第2课时 函数的最大(小)值
一、选择题
1.已知f(x)=,则f(x)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为 ( )
A., B.,1
C., D.,
2.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是 ( )
A.2 B.-2
C.2或-2 D.0
3.函数f(x)=的最大值为 ( )
A.1 B.2
C. D.
4.函数y=f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数y=f(x)的最大值和最小值分别为 ( )
A.f(2),f(-2)
B.f,f(-1)
C.f,f
D.f,f(0)
5.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
6.函数f(x)=的最大值是 ( )
A. B.
C. D.
7.已知函数f(x)=-x|x|+2x+1,x∈[-1,3],则下列关于函数f(x)的最值的结论正确的是 ( )
A.最大值为2,最小值为0
B.最大值为2,最小值为-2
C.最大值为1,最小值为0
D.最大值为1,最小值为-2
8.设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为 ( )
A.[-1,2] B.[-1,0]
C.[1,2] D.[0,2]
9.(多选题)已知函数f(x)=x+,g(x)=x2-ax+1,若对任意x1∈[1,3],x2∈[1,3],都有f(x1)≥g(x2),则实数a的值可以是 ( )
A.-2 B.-3 C.2 D.3
二、填空题
10.若函数f(x)=在[1,b](b>1)上的最小值是,则b= .
11.用长度为24 m的材料围成一矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 m.
12.已知函数f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],并且f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是 .
三、解答题
13.已知函数f(x)=.
(1)证明:函数f(x)在上单调递减;
(2)求函数f(x)在[1,5]上的最大值和最小值.
14.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式f(x)>2x+m对任意x∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
15.设f(x)=min{-x+6,-x2+4x+6},其中min{a,b}=则函数f(x)的最大值为 .
16.某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x)(万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入R(x)(万元)满足:R(x)=
假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉).根据上述统计规律,请完成下列问题:
(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本).
(2)工厂生产多少百台产品时,可使利润最大 并求出最大利润.
第2课时 函数的最大(小)值
1.A [解析] 因为函数f(x)=在区间[2,8]上单调递减,所以f(x)在区间[2,8]上的最小值为f(8)=,最大值为f(2)=.故选A.
2.C [解析] 当a>0时,由题意得2a+1-(a+1)=2,则a=2;当a<0时,由题意得a+1-(2a+1)=2,则a=-2.综上,a=±2.故选C.
3.B [解析] 当x≥1时,函数f(x)=单调递减,此时f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=1;当x<1时,函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,最大值为f(0)=2.综上可得,f(x)的最大值为2,故选B.
4.C [解析] 根据函数最值的定义,结合函数图象可知,当x=-时,y=f(x)有最小值f;当x=时,y=f(x)有最大值f.
5.C [解析] 因为f(x)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a,所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=2,所以f(x)在[0,1]上单调递增.又因为f(x)min=-2,所以f(0)=-2,即a=-2,所以f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.
6.C [解析] 因为1-x(1-x)=x2-x+1=+≥,所以≤,故f(x)的最大值为.
7.B [解析] f(x)=-x|x|+2x+1=
作出函数f(x)的图象(图略),可知,当x=1时,f(x)取得最大值2;当x=3时,f(x)取得最小值-2.故选B.
8.D [解析] ∵当x≤0时,f(x)=(x-a)2,f(0)是f(x)的最小值,∴a≥0.当x>0时,f(x)=x++a≥2+a,当且仅当x=1时取“=”.要使f(0)是f(x)的最小值,只需2+a≥f(0)=a2,即a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2.综上,a的取值范围是0≤a≤2.故选D.
9.CD [解析] 当x∈[1,3]时,f(x)=x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,所以f(x)在[1,3]上的最小值为4.g(x)=x2-ax+1=+1-,当≤2,即a≤4时,g(x)在[1,3]上的最大值为g(3)=10-3a,由4≥10-3a,解得a≥2,所以2≤a≤4;当>2,即a>4时,g(x)在[1,3]上的最大值为g(1)=2-a,由4≥2-a,解得a≥-2,所以a>4.综上可知,实数a的取值范围是[2,+∞).故选CD.
10.4 [解析] 因为f(x)在[1,b]上单调递减,所以f(x)在[1,b]上的最小值为f(b)==,所以b=4.
11.3 [解析] 设隔墙的长度为x m,矩形的面积为S m2,则S=x·=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,0
12.(1,3] [解析] 由题意可知f(x)在[1,a]上单调递减,又∵f(x)的减区间为(-∞,3],∴113.解:(1)证明:设x1,x2是区间上的任意两个实数,且x2>x1,则f(x1)-f(x2)=-=.
因为x2>x1>,所以x2-x1>0,且(2x1-1)·(2x2-1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)=在区间上单调递减.
(2)由(1)知,函数f(x)在[1,5]上单调递减,
所以函数f(x)=在区间[1,5]的两个端点处分别取得最大值与最小值,即最大值为f(1)=3,最小值为f(5)=.
14.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵f(0)=1,∴c=1,∴f(x)=ax2+bx+1.
又∵f(x+1)-f(x)=2x,∴2ax+a+b=2x,
则解得∴f(x)=x2-x+1.
(2)由题意,得x2-x+1>2x+m对任意x∈[-1,1]恒成立,
即x2-3x+1-m>0对任意x∈[-1,1]恒成立.
令g(x)=x2-3x+1-m=--m,
则g(x)>0在[-1,1]上恒成立,g(x)的图象的对称轴为直线x=,∴g(x)在区间[-1,1]上单调递减,
∴g(x)min=g(1)=1-3+1-m>0,∴m<-1.
15.6 [解析] 在同一平面直角坐标系内,作出y=-x+6和y=-x2+4x+6的图象,如图所示.由题意及图可知f(x)的图象是图中的实线部分,观察图象可知此函数的最大值为6.
16.解:(1)由题意得G(x)=2.8+x,所以f(x)=R(x)-G(x)=
(2)当x>5时,因为函数f(x)单调递减,
所以f(x)<8.2-5=3.2;
当0≤x≤5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,当x=4时,f(x)有最大值3.6.
综上,当x=4时,f(x)取得最大值3.6,所以当工厂生产4百台产品时,可使利润最大,最大利润为3.6万元.5.3 函数的单调性
第1课时 单调性的概念与证明
一、选择题
1.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,在区间(b,c)上也单调递增,则函数f(x)在区间(a,b)∪(b,c)上 ( )
A.单调递增
B.单调递减
C.单调递增或单调递减
D.无法确定单调性
2.图是函数y=f(x)的图象,则此函数的减区间的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.若f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数,则 ( )
A.a≥ B.a≤
C.a>- D.a<
4.若y=f(x)是定义域为R的减函数,对于x1<0,x2>0,则 ( )
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)C.f(-x1)=f(-x2)
D.无法确定
5.已知函数f(x)=,则函数f(x) ( )
A.在(-2,+∞)上单调递增
B.在(-2,+∞)上单调递减
C.在(1,+∞)上单调递增
D.在(1,+∞)上单调递减
6.[2024·江苏连云港高一期中] 已知函数f(x)=x2-2mx+1在(-∞,1)上单调递减,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
7.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,则-1A.(-3,0)
B.(0,3)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
8.(多选题)下列函数中,满足函数f(x)在(1,+∞)上单调递增的是 ( )
A.f(x)=3x+1
B.f(x)=x+
C.f(x)=-(x-1)2-5
D.f(x)=|x+4|
9.(多选题)存在函数f(x)满足 ( )
A.y=f(x)是增函数,y=f[f(x)]也是增函数
B.y=f(x)是减函数,y=f[f(x)]也是减函数
C.y=f(x)是增函数,但y=af(x)(a>0)是减函数
D.对任意的a∈R,f(a)≠a,但f[f(x)]=x
二、填空题
10.如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)的增区间为 ,减区间为 .
11.已知函数f(x)=是定义在R上的增函数,则a的取值范围是 .
12.若函数f(x)是定义域上的减函数,且其图象过点(-3,2)和(1,-2),则使|f(x)|<2的自变量x的取值范围是 .
三、解答题
13.已知函数f(x)=|x|(x+1).
(1)试画出函数f(x)的图象;
(2)根据图象写出函数f(x)的单调区间.
14.已知函数f(x)=.
(1)若a=4,判断函数f(x)在(2,+∞)上的单调性,并利用单调性的定义证明你的结论;
(2)若函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减,写出a的取值范围并证明.
15.[2024·福建厦门双十中学高一期中] 已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有>1,且f(3)=2,则不等式f(x)A.(-∞,2) B.(0,2)
C.(0,3) D.(2,3)
16.设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意的正实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),当0(1)判断并证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)若f(4)=4,求不等式f(x)+1>f(2x+3)的解集.
5.3 函数的单调性
第1课时 单调性的概念与证明
1.D [解析] 函数f(x)在区间(a,b)∪(b,c)上无法确定单调性.如y=-在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上也单调递增,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上并不具有单调性.
2.B [解析] 由图可知函数y=f(x)的减区间有2个,故选B.
3.D [解析] ∵f(x)在R上是减函数,∴2a-1<0,即a<.
4.B [解析] 因为x1<0,x2>0,所以-x1>-x2,又y=f(x)是定义域为R的减函数,所以f(-x1)5.D [解析] f(x)===1+(x≠1),所以函数f(x)的图象可由反比例函数y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.因为y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减.故选D.
6.D [解析] 因为函数f(x)=x2-2mx+1在(-∞,1)上单调递减,f(x)=x2-2mx+1的图象开口向上,对称轴为直线x=m,所以m≥1,即实数m的取值范围是[1,+∞),故选D.
7.B [解析] 由已知得f(0)=-1,f(3)=1,∴-18.AD [解析] 对于A,函数f(x)=3x+1在R上单调递增,故A正确;对于B,函数f(x)=x+在(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增,在(-2,0),(0,2)上单调递减,故B错误;对于C,函数f(x)=-(x-1)2-5在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故C错误;对于D,函数f(x)=|x+4|在(-∞,-4)上单调递减,在(-4,+∞)上单调递增,故D正确.故选AD.
9.AD [解析] 对于A,根据复合函数的单调性可知,因为y=f(x)是增函数,所以y=f[f(x)]也是增函数,A正确;对于B,根据复合函数的单调性可知,因为y=f(x)是减函数,所以y=f[f(x)]是增函数,B错误;对于C,因为y=f(x)是增函数,所以y=af(x)(a>0)也是增函数,C错误;对于D,令f(x)=-,其定义域为{x|x≠0},满足f(a)=-≠a,但是f[f(x)]=f=-=x,D正确.故选AD.
10.[-2,1],[3,5] [-5,-2],[1,3] [解析] 由图可知函数y=f(x)的增区间是[-2,1],[3,5],减区间是[-5,-2],[1,3].
11.a≥ [解析] 当x≤1时,f(x)=-x2+2x-=-(x-1)2+,f(x)是增函数.若f(x)是R上的增函数,则7a>0且7a×1-≥,解得a≥.
12.(-3,1) [解析] ∵f(x)是定义域上的减函数,f(-3)=2,f(1)=-2,∴当x>-3时,f(x)<2,当x<1时,f(x)>-2,则当-313.解:(1)f(x)=|x|(x+1)=的图象如图所示.
(2)f(x)在,[0,+∞)上单调递增,在上单调递减,因此f(x)的增区间为,[0,+∞),减区间为.
14.解:(1)当a=4时,f(x)=在(2,+∞)上单调递减.
证明如下:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=
=,
由x2>x1>2,得x2-x1>0,x2-2>0,x1-2>0,
所以f(x1)-f(x2)=>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递减.
(2)若函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减,则a>-2.证明如下:任取x3,x4∈(2,+∞),且x3则f(x3)-f(x4)=-=
=,
由x4>x3>2,得x4-x3>0,x4-2>0,x3-2>0,
由a>-2得a+2>0,所以f(x3)-f(x4)=>0,即f(x3)>f(x4),
所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递减.
15.C [解析] 不妨设00,由>1,得-1>0,即>0,结合x2-x1>0,x1x2>0得->0,即>.设g(x)=(x>0),则该函数在(0,+∞)上单调递增,且g(3)==1,则f(x)16.解:(1)f(x)在(0,+∞)上单调递增.证明如下:设x1>x2>0,则f(x1)+f=f(x2),即f(x2)-f(x1)=f.因为0<<1,所以f<0,所以f(x2)(2)由f(2×2)=f(2)+f(2)=4,得f(2)=2.f(x)+1>f(2x+3)等价于2f(x)+f(2)>f(2x+3),等价于f(2x2)>f(2x+3),又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以2x2>2x+3>0,解得x>或-