第2课时 奇偶性的应用
一、选择题
1.函数f(x)=-x的图象关于 ( )
A.y轴对称
B.直线y=-x对称
C.原点对称
D.直线y=x对称
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(-3)=2,则下列各点中一定在函数f(x)的图象上的是 ( )
A.(3,-2) B.(3,2)
C.(-3,-2) D.(2,-3)
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)的解析式为 ( )
A.-x2-2x B.-x2+2x
C.x2-2x D.x2+2x
4.一个偶函数定义在区间[-7,7]上,它在[0,7]上的图象如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.这个函数仅有一个增区间
B.这个函数有两个减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值-7
5.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,函数 f(x) 单调递减,则f(-3),f(π),f(-3.14)的大小关系为 ( )
A.f(π)=f(-3.14)>f(-3)
B.f(π)
C.f(π)>f(-3.14)>f(-3)
D.f(π)6.[2024·南京师大附中高一月考] 已知函数f(x)为奇函数,函数g(x)为偶函数,f(x)+g(x)=x2-x+1,则f(2)= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
7.设奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不等式<0的解集为 ( )
A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-1,0)∪(0,1)
8.[2024·武汉高一期中] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上单调递增,且f(2)=0,则不等式(x+2)f(x)<0的解集为 ( )
A.(2,+∞)
B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-2,0)
D.(-∞,-2)∪(0,2)
9.(多选题)[2024·北京丰台区高一期中] 已知函数f(x)=,下列结论正确的是 ( )
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)在(2,+∞)上单调递减
C.f(x)的值域为R
D.当x∈(-2,2)时,f(x)有最大值
二、填空题
10.已知函数f(x)=x3++1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为 .
11.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)从小到大的排列是 .
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+ax-1-a,若函数f(x)为R上的减函数,则a的取值范围是 .
三、解答题
13.已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-4x+3.
(1)求f[f(-1)]的值;
(2)求函数f(x)的解析式.
15.[2024·湖南师大附中高一期中] 已知函数f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,且f(-2)=0,若对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0,则不等式f(x)<0的解集为 .
16.定义在R上的函数f(x),满足对 x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2).
如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,试求实数x的取值范围.
第2课时 奇偶性的应用
1.C [解析] 易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.又f(x)=-x,f(-x)=-+x=-,∴f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数,其图象关于原点对称.
2.A [解析] 因为f(-x)=-f(x),所以f(3)=-f(-3)=-2,所以点(3,-2)一定在函数f(x)的图象上.
3.A [解析] 设x<0,则-x>0,因为当x>0时,f(x)=x2-2x,所以f(-x)=x2+2x,又f(x)为奇函数,所以-f(x)=x2+2x,即f(x)=-x2-2x(x<0).故选A.
4.C [解析] 根据偶函数图象的对称性,作出该函数在[-7,7]上的图象,如图所示,可知这个函数有三个增区间;有三个减区间;在其定义域内有最大值7;在其定义域内最小值不是-7.故选C.
5.B [解析] 因为函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|).因为|-3|<|-3.14|<π,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递减,所以f(|-3|)>f(|-3.14|)>f(π),所以f(π)6.A [解析] 由f(x)+g(x)=x2-x+1①,得f(-x)+g(-x)=x2+x+1,因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以-f(x)+g(x)=x2+x+1②,①-②得2f(x)=-2x,所以f(x)=-x,则f(2)=-2.故选A.
7.D [解析] 由f(x)为奇函数可知,=<0.而f(1)=0,则f(-1)=-f(1)=0.当x>0时,可得f(x)<0=f(1);当x<0时,可得f(x)>0=f(-1).又∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,∴08.A [解析] 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,又因为f(2)=0,所以f(-2)=f(2)=0,所以当x<-2或x>2时,f(x)<0,当-20.由(x+2)f(x)<0,得或所以
或解得x>2,所以不等式(x+2)f(x)<0的解集为(2,+∞),故选A.
9.ABD [解析] 对于A,函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,2)∪(2,+∞),关于原点对称,f(-x)===f(x),即函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确; 对于B,当x∈(2,+∞)时,f(x)===,所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,故B正确;对于C,当x∈(2,+∞)时,f(x)∈(0,+∞),当x∈[0,2)时,f(x)∈,结合偶函数图象的对称性知f(x)的值域为∪(0,+∞),故C错误;对于D,由C知,当x∈(-2,2)时,f(x)有最大值-,故D正确.故选ABD.
10.0 [解析] ∵f(a)=2,∴a3++1=2,得a3+=1,∴f(-a)=(-a)3++1=-(a3+)+1=-1+1=0.
11.f(-2)f(1)>f(2)=f(-2).
12.[-1,0] [解析] 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.若函数f(x)为R上的减函数,则满足当x>0时,f(x)单调递减,且-1-a≤0,此时即故-1≤a≤0.
13.解:(1)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象(如图所示)知所以114.解:(1)∵f(x)为定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.
又∵当x>0时,f(x)=x2-4x+3,
∴f(-1)=-f(1)=0,∴f[f(-1)]=0.
(2)由(1)可知,当x=0时,f(x)=0;当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-(-x)2+4×(-x)-3=-x2-4x-3.
综上,f(x)=
15.(-2,0)∪(2,+∞) [解析] 因为对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0,不妨设x1,x2∈(0,+∞)且x10恒成立,令g(x)=xf(x),x≠0,则g(x1)-g(x2)=x1f(x1)-x2f(x2)>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,又函数f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,所以g(x)为偶函数,且g(x)在(-∞,0)上单调递增.由f(-2)=0,可得g(2)=g(-2)=-2f(-2)=0,所以当x<-2或x>2时,g(x)<0,当-20.不等式f(x)<0,即为<0,当x>0时,不等式可化为g(x)<0,可得x>2,当x<0时,不等式可化为g(x)>0,可得-216.解:令x1=x2=0,得f(0)=0,令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0,
即f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
因为f(4)=1,所以f(8)=f(4)+f(4)=2,
所以原不等式可化为f(x-1)又因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,f(0)=0且f(x)是奇函数,
所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以x-1<8,
解得x<9,所以实数x的取值范围是(-∞,9).第3课时 函数性质的综合问题
一、选择题
1.函数y=|x|的图象 ( )
A.关于坐标轴、原点都不对称
B.关于原点对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
2.函数f(x)=的图象的对称中心为 ( )
A.(1,-1) B.(-1,1)
C.(1,0) D.(1,-2)
3.如果奇函数f(x)在[2,5]上单调递减且最小值是4,那么f(x)在[-5,-2]上 ( )
A.单调递减且最小值是-4
B.单调递减且最大值是-4
C.单调递增且最小值是-4
D.单调递增且最大值是-4
4.设函数f(x)=ax3-x-3+a,若函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,则a= ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
5.已知f(x)为定义在R上的奇函数,且f(x)的图象关于直线x=2对称,当0A.2 B.-2
C.-4 D.4
6.[2024·三明高一期中] 已知函数f(x)=,当x∈[-3,3]时,f(x)的最大值为M,最小值为m,则M+m= ( )
A.0 B.2
C.4 D.6
7.已知函数f(x)=|x-3|-|x+1|,则下列说法中正确的是 ( )
A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
B.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称
C.函数f(x)有最小值,无最大值
D.函数f(x)的图象是两条射线
8.已知函数f(x)的图象关于直线x=对称,且f(x)在上单调递增,a=f,b=f(1),c=f(2),则a,b,c的大小关系为( )
A.cC.b9.(多选题)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(3)=0
C.y=f(x-1)为偶函数
D.y=f(x+1)为奇函数
二、填空题
10.设a∈R,已知奇函数f(x)的定义域是[-4,4],f(x)在[0,4]上单调递减,且f(a+1)>f(2a),则a的取值范围是 .
11.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则a+b= .
12.[2024·江苏南京高一期中] 已知函数f(x)=x2+|x|-6,则不等式x[f(x)+f(-x)]>0的解集为 .
三、解答题
13.证明:函数f(x)=的图象关于点(-1,1)对称.
14.[2024·浙江强基联盟高一期中] 已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=.
(1)求f(x)的解析式;
(2)利用单调性的定义证明f(x)在(-1,1)上为增函数;
(3)解不等式f(x-1)+f(2x)<0.
15.[2024·江苏宿迁高一期末] 已知函数f(x)的定义域为R,函数y=f(2x-1)是奇函数,f(-x)=f(x-4),当x∈[1,2]时,f(x)=ax2-a.若f(3)+f(4)=-3,则f的值为 ( )
A. B.
C.- D.-
16.设a,b∈R,若函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)=.
(1)证明:函数g(x)的图象关于点(-2,9)对称;
(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1,若对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[0,2],使得h(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.
第3课时 函数性质的综合问题
1.D [解析] 作出函数y=|x|的图象如图所示.该函数的图象关于y轴对称,故选D.
2.A [解析] 函数f(x)==-1+,则f(1+x)+f(1-x)=-1+-1+=-2,可得f(x)的图象关于点(1,-1)对称,故选A.
3.B [解析] 因为奇函数f(x)在区间[2,5]上单调递减,所以f(x)在区间[-5,-2]上也单调递减,又奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是4,即f(5)=4,所以f(-5)=-f(5)=-4,所以函数f(x)在区间[-5,-2]上的最大值为f(-5)=-4,故选B.
4.B [解析] 因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)为奇函数,故f(-x)+f(x)=a(-x)3-(-x)-3+a+ax3-x-3+a=2a=0,所以a=0.故选B.
5.C [解析] ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),又f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(x+2)=f(-x+2),∴f(6)=f(4+2)=f(-4+2)=f(-2)=-f(2),∴f(6)=-f(2)=-22=-4.故选C.
6.B [解析] f(x)===1+,设g(x)=f(x)-1=,x∈[-3,3],则g(-x)===-g(x),故g(x)是定义在[-3,3]上的奇函数.由题得g(x)的最大值为M-1,最小值为m-1,则有(M-1)+(m-1)=0,所以M+m=2.故选B.
7.B [解析] 作出函数f(x)=|x-3|-|x+1|的图象如图所示.由图可得,函数f(x)的图象无对称轴,故A选项错误;函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,故B选项正确;函数f(x)有最小值和最大值,故C选项错误;函数f(x)的图象是两条射线和一条线段,故D选项错误.故选B.
8.B [解析] 因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以a=f=f,又因为f(x)在上单调递增,所以f(x)在上单调递减,所以f(1)>f>f(2),即b>a>c.故选B.
9.BD [解析] 由f(2-x)+f(x)=0知,函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,A错误;因为函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称,且f(2-x)=f(x-2),又f(2-x)+f(x)=0,所以f(x-2)+f(x)=0,所以f(x-2)=-f(x)=-[-f(x+2)]=f(x+2),所以f(x)=f(x+4),易知函数f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,所以f(3)=f(-1)=0,B正确;y=f(x-1)的图象由f(x)的图象向右平移一个单位长度得到,则y=f(x-1)的图象关于点(0,0)中心对称,即y=f(x-1)为奇函数,C错误;y=f(x+1)的图象由f(x)的图象向左平移一个单位长度得到,则y=f(x+1)的图象关于点(0,0)中心对称,即y=f(x+1)为奇函数,D正确.故选BD.
10.(1,2] [解析] ∵奇函数f(x)的定义域是[-4,4],且f(x)在[0,4]上单调递减,∴函数f(x)在[-4,0]上单调递减,∴函数f(x)在[-4,4]上是减函数,又∵f(a+1)>f(2a),∴解得111.23 [解析] ∵函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,∴f(-1)=f(-3)=0,且f(1)=f(-5)=0,即[1-(-3)2][(-3)2+a·(-3)+b]=0,且[1-(-5)2][(-5)2+a·(-5)+b]=0,解得a=8,b=15,则a+b=23.
12.(-2,0)∪(2,+∞) [解析] 函数f(x)=x2+|x|-6的定义域为R,因为f(-x)=(-x)2+|-x|-6=x2+|x|-6=f(x),所以f(x)为偶函数.当x≥0时,f(x)=x2+x-6,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=0;当x<0时,f(x)=x2-x-6,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(-2)=0.画出函数f(x)的大致图象如图.由图可知,当x<-2时,f(x)>0;当-22时,f(x)>0.不等式x[f(x)+f(-x)]>0可化为xf(x)>0,可得不等式的解集为(-2,0)∪(2,+∞).
13.证明:函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),
因为f(x)===1+,
所以f(x)的图象是由反比例函数y=的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的,
又y=的图象关于点(0,0)对称,
所以函数f(x)=的图象关于点(-1,1)对称.
14.解:(1)因为函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,可得b=0,所以f(x)=.
由f=,可得f==a=,解得a=1,所以f(x)=.
(2)证明: x1,x2∈(-1,1),且x1则f(x1)-f(x2)=-=
=,
因为x1,x2∈(-1,1),且x10,
可得<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(3)将不等式f(x-1)+f(2x)<0转化为f(x-1)<-f(2x),又f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(x-1)即不等式f(x-1)+f(2x)<0的解集为.
15.A [解析] 因为y=f(2x-1)是奇函数,所以f(-2x-1)=-f(2x-1),则f(-x-1)=-f(x-1),故f(x-2)=-f(-x),又f(-x)=f(x-4),所以f(x-4)=-f(x-2),即f(x-2)=-f(x),所以f(x-4)=-f(x-2)=f(x),则f(x)的周期为4.当x∈[3,4]时,x-2∈[1,2],又f(x)=-f(x-2),所以f(3)+f(4)=-f(1)-f(2)=-3,即f(1)+f(2)=3,即4a-a=3,解得a=1,则当x∈[1,2]时,f(x)=x2-1.由f(x)=-f(x-2),f(x-2)=-f(-x),得f(x)=f(-x),所以f=f=f=-1=.故选A.
16.解:(1)证明:因为g(x)=,x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞),所以g(-4-x)===,所以g(x)+g(-4-x)=+=18,
即对任意的x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞),都有g(x)+g(-4-x)=18,
所以函数g(x)的图象关于点(-2,9)对称.
(2)g(x)===9-(x≠-2),
因为y=在[0,2]上单调递减,所以y=-在[0,2]上单调递增,所以g(x)在[0,2]上单调递增,
又g(0)=-1,g(2)==4,
所以g(x)在[0,2]上的取值范围为[-1,4].
记函数h(x)在[0,2]上的取值集合为A,
因为对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈[0,2],使得h(x1)=g(x2)成立,所以A [-1,4].
当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1=+m+1-, 所以h(1)=2,
由题知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称.
①当≤0,即m≤0时,函数h(x)在[0,1]上单调递增,由对称性知,h(x)在[1,2]上单调递增,所以函数h(x)在[0,2]上单调递增.
因为h(0)=m+1,且h(0)+h(2)=4,所以h(2)=4-h(0)=3-m,则A=[m+1,3-m],
由A [-1,4],得解得-1≤m≤0.
②当0<<1,即0由对称性知,h(x)在上单调递增﹐在上单调递减,
所以函数h(x)在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.因为h(0)=m+1,h(2)=3-m,h=-+m+1,h=4-h=-m+3,
所以A=[h(2),h(0)]或A=.
因为0h=4-h∈(2,3),
所以当0③当≥1,即m≥2时,函数h(x)在[0,1]上单调递减,
由对称性知,h(x)在[1,2]上单调递减,所以函数h(x)在[0,2]上单调递减.
因为h(0)=m+1,h(2)=3-m,所以A=[3-m,m+1],
由A [-1,4],得解得2≤m≤3.
综上可知,实数m的取值范围为[-1,3].5.4 函数的奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
一、选择题
1.函数y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是奇函数,则a等于 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.无法确定
2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的为 ( )
A.y= B.y=
C.y=x2 D.y=x
3.下列说法中错误的是 ( )
A.奇函数的图象关于坐标原点对称
B.图象关于y轴对称的函数是偶函数
C.奇函数一定满足f(0)=0
D.偶函数的图象不一定与y轴相交
4.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于 ( )
A.-26 B.-18
C.-10 D.10
5.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.已知函数f(x)=g(x)=x3,则f(x)·g(x) ( )
A.是奇函数,但不是偶函数
B.是偶函数,但不是奇函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
7.如图为奇函数y=f(x)的部分图象,则f(-2)+f(-1)的值为 ( )
A.-2 B.2
C.1 D.0
8.下列函数为奇函数的是 ( )
A.f(x)=x3
B.f(x)=x5
C.f(x)=x+
D.f(x)=
9.(多选题)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )
A.y=f(x)g(x)为奇函数
B.y=|f(x)|g(x)为偶函数
C.y=f(x)|g(x)|为偶函数
D.y=|f(x)g(x)|为偶函数
二、填空题
10.若函数y=(x-1)(x+a)为偶函数,则a= .
11.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)= .
12.设f(x)=ax2+bx+2是定义在[1+a,2]上的偶函数,则f(x)的值域是 .
三、解答题
13.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+x2,x∈(-1,0)∪(0,1];
(2)f(x)=.
14.已知函数f(x)=x+,且此函数的图象过点(1,5).
(1)求实数m的值;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)判断函数f(x)在[2,+∞)上的单调性,证明你的结论.
15.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是 ( )
①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
16.已知函数f(x)对一切x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)若f(-3)=a,试用a表示f(12).
5.4 函数的奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
1.C [解析] 由-1+a=0,得a=1.故选C.
2.A [解析] 易判断A,C为偶函数,B,D为奇函数,但函数y=x2在(0,+∞)上单调递增,所以选A.
3.C [解析] 根据奇偶函数的性质知A,B中说法正确;对于C,如f(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),易得函数f(x)是奇函数,它的图象不过原点,故C中说法错误;对于D,如g(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),易得函数g(x)是偶函数,它的图象不与y轴相交,故D中说法正确.故选C.
4.A [解析] 令g(x)=x5+ax3+bx,则g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数.又f(x)=g(x)-8,∴f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18,∴g(2)=-18,∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
5.B [解析] 由f(-x)=f(x),得(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),解得m=2.
6.B [解析] 由题知f(x)·g(x)= 若x>0,则-x<0,f(-x)=-(-x)3=x3=f(x);若x<0,则-x>0,f(-x)=(-x)3=-x3=f(x).故f(x)·g(x)是偶函数但不是奇函数,故选B.
7.A [解析] 由图知f(1)=,f(2)=,又f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2.故选A.
8.ABC [解析] 由奇函数的定义可知A,B,C是奇函数.故选ABC.
9.ABD [解析] ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴y=|f(x)|为偶函数,y=|g(x)|为偶函数,∴y=f(x)g(x)为奇函数,y=|f(x)|g(x)为偶函数,y=f(x)|g(x)|为奇函数,y=|f(x)g(x)|为偶函数.故选ABD.
10.1 [解析] ∵函数y=(x-1)(x+a)=x2+(a-1)x-a为偶函数,∴x2-(a-1)x-a=x2+(a-1)x-a恒成立,∴a-1=0,∴a=1.
11.-2 [解析] ∵f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,∴f(-1)=-f(1)=-=-2.
12.[-10,2] [解析] 因为f(x)是定义在[1+a,2]上的偶函数,所以1+a=-2,可得a=-3.易知b=0,所以f(x)=-3x2+2,当x∈[-2,2]时,f(x)∈[-10,2],即函数f(x)的值域为[-10,2].
13.解:(1)函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1],不关于原点对称,故此函数为非奇非偶函数.
(2)由1-x2≥0,得-1≤x≤1.又|x+2|-2≠0,
∴x≠0,∴-1≤x≤1且x≠0,x+2>0,∴f(x)==.
设函数f(x)的定义域为A,∵对于任意的x∈A,都有-x∈A,且f(-x)==-=-f(x),∴f(x)为奇函数.
14.解:(1)∵f(x)的图象过点(1,5),∴1+m=5,解得m=4.
(2)对于f(x)=x+,∵x≠0,
∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵f(-x)=-x+=-f(x),∴f(x)为奇函数.
(3)函数f(x)在[2,+∞)上单调递增.
证明如下:设x1,x2∈[2,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=.
∵x1,x2∈[2,+∞),且x14,
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x)在[2,+∞)上单调递增.
15.D [解析] ①f(|-x|)=f(|x|),故y=f(|x|)为偶函数;②f[-(-x)]=f(x)=-f(-x),故y=f(-x)为奇函数;③-xf(-x)=-x·[-f(x)]=xf(x),故y=xf(x)为偶函数;④f(-x)+(-x)=-[f(x)+x],故y=f(x)+x为奇函数.可知②④正确,故选D.
16.解:(1)证明:由已知f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),
令x=y=0得f(0)=2f(0),所以f(0)=0.所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.
(2)因为f(x)为奇函数.
所以f(-3)=-f(3)=a,所以f(3)=-a.
又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3),所以f(12)=-4a.