6.1　幂函数 练习（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第六章　幂函数、指数函数和对数函数
6.1　幂函数
一、选择题
1.下列函数是幂函数的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=xx B.y=3
C.y=+1 D.y=
2.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是 (　 )
A.nB.mC.n>m>0
D.m>n>0
3.下列幂函数中,定义域为R且为偶函数的个数为 (　 )
①y=x-2;②y=x;③y=x3;④y=x2.
A.1 B.2
C.3 D.4
4.设a=,b=3.,c=,则它们的大小关系是 (　 )
A.cC.b5.图中给出了四个幂函数的图象,它们所对应的函数分别是 (　 )
A.①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1
B.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1
C.①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1
D.①y=x3,②y=,③y=x2,④y=x-1
6.若幂函数y=(m2+3m+3)的图象不过原点,且关于原点对称,则 (　 )
A.m=-2
B.m=-1
C.m=-2或m=-1
D.-3≤m≤-1
7.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)A.[-1,3)
B.(-∞,5)
C.(3,5)
D.(3,+∞)
8.(多选题)下列说法正确的是 (　 )
A.若幂函数的图象经过点,则该幂函数的解析式为y=
B.所有幂函数的图象均过点(0,0)
C.幂函数一定具有奇偶性
D.任何幂函数的图象都不经过第四象限
9.(多选题)[2024·青岛高一期中] 下列关于幂函数f(x)=xa的说法中不正确的有 (　 )
A.当a=-1时,函数f(x)在其定义域上为减函数
B.当a=0时,函数f(x)不是幂函数
C.当a=2时,函数f(x)是偶函数
D.当a=3时,函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点
二、填空题
10.若α∈,则使幂函数y=xα为奇函数且在(0,+∞)上单调递增的α值的个数为　　　　.
11.若幂函数f(x)=(2m2-2m-3)在(0,+∞)上单调递减,则实数m=　　　　.
12.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如下表:
x 1
f(x) 1
则不等式f(|x|)≤2的解集是　　　　　　.
三、解答题
13.比较下列各组数的大小:
(1)3-1和3.1-1;(2)-8-3和-;
(3)和.
14.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.
15.[2024·湖北鄂东南省级示范高中高一期中] 设函数φ(x)的定义域为D,如果存在区间[a,b]∈D,使得φ(x)在[a,b]上的取值范围为[a,b]且单调,则称[a,b]为函数φ(x)的保值区间.已知幂函数f(x)=(p2+p-1)在(0,+∞)上单调递增.
(1)函数f(x)的解析式为f(x)=　　　　;
(2)若函数φ(x)=2f(x+1)-k存在保值区间,则实数k的取值范围是　　　　.
16.[2024·福建泉州实验中学高一期中] 已知幂函数f(x)=(m2-2m+2)(k∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(2x-1)(3)若正实数a,b满足2a+3b=7m,求+的最小值.
第六章　幂函数、指数函数和对数函数
6.1　幂函数
1.D　[解析] 由幂函数的定义知,幂函数满足三个条件:①系数为1;②底数为自变量;③指数为常数.故选D.
2.A　[解析] 由图象可知,两函数在第一象限内均单调递减,故m<0,n<0,易知m>n.故选A.
3.A　[解析] 易知②③中的函数是奇函数,①中函数是偶函数,但其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);④中函数符合条件.故选A.
4.D　[解析] 由y=在(0,+∞)上单调递增,2<3.9<4,可知c5.B　[解析] 因为y=x3的定义域为R且为奇函数,故其图象应为①;y=x2的图象为开口向上的抛物线且顶点为原点,应为②;y=的定义域为[0,+∞)且为增函数,其图象应为③;y=x-1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,其图象应为④.故选B.
6.A　[解析] 由幂函数的定义,得m2+3m+3=1,解得m=-1 或m=-2.若m=-1,则y=x-4,其图象不关于原点对称,所以不符合题意,舍去;若m=-2,则y=x-3,其图象不过原点,且关于原点对称.故选A.
7.A　[解析] ∵幂函数f(x)=在定义域[0,+∞)上为增函数,f(a+1)8.AD　[解析] 对于A,设幂函数的解析式为y=xα,因为该幂函数的图象经过点,所以2=,解得α=-,则该幂函数的解析式为y= ,故A正确;对于B,幂函数y=的图象不过点(0,0),故B错误;对于C,幂函数y=不具有奇偶性,故C错误;对于D,任何幂函数的图象都不经过第四象限,故D正确.故选AD.
9.AB　[解析] 对于A,当a=-1时,f(x)=x-1在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,但在整个定义域上不单调,故A中说法不正确;对于B,当a=0时,f(x)=x0也是幂函数,故B中说法不正确;对于C,当a=2时,f(x)=x2,其定义域为R,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),所以f(x)是偶函数,故C中说法正确;对于D,当a=3时,f(x)=x3单调递增,且f(0)=0,所以函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点,故D中说法正确.故选AB.
10.3　[解析] ∵幂函数y=xα是奇函数,∴α=-1,1,3,5.又∵幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增,∴α=1,3,5.
11.2　[解析] 因为f(x)=(2m2-2m-3)为幂函数,所以2m2-2m-3=1,所以m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x-1在(0,+∞)上单调递减;当m=-1时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,不符合题意.综上可知,m=2.
12.{x|-4≤x≤4}　[解析] 由表中数据知=,∴α=,∴f(x)=,由|x≤2,得|x|≤4,故-4≤x≤4.
13.解:(1)因为函数y=x-1在(0,+∞)上单调递减,0<3<3.1,所以3-1>3.1-1.
(2)-8-3=-.
因为函数y=x3在(0,+∞)上单调递增,>>0,所以>,
所以-<-,即-8-3<-.
(3)=,=.
因为函数y=x-2在(0,+∞)上单调递减,>>0,所以<,即<.
14.解:(1)由题意得m2-5m+7=1,解得m=2或m=3,
又f(x)是偶函数,故m=3,所以f(x)=x2.
(2)g(x)=f(x)-ax-3=x2-ax-3,g(x)的图象的对称轴是直线x=.
若g(x)在[1,3]上不是单调函数,
则1<<3,解得215.(1)　(2)[1,2)　[解析] (1)因为幂函数f(x)=(p2+p-1)在(0,+∞)上单调递增,所以解得p=1,所以函数f(x)的解析式为f(x)==.
(2)函数φ(x)=2-k在[-1,+∞)上是增函数,若存在保值区间[a,b](a≥-1),则即φ(x)=x,也就是方程2-k=x在[-1,+∞)上有两个不等的实根,令=t≥0,则x=t2-1,所以t2-2t-1+k=0在[0,+∞)上有两个不等的实根,令g(t)=t2-2t-1+k,则即解得1≤k<2,故实数k的取值范围是[1,2).
16.解:(1)由题意得m2-2m+2=1,且5k-2k2>0,k∈Z,解得m=1,k=1或2,又f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)为偶函数,∴k=2,即f(x)=x2.
(2)∵f(2x-1)(3)由题意得2a+3b=7,∴2(a+1)+3(b+1)=12,
∴+=1.
∴+=·=1+·+≥1+2=2,
当且仅当·=,即2a=3b+1,即a=2,b=1时等号成立,∴+的最小值是2.