4.2.2 对数的运算性质
第1课时 对数的运算性质
一、选择题
1.log42-log48= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
2.若lg a-2lg 2=1,则a= ( )
A.4 B.10
C.20 D.40
3.若10m=,10n=6,则n-2m= ( )
A.-lg 2 B.lg 2 C.-lg 3 D.lg 3
4.lo(+)= ( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
5.已知lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的两根,则= ( )
A. B. C. D.
6.如果lg x=lg a+3lg b-5lg c,那么 ( )
A.x=a+3b-5c B.x=
C.x= D.x=a+b3-c5
7.若lg 2=m,lg 3=n,则= ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)以下运算错误的是 ( )
A.lg 2×lg 3=lg 6
B.(lg 2)2=lg 4
C.lg 2+lg 3=lg 5
D.lg 4-lg 2=lg 2
9.(多选题)若ab>0,则下列各式中,一定成立的是 ( )
A.lg(ab)=lg a+lg b
B.lg =lg alg b
C.lg=lg
D.lg=lg(ab)
二、填空题
10.方程lg x+lg=1的解为 .
11.已知a=log32,那么log38-2log36的计算结果可以用a表示为 .
12.若方程(lg x)2+(lg 5+lg 7)lg x+lg 5·lg 7=0的两根分别是α,β,则αβ的值是 .
三、解答题
13.用ln x,ln y,ln z表示下列各式:
(1)ln ;(2)ln(x2y4z3);(3)ln(×).
14.计算下列各式的值:
(1)lg 5+log36+lg 20-log32;
(2)(lg 5)2+lg 2·(1+lg 5)-eln 2.
(3).
15.若lg(x-y)+lg(x+2y)=lg 2+lg x+lg y,则= .
16.已知lg 2=a,lg 3=b.
(1)求lg 72,lg 4.5(用a,b表示);
(2)若lg x=a+b-2,求x的值.
4.2.2 对数的运算性质
第1课时 对数的运算性质
1.B [解析] log42-log48=log4=-1,故选B.
2.D [解析] 将lg a-2lg 2=1化为lg a-lg 22=1,即lg=1,所以=10,解得a=40,故选D.
3.D [解析] ∵10m=,10n=6,∴m=lg ,n=lg 6,∴n-2m=lg 6-2lg =lg 6-lg 2=lg =lg 3,故选D.
4.B [解析] lo(+)=-lo(+)=-1.故选B.
5.D [解析] ∵lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的两根,∴lg a+lg b=,lg a·lg b=-,∴=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=-4×=,故选D.
6.C [解析] lg x=lg a+lg b3-lg c5=lg,故x=.
7.C [解析] ===.
8.ABC [解析] lg 2+lg 3=lg 6,故A,C中运算错误;lg 2+lg 2=lg 4,则lg 4-lg 2=lg 2,故B中运算错误,D中运算正确.故选ABC.
9.CD [解析] 对于A,当a<0,b<0时,等式右边无意义,A不一定成立;对于B,当a<0,b<0时,等式右边无意义,B不一定成立;对于C,∵ab>0,∴lg=lg,C一定成立;对于D,∵ab>0,∴lg=lg(ab=lg(ab),D一定成立.故选CD.
10.x=1 [解析] ∵lg x+lg=lg(1+9x)=1,∴1+9x=10,解得x=1.
11.a-2 [解析] log38-2log36=3log32-2×(log32+1)=a-2.
12. [解析] 由已知得lg α+lg β=-(lg 5+lg 7),则lg(αβ)=lg ,解得αβ=.
13.解:(1)ln =ln x+ln y-ln z.
(2)ln(x2y4z3)=ln x2+ln y4+ln z3=2ln x+4ln y+3ln z.
(3)ln(×)=ln +ln =ln x+ln y+ln z.
14.解:(1)原式=(lg 5+lg 20)+(log36-log32)=lg 100+log33=2+1=3.
(2)(lg 5)2+lg 2·(1+lg 5)-eln 2=(lg 5)2+lg 2+lg 2·lg 5-2=lg 5·(lg 5+lg 2)+lg 2-2=lg 5+lg 2-2=-1.
(3)原式==
=-.
15.2 [解析] 根据对数的运算法则知,lg[(x-y)(x+2y)]=lg(2xy),则x2-2y2=xy,即--2=0,又由题意知x>0,y>0,∴=2.
16.解:(1)lg 72=lg(23×32)=3lg 2+2lg 3=3a+2b.
lg 4.5=lg =2lg 3-lg 2=2b-a.
(2)lg x=a+b-2=lg 2+lg 3-2=lg 2+lg 3+lg =lg ,所以x==0.06.第2课时 换底公式与对数的应用
一、选择题
1.计算:log54·log1625= ( )
A.2 B.1
C. D.
2.若=,则7a= ( )
A. B.
C.5 D.7
3.已知logax=logac+b(a>0且a≠1),则 ( )
A.x=c·ab
B.x=a·cb
C.x=c·ba
D.x=a·bc
4.若xlog23=1,则3x+9x的值为 ( )
A.5 B.6
C.7 D.8
5.已知log43=p,log325=q,则lg 5等于(用 p,q 表示) ( )
A. B.
C. D.
6.实数a,b满足2a=5b=10,则下列关系正确的是 ( )
A.+=1
B.+=2
C.+=2
D.+=
7.[2024·重庆九龙坡高一期中] 根据国家相关规定:驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20 mg/100 mL,小于80 mg/100 mL认定为酒驾,大于或等于80 mg/100 mL认定为醉驾.假设某驾驶员饮酒后血液中的酒精含量迅速上升到120 mg/100 mL,停止饮酒后,他血液中的酒精含量会每小时减少30%,则该驾驶员要想驾驶车辆至少经过(结果取整数,参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85) ( )
A.3小时 B.4小时
C.5小时 D.6小时
8.(多选题)下列各式化简结果不为1的是 ( )
A.log53×log32×log25
B.lg+lg 5
C.loa2(a>0,且a≠1)
D.eln 3-(0.125
9.(多选题)[2024·江苏南京高一期中] 以下运算中正确的是 ( )
A.若lg 3=m,lg 2=n,则log518=
B.若a+a-1=14,则+=±4
C.-2ln(ln ee)=7
D.+2log23·log94=+1
二、填空题
10.log2·log3·log5= .
11.已知log32=m,则log3218= (用m表示).
12.若15a=5b=3c=25,则+-= .
三、解答题
13.计算:(1)log1627·log8132;
(2)(log32+log92)·(log43+log83).
14.已知a,b,c为正实数,3a=4b=6c.
(1)若2a=mb,求m;
(2)若-+=2,求3a的值.
15.[2024·深圳光明区高一期末] 若x,y,z均为正实数,且2x=3y=6z,∈(n,n+1),n∈N,则n的值为 .
16.(1)设a,b,c分别是直角三角形的三边的长,其中c为斜边的长,c+b≠1,c-b≠1,且a≠1.求证:log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)a·log(c-b)a.
(2)已知lob1=lob2=…=lobn=λ,ai>0且ai≠1,其中i∈N*,i≤n,求证:lo(b1b2…bn)=λ.
第2课时 换底公式与对数的应用
1.B [解析] log54·log1625=×=×=1.故选B.
2.C [解析] ∵=,∴log75=a,则7a=5.故选C.
3.A [解析] 由logax=logac+b,得logax-logac=b,即=b,即ln =bln a,将等式两边同时取以e为底的指数得=ebln a,则=ab,即x=c·ab.
4.B [解析] x==log32,∴3x+9x=+=2+4=6.
5.D [解析] 由log43=p,得log34=,可得log32=,由log325=q,得log35=,则lg 5=====.故选D.
6.A [解析] 由题得log210=a,log510=b.+=+=lg 2+lg 5=1,故A正确;+=+=lg 4+lg 5=lg 20≠2,故B不正确;+=+=lg 2+lg 25=lg 50,故C,D不正确.
7.D [解析] 设至少经过t小时,则120(1-30%)t<20,可得<,两边取常用对数,得tlg==≈=5.2,所以至少经过6小时,故选D.
8.BCD [解析] 由log53×log32×log25=××=1,lg+lg 5=lg +lg =lg =,loa2===4,eln 3-(0.125=3-(2-3=3-4=-1,可知只有A中式子化简结果为1,故选BCD.
9.ACD [解析] 对于A,由lg 3=m,lg 2=n,得log518====,故A正确;对于B,由a+a-1=14,得a>0,所以=a+a-1+2=16,得+=4,故B错误;对于C,-2ln(ln ee)=9-2ln e=9-2=7,故C正确;对于D,+2log23·log94=+×=-1+2=+1,故D正确.故选ACD.
10.-12 [解析] log2·log3·log5=
(-2log25)(-3log32)·(-2log53)=-12.
11. [解析] 由题得log23==,∴log3218===+log23=+=.
12.1 [解析] ∵15a=5b=3c=25,∴a=log1525,b=log525,c=log325,∴+-=log2515+log255-log253=log2525=1.
13.解:(1)log1627·log8132=·=·=·=.
(2)(log32+log92)·(log43+log83)=·=·=log32×log23=××=.
14.解:(1)设 3a=4b=6c=k,k>0,
则a=log3k,b=log4k,c=log6k,
∴====log34,
又2a=mb,∴m==2log34=4log32.
(2)∵a=log3k,b=log4k,c=log6k,
∴=logk3,=logk4,=logk6,
∴-=logk6-logk3=logk2=logk4=,
又-+=2,∴+=2,解得b=.
由(1)知,=log34,∴a=log34=log3,
∴3a===2.
15.25 [解析] 因为x,y,z均为正实数,所以2x=3y=6z>1,令2x=3y=6z=t>1,则x=log2t,y=log3t,z=log6t,====×lg 6=×(lg 2+lg 3)=13++.令m=,则m∈(1,2)且m≠,则=13+4m+,由对勾函数的性质知4m+∈(12,13),则=13+4m+∈(25,26),所以n=25.
16.证明:(1)由勾股定理得a2+b2=c2.
又a≠1,∴log(c+b)a+log(c-b)a=+===
=2log(c+b)a·log(c-b)a,∴原等式成立.
(2)∵lob1=lob2=…=lobn=λ,∴b1=,b2=,…,bn=,∴b1b2…bn=…=(a1a2a3…an)λ,∴lo(b1b2…bn)=λ.
