<0时,由Δ=[2(a-2)]2-4(a-2)×(-4)<0,解得-20时,不等式不恒成立.故a的取值范围是{a|-25.A　[解析] 由题意可得解得-36.A　[解析] 令y=x2-4x,07.C　[解析] (x-a) (x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a<1对x∈R恒成立,即x2-x-a2+a+1>0对x∈R恒成立,所以Δ=1-4(-a2+a+1)=4a2-4a-3<0,所以(2a-3)(2a+1)<0,即-8.ACD　[解析] x2+bx+c≥2x+b可整理为x2+(b-2)x+c-b≥0,根据二次函数的性质有Δ=(b-2)2-4(c-b)=b2-4c+4≤0,故A正确;当b=1,c=2时,满足Δ≤0,即原不等式成立,故B错误;由Δ≤0,得c≥+1,所以c≥1,故C正确;b+c≥+b+1=≥0,故D正确.故选ACD.
9.ABC　[解析] 由汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,得=11.5,解得k=100,故每小时的油耗为L.由题意得≤9,解得45≤x≤100,又60≤x≤120,所以60≤x≤100,故选ABC .
10.　[解析] 由>3得<0,等价于x(2x-1)<0,解得011.a≥-5　[解析] 由题意,分离参数后得,a≥-.设y=-,012.　[解析] 依题意设函数y=(mx+1)(m2x-1),则对任意的x≥4,有y=(mx+1)·(m2x-1)<0恒成立,结合函数图象分析可知由此解得m<-,即实数m的取值范围是.
13.解:(1)由<0,可得(2x-5)(x+4)<0,解得-4(2)∵≤1,∴-1≤0,∴≤0,
即≥0,此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0,解得x<或x≥4,∴原不等式的解集为.
14.解:(1)∵不等式2x2+bx+c<0的解集是{x|0∴0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,
由根与系数的关系知,-=5,=0,∴b=-10,c=0.
(2)2x2+bx+c+t≤2恒成立等价于2x2-10x+t-2≤0恒成立,
∴2x2-10x+t-2在-1≤x≤1时的最大值小于或等于0.
设y=2x2-10x+t-2,-1≤x≤1,
则由二次函数的图象可知y=2x2-10x+t-2在-1≤x≤1时的最大值为10+t,∴10+t≤0,即t≤-10.
15.A　[解析] 由题意得Δ=(-2k)2-4(k+6)≥0,即k2-k-6≥0,解得k≤-2或k≥3.(m-1)2+(n-1)2=m2+n2-2(m+n)+2=(m+n)2-2mn-2(m+n)+2=(2k)2-2(k+6)-2×(2k)+2=4k2-6k-10=4-,因为k≤-2或k≥3,所以当k=3时,(m-1)2+(n-1)2取到最小值,最小值为8.故选A.
16.解:(1)依题意知,若下调后的电价为x元/千瓦时,则用电量增至千瓦时,
所以y=(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)依题意,有(x-0.3)≥[a×(0.8-0.3)](1+20%)(0.55≤x≤0.75),整理得x2-1.1x+0.3≥0(0.55≤x≤0.75),解得0.60≤x≤0.75.
故当电价最低定为0.60元/千瓦时时,仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.3.3.2　从函数观点看一元二次不等式
第1课时　三个二次关系、一元二次不等式的解法
一、选择题
1.[2024·福建厦门高一期中] 不等式(x-1)(x+3)>0的解集为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.{x|x>6或x<-3}
B.{x|-3C.{x|x>1或x<-3}
D.{x|-62.下列不等式的解集为R的是 (　 )
A.-x2+x+1≥0
B.x2-2x+>0
C.x2+6x+10>0
D.2x2-3x+4<1
3.设集合A={x|x2-x-2<0},集合B={x|1A.{x|-1B.{x|-1C.{x|1D.{x|24.若00的解集是 (　 )
A.
B.
C.
D.
5.若不等式ax2+bx-2>0的解集为,则a+b等于 (　 )
A.-18 B.8
C.-13 D.1
6.关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a>0)的解集为{x|x1A. B.
C. D.
7.设a,b,c为实数,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,16a-8b+c<0,则 (　 )
A.b20
B.b2>ac且a<0
C.b2>ac且a>0
D.b28.(多选题)[2024·杭州重点中学高一期中] 已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2A.a<0
B.c<0
C.a+b+c=0
D.a-b+2c>0
9.(多选题)解关于x的不等式ax2+(2-4a)x-8>0,下列说法正确的是 (　 )
A.当a=0时,不等式的解集为{x|x>4}
B.当a>0时,不等式的解集为
C.当a=-时,不等式的解集为R
D.当a=-1时,不等式的解集为{x|2二、填空题
10.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|111.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的非空解集为{x|112.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0(k≠0)的解,则k的取值范围是　　　　　　　　　.
三、解答题
13.解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0.
14.已知关于x的不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
15.若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1<0的解集为 ,则实数m的取值范围是 (　 )
A.m<-1
B.m≥
C.m≥-
D.m≥或m≤-
16.设0(ax)2的整数解恰有3个,求a的取值范围.
3.3.2　从函数观点看一元二次不等式
第1课时　三个二次关系、一元二次不等式的解法
1.C　[解析] 解(x-1)(x+3)=0可得x=-3或x=1,所以,不等式(x-1)(x+3)>0的解集为{x|x>1或x<-3}.故选C.
2.C　[解析] 对于A,-x2+x+1≥0可化为x2-x-1≤0,二次函数y=x2-x-1的图象开口向上,故A中不等式的解集不为R;对于B,二次函数y=x2-2x+的图象开口向上,Δ=(-2)2-4×>0,故B中不等式的解集不为R;对于C,二次函数y=x2+6x+10的图象开口向上,Δ=62-4×10<0,故C中不等式的解集为R;对于D,不等式2x2-3x+4<1可化为2x2-3x+3<0,二次函数y=2x2-3x+3的图象开口向上,故D中不等式的解集不为R.故选C.
3.A　[解析] ∵A={x|-14.A　[解析] 不等式(a-x)>0可化为(x-a)<0,因为05.C　[解析] 由题知a<0,-2和-是方程ax2+bx-2=0的两根.∴∴∴a+b=-13.
6.C　[解析] 由条件知x1,x2为方程x2-2ax-3a2=0的两根,所以x1+x2=2a,x1x2=-3a2,故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-3a2)=16a2=152,解得a=±,又a>0,所以a=.故选C.
7.B　[解析] 设y=ax2+2bx+c(a≠0),则当x=-2时,y=4a-4b+c>0,当x=1时,y=a+2b+c<0,∴关于x的方程ax2+2bx+c=0有两个不同的实根,∴Δ=4b2-4ac>0,即b2>ac.又当x=-4时,y=16a-8b+c<0,∴抛物线开口向下,∴a<0.故选B.
8.ACD　[解析] 不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-20,故B错误;对于选项C,a+b+c=a+a+(-2a)=0,故C正确;对于选项D,a-b+2c=a-a+2(-2a)=-4a>0,故D正确.故选ACD.
9.ABD　[解析] 不等式ax2+(2-4a)x-8>0可化为(ax+2)(x-4)>0,当a=0时,不等式的解集为{x|x>4},故A正确;当a>0时,不等式的解集为,故B正确;当a=-时,不等式为x2-4x+8<0,又Δ=(-4)2-4××8=0,所以不等式的解集为空集,故C错误;当a=-1时,不等式为x2-6x+8<0,可得不等式的解集为{x|210.3　[解析] 因为不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|111.2　[解析] 因为ax2-6x+a2<0的解集为{x|10,且1与m是方程ax2-6x+a2=0的根.则即1+m=.所以m2+m-6=0,解得m=-3或m=2,当m=-3时,a=m<0(舍去),故m=2.
12.k<0或013.解:原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0.
则方程x2-(a+a2)x+a3=0的两根为x1=a,x2=a2,由a2-a=a(a-1)可知,
①当a<0或a>1时,a2>a,∴原不等式的解为x>a2或x②当0a或x③当a=0时,原不等式为x2>0,∴x≠0.
④当a=1时,原不等式为(x-1)2>0,∴x≠1.
综上可知:
当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|xa2};
当0a};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1}.
14.解:(1)因为关于x的不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以1和b是关于x的方程ax2-3x+2=0的两个实数根,
由根与系数的关系,得解得
(2)原不等式可化为x2-(c+2)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
①当c>2时,不等式的解集为{x|2②当c<2时,不等式的解集为{x|c③当c=2时,不等式的解集为 .
15.B　[解析] ①当m+1=0,即m=-1时,不等式化为x-2<0,解得x<2,不满足题意;
②当m+1≠0,即m≠-1时,由题意得m+1>0且Δ=(-m)2-4(m+1)(m-1)≤0,解得m≥.
综上,实数m的取值范围是m≥.
16.解:原不等式转化为[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0.
①当a≤1时,结合不等式解集的形式知不符合题意;
②当a>1时,解原不等式可得综上,a的取值范围是1