第2课时 函数的图象
一、选择题
1.函数y=x-1(x≥0)的图象是 ( )
A.一条射线 B.一条线段
C.两条射线 D.一条直线
2.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的定义域、值域分别是 ( )
A.(-3,3),(-2,2)
B.[-3,3],[-2,2]
C.[-2,2],[-3,3]
D.(-2,2),(-3,3)
3.若a+b=0(a≠0,b≠0),则在同一直角坐标系中,函数y=ax+1与y=bx-1的图象可能是 ( )
A B C D
4.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是 ( )
A B C D
5.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(-x)的图象是( )
A B C D
6.如图是函数f(x)的图象,则下列说法不正确的是 ( )
A.f(0)=-2
B.f(x)的定义域为[-3,2]
C.f(x)的值域为[-2,2]
D.若f(x)=0,则x=或2
7.一天,亮亮发烧了,早晨他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了,中午时的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了.下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时~24时)体温的变化情况的是(注:人的正常体温约为37 ℃)( )
A B C D
8.(多选题)春天经常刮风,给人们的出行带来很多不便,小明观测了4月6日连续12个小时风力的变化情况,并画出了风力随时间变化的图象,如图,则下列说法错误的是 ( )
A.在8时至14时,风力不断增大
B.在8时至12时,风力最大为7级
C.8时风力最小
D.20时风力最小
9.(多选题)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成,则 ( )
A.f[f(-3)]=1
B.f(-1)=3.5
C.函数f(x)的定义域是(-∞,0]∪[2,3]
D.函数f(x)的值域是[1,5]
二、填空题
10.已知函数f(x)=的图象过点(1,1),则实数m的值为 .
11.要得到函数y=的图象,只需先将函数y=的图象向右平移 个单位长度, 再向上平移 个单位长度.
12.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式(ax+b)(bx+c)(cx+a)<0的解集是 .
三、解答题
13.作下列函数的图象,并指出其值域.
(1)y=x2+x(-1≤x≤1);
(2)y=(-2≤x<1且x≠0).
14.画出函数f(x)=-x2+x+1(-1≤x≤1)的图象,并根据图象回答下列问题:
(1)当-1≤x1
(2)是否存在x0∈[-1,1],使得f(x0)=-2
15.如图,一只蚂蚁从正方形ABCD的一个顶点A出发,沿着正方形的边逆时针运动一周后回到A点,假设蚂蚁运动过程中的速度大小不变,则蚂蚁与点A的距离s随时间t变化的大致图象为 ( )
A B C D
16.[2024·辽宁大连滨城高中联盟高一月考] 函数f(x)的图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的图象的稳定点.
(1)求函数y=3-2x的图象的稳定点;
(2)若函数y=的图象有两个关于原点对称的稳定点,求a的值及函数的图象的稳定点;
(3)已知函数y=ax2+(b+1)x+(b-4)(a≠0),若对任意实数b,函数的图象恒有两个相异的稳定点,求a的取值范围.
第2课时 函数的图象
1.A [解析] 函数y=x-1为一次函数,其图象为一条直线,当x≥0时,图象为一条射线.故选A.
2.B [解析] 由图象可得f(x)的定义域为[-3,3],值域为[-2,2].故选B.
3.B [解析] 函数y=ax+1的图象过定点(0,1),,函数y=bx-1的图象过定点(0,-1),,排除A;因为a+b=0,所以a=-b,所以-=,所以两函数图象和x轴交于同一点,排除C,D.故选B.
4.B [解析] 只有B选项符合题意.故选B.
5.B [解析] 由y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称,结合选项可知B正确.故选B.
6.C [解析] 由图象知f(0)=-2,故A中说法正确;函数f(x)的定义域为[-3,2],故B中说法正确;函数f(x)的最小值为-3,最大值为2,可得函数f(x)的值域为[-3,2],故C中说法不正确;若f(x)=0,则x=或2,故D中说法正确.故选C.
7.C [解析] 依题意,亮亮在早上时体温大于37 ℃,随着药物的作用,亮亮的体温逐渐下降,到中午时体温接近37 ℃,下午体温又逐渐上升,晚上体温渐渐下降直到半夜体温接近37 ℃,故符合题意的图象为C.故选C.
8.ABC [解析] 11时到12时风力减小,故A中说法错误;由题图知8时到12时,风力在2~4级之间,故B中说法错误;由题图知20时风力最小,故C中说法错误,D中说法正确.故选ABC.
9.AD [解析] 对于选项A,由图象可得f(-3)=2,所以f[f(-3)]=f(2)=1,A正确;对于选项B,图象法只能近似求出函数值,且有时误差较大,故由图象不能得出f(-1)的确定值,B错误;对于选项C,由图象可得函数f(x)的定义域为[-3,0]∪[2,3],C错误;对于选项D,由图象可得函数f(x)的值域为[1,5],D正确.故选AD.
10.-1 [解析] 因为函数f(x)=的图象过点(1,1),所以1=,解得m=-1.
11.1 1 [解析] y===1+,故将y=的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到y=的图象.
12.∪(3,+∞) [解析] 根据函数y=ax2+bx+c的图象可知,a>0,c>0,1+2=3=-,所以b<0,1×2=2=,所以b=-3a,c=2a,不等式(ax+b)(bx+c)(cx+a)<0可化为(ax-3a)(-3ax+2a)(2ax+a)<0,即(x-3)(3x-2)(2x+1)>0,解得-3,所以不等式(ax+b)(bx+c)(cx+a)<0的解集是∪(3,+∞).
13.解:(1)如图(1)所示.其值域为.
(2)如图(2)所示.其值域为(-∞,-1]∪(2,+∞).
14.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
由图可知,当-1≤x1(2)由图得当x=-1时,函数f(x)取得最小值-1,所以不存在x0∈[-1,1],使得f(x0)=-2.
15.A [解析] 设蚂蚁的速度为v,正方形的边长为a,则0≤t≤.当蚂蚁位于线段AB上,即0≤t≤时,s=vt,其图象为一条线段;当蚂蚁位于线段BC(不包括点B)上,即16.解:(1)令3-2x=x,得x=1,故函数y=3-2x的图象的稳定点为(1,1).
(2)设点(x0,x0)是稳定点,则x0=,即2+(a-3)x0-18=0,由题意知该方程有两个根,且这两个根互为相反数,故(a-3)2-4×2×(-18)>0,-=0,解得a=3.由2-18=0,得x0=±3,
则稳定点为(-3,-3),(3,3).
(3)对任意实数b,函数的图象恒有两个相异的稳定点,即关于x的方程ax2+(b+1)x+(b-4)=x恒有两个不相等的实数根,即关于x的方程ax2+bx+(b-4)=0恒有两个不相等的实数根,则Δ1=b2-4a(b-4)>0恒成立,
即关于b的方程b2-4ab+16a>0恒成立,所以Δ2=16a2-4×16a<0,解得05.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念
一、选择题
1.下列各图中,可作为函数图象的是 ( )
2.函数f(x)=+的定义域是 ( )
A.{x|x>0} B.{x|x≥0}
C.{x|x≠0} D.R
3.下列各组中的两个函数为同一个函数的是 ( )
A.f(x)=·,g(x)=
B.f(x)=()2,g(x)=2x-5
C.f(x)=,g(x)=
D.f(x)=,g(t)=
4.已知f(x)=则f[f(-1)]的值为 ( )
A.5 B.2
C.-1 D.-2
5.已知函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数g(x)=f的定义域为 ( )
A. B.
C. D.
6.设f(x)=,则= ( )
A.1 B.-1 C. D.-
7.已知f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=p,f(3)=q,那么f(72)等于 ( )
A.p+q B.3p+2q
C.2p+3q D.p3+q2
8.已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x)+f(y)=f(x+y),若f(1)=-1,则f(3)= ( )
A.-3 B.-2
C.-1 D.0
9.(多选题)[2024·河南开封高一期中] 集合A,B与对应关系f如图所示,则f:A→B是从集合A到集合B的函数的是 ( )
A B C D
二、填空题
10.函数f(x)=的定义域为 .
11.函数f(x)=的值域是 .
12.某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆,计划是:第一天记忆300个单词;第一天后的每一天,在复习前面记忆过的单词的基础上增加50个新单词的记忆量,则该同学记忆的单词总量y与记忆天数x的函数关系式为 ,最大值为 .
三、解答题
13.已知函数f(x)=+.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求f(2)及f(6)的值;
(3)求函数f(x+1)的定义域.
14.求下列函数的值域:
(1)y=;(2)y=;(3)y=x-.
15.若函数f(x)=的定义域为R,则m的取值范围为 .
16.已知函数f(x)=.
(1)求f(2)+f,f(3)+f的值;
(2)求证:f(x)+f是定值;
(3)求f(2)+f+f(3)+f+…+f(2020)+f的值.
第五章 函数概念与性质
5.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念
1.D [解析] 根据函数的概念知,选项D正确.
2.A [解析] 要使f(x)有意义,则满足解得x>0.故选A.
3.D [解析] A中,f(x)=·的定义域为{x|x≥1},g(x)=的定义域为{x|x≥1或x≤-1},它们的定义域不相同,不是同一个函数.B中,f(x)=()2的定义域为,g(x)=2x-5的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数.C中,f(x)=与g(x)=的对应关系不同,不是同一个函数.D中,f(x)==x(x>0)与g(t)==t(t>0)的定义域与对应关系都相同,是同一个函数.故选D.
4.A [解析] 由f(x)=可得f(-1)=1+1=2,则f[f(-1)]=f(2)=4+1=5,故选A.
5.A [解析] ∵函数f(x)的定义域为[-1,2],∴-1≤2x-≤2,解得≤x≤,∴函数g(x)=f的定义域为,故选A.
6.B [解析] ∵f(2)==,f==-,∴=×=-1.
7.B [解析] f(72)=f(36×2)=f(36)+f(2)=f(6×6)+f(2)=2f(6)+f(2)=2f(2×3)+f(2)=3f(2)+2f(3)=3p+2q.
8.A [解析] 由题意知f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-3.故选A.
9.AC [解析] 选项A,集合A中任何一个数在集合B中都有唯一一个数与之对应,故是函数;选项B,集合A中存在数3在集合B中没有对应的,故不是函数;选项C,集合A中任何一个数在集合B中都有唯一一个与之对应,故是函数;选项D,集合A中存在数5在集合B中有2个数与之对应,故不是函数.故选AC.
10.(1,2)∪(2,+∞) [解析] 要使函数有意义,则可得x>1且x≠2,即函数f(x)=的定义域为(1,2)∪(2,+∞).
11.(-∞,3)∪(3,+∞) [解析] 由题知,函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠1},f(x)===3+.∵≠0,∴f(x)≠3,∴函数f(x)的值域是(-∞,3)∪(3,+∞).
12.y=250+50x,x∈{x∈N*|x≤10} 750 [解析] 根据题意,该同学计划第一天记忆300个单词;第一天后的每一天,在复习前面记忆过的单词的基础上增加50个新单词的记忆量,则y=300+(x-1)×50=250+50x,x∈{x∈N*|x≤10};则函数的值域为{300,350,400,450,500,550,600,650,700,750};其最大值为750.
13.解:(1)由得x≥0且x≠1,所以函数的定义域为{x|x≥0且x≠1}.
(2)因为f(x)=+,所以f(2)=+=1+,f(6)=+=+.
(3)方法一:由(1)知,f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1},∴x+1≥0且x+1≠1,解得x≥-1且x≠0,故函数f(x+1)的定义域为{x|x≥-1且x≠0}.
方法二:由题知,f(x+1)=+,故解得x≥-1且x≠0,
故函数f(x+1)的定义域为{x|x≥-1且x≠0}.
14.解:(1)令t=x2-4x+6,得t=(x-2)2+2,
故t∈[2,+∞),所以函数的值域为[,+∞).
(2)因为函数的定义域为{x|x≠1},y==5+,所以函数的值域为{y|y≠5}.
(3)要使有意义,只需x+1≥0,即x≥-1,故函数的定义域为{x|x≥-1}.设t=,则x=t2-1(t≥0),设f(t)=t2-1-t=-,
又t≥0,所以f(t)≥-,
所以原函数的值域为.
15.m> [解析] 要使原函数有意义,必须mx2+x+3≠0,由于函数的定义域是R,故mx2+x+3≠0对一切实数x恒成立.当m=0时,x+3≠0,即x≠-3,与f(x)的定义域为R矛盾,所以m=0不合题意.当m≠0时,由Δ=12-12m<0,解得m>.综上可知,m的取值范围是m>.
16.解:(1)∵f(x)=,∴f(2)+f=+=1,
f(3)+f=+=1.
(2)证明:f(x)+f=+=+==1.
(3)由(2)知f(x)+f=1,∴f(2)+f=1,
f(3)+f=1,f(4)+f=1,…,
f(2020)+f=1,∴f(2)+f+f(3)+f+…+f(2020)+f=2019.