6.3 对数函数
第1课时 对数函数的概念与图象
一、选择题
1.下列函数是对数函数的是 ( )
A.y=log2x2
B.y=log(π-e)x
C.y=logx2(x>0,且x≠1)
D.y=log2
2.函数f(x)=+log2(3-x)的定义域为 ( )
A.(0,3) B.(1,+∞)
C.(1,3) D.[1,3)
3.若函数f(x)=log2(x+a)的图象过点(-2,0),则a= ( )
A.3 B.1
C.-1 D.-3
4.函数y=log2x在[1,2]上的取值范围是 ( )
A.R B.(-∞,1]
C.[0,1] D.[0,+∞)
5.不等式lo(2x+3)
A.(-∞,3) B.
C. D.
6.函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)与函数g(x)=(a-1)x2-ax在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
A B C D
7.[2024·江苏苏州高一期中] 若函数f(x)=lg(ax2-2x+a)的定义域为R,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-1,0) B.[-1,1]
C.(0,1) D.(1,+∞)
8.(多选题)下列不等式成立的是 ( )
A.log0.20.3B.20.3>log32
C.log3e>ln 3
D.log25>log35
9.(多选题)设a与b为实数,a>0,且a≠1,已知函数f(x)=loga(x+b)的图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.a=
B.b=3
C.函数f(x)的定义域为(0,+∞)
D.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增
二、填空题
10.函数f(x)=log2(x2+3x-4)的定义域是 .
11.已知f(x)为对数函数,f=-2,则f(x)= ,f= .
12.已知f(x)=ln x+2x,若f(4-x2)>f(3x),则实数x的取值范围为 .
三、解答题
13.求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=ln(x+1)+.
14.(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象如何变化得到的
(2)如图,在直角坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象(不要求写作法);
(3)设函数y=与函数y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,设M=(x1-2)(x2-2),请判断M的符号.
15.已知a=,b=,c=,则 ( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>a>b
16.已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在区间上的最大值为2.
(1)求a的值;
(2)如果00成立的x的取值范围.
6.3 对数函数
第1课时 对数函数的概念与图象
1.B [解析] 对于A,真数为x2,而不是x,故A不是对数函数;对于B,底数π-e为常数,且0<π-e<1,真数为x,且系数为1,故B是对数函数;对于C,真数为常数,而不是x,故C不是对数函数;对于D,真数为,而不是x,故D不是对数函数.故选B.
2.D [解析] 因为f(x)=+log2(3-x),所以解得1≤x<3,所以函数的定义域是[1,3),故选D.
3.A [解析] 由已知得f(-2)=log2(-2+a)=0,所以-2+a=1,解得a=3,故选A.
4.C [解析] 因为函数y=log2x是(0,+∞)上的增函数,所以y=log2x在[1,2]上的取值范围是[log21,log22]=[0,1].故选C.
5.D [解析] 由题意可得解得6.B [解析] 函数g(x)=(a-1)x2-ax的图象过原点,排除A,C;当07.D [解析] 由函数f(x)=lg(ax2-2x+a)的定义域为R,得对任意x∈R,ax2-2x+a>0恒成立,令h(x)=ax2-2x+a.当a=0时,ax2-2x+a>0即为-2x>0,不恒成立,故a≠0,若h(x)=ax2-2x+a>0恒成立,则需解得a>1.综上,实数a的取值范围为(1,+∞).故选D.
8.BD [解析] 对于A,函数y=log0.2x是(0,+∞)上的减函数,所以log0.20.3>log0.20.4,故A不成立;对于B,20.3>20=1=log33>log32,故B成立;对于C,log3elog24=2=log39>log35,故D成立.故选BD.
9.ABD [解析] 由题意可知即解得故A,B正确;f(x)=lo(x+3),由x+3>0,得x>-3,即函数f(x)的定义域为(-3,+∞),故C错误;∵a>1,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,故D正确.故选ABD.
10.(-∞,-4)∪(1,+∞) [解析] 依题意x2+3x-4>0可因式分解为(x+4)(x-1)>0,则或解得x>1或x<-4,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-4)∪(1,+∞).
11.lox -4 [解析] 设f(x)=logax(a>0,且a≠1),则f=loga=-2,得a=,所以f(x)=lox,所以f=lo=-4.
12.(0,1) [解析] ∵f(x)=ln x+2x在定义域(0,+∞)上是增函数,∴由f(4-x2)>f(3x),可得4-x2>3x>0,即即解得013.解:(1)要使函数有意义,
需满足即∴x>-1且x≠1,∴该函数的定义域为{x|x>-1且x≠1}.
(2)要使函数有意义,需满足∴-1∴该函数的定义域为{x|-114.解:(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象向右平移1个单位得到的.
(2)在直角坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象,如图所示.
(3)不妨设x1∴M=(x1-2)(x2-2)<0,故M的符号为负.
15.C [解析] c=,易得log23.4>1,log43.6<1,log3>1.又log23.4>log2>log3,所以log23.4>log3>log43.6,即a>c>b.
16.解:(1)函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在区间上的最大值为2,
当a>1时,函数f(x)在区间上单调递增,最大值为loga3=2,故a=.
当0综上可得,a=或.
(2)∵00即为lo[f(x)-2]>0,
∴0一、选择题
1.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为 ( )
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
2.已知函数f(x)=lo(-x2+2x+3),则f(x)的减区间是 ( )
A.(-∞,1) B.(-3,-1)
C.(-1,1) D.(1,+∞)
3.函数y=lg的图象 ( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
4.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到 ( )
A.300只 B.400只
C.600只 D.700只
5.已知对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象过点(9,2),f(x)的反函数为g(x),则g(x)的解析式是 ( )
A.g(x)=4x B.g(x)=2x
C.g(x)=9x D.g(x)=3x
6.若函数g(x)=log3(ax2+2x-1)有最大值1,则实数a的值等于 ( )
A. B. C.- D.4
7.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上单调递减,且有f(2)=0,则使得(x-1)·f(log3x)<0的x的取值范围为 ( )
A.(1,2) B.∪(9,+∞)
C.∪(1,9) D.
8.(多选题)给定函数:①y=;②y=lo(x+1);③y=|x-1|;④y=2x+1.其中在区间(0,1)上单调递减的是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
9.(多选题)已知函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则下列说法中错误的是 ( )
A.f(x)是偶函数,且在上单调递增
B.f(x)是奇函数,且在上单调递减
C.f(x)是偶函数,且在上单调递增
D.f(x)是奇函数,且在上单调递减
二、填空题
10.若函数y=f(x)的反函数为f-1(x),且f-1(x)=3x+1,则f(1)的值为 .
11.已知函数f(x)=log3为奇函数,则实数a的值为 .
12.已知函数f(x)=lg(-x2+2ax)在区间(1,2)上单调递减,则实数a的取值集合是 .
三、解答题
13.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=logax(a>1),且f(x)在上的最大值为1.
(1)求a的值;
(2)令F(x)=f+f,求函数F(x)的值域.
14.近年来,我国在航天领域取得了巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v0ln计算火箭的最大速度v(单位:m/s).其中v0(单位m/s)是喷流相对速度,m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为“总质比”.已知A型火箭的喷流相对速度为2000 m/s.(参考数据:ln 230≈5.4,1.648(1)当总质比为230时,求A型火箭的最大速度;
(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍,总质比变为原来的,若要使A型火箭的最大速度至少增加500 m/s,记在材料更新和技术改进前的总质比为T,求不小于T的最小整数.
15.[2024·福建泉州高一期末] 若函数f(x)=存在最大值,则实数a的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
16.已知函数g(x)= log2(1-x)+log2(1+x).
(1)求g(x)的定义域.
(2)判断函数g(x)的奇偶性并证明.
(3)是否存在正整数m,使得不等式g(x)≥m-1成立 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
第2课时 对数函数的性质及应用
1.A [解析] ∵3x>0,∴3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,∴函数f(x)的值域为(0,+∞).故选A.
2.C [解析] 令t=-x2+2x+3(t>0),则y=lot是(0,+∞)上的减函数,而t=-x2+2x+3(t>0)的增区间是(-1,1),根据复合函数的同增异减原则知,f(x)=lo(-x2+2x+3)的减区间是(-1,1),故选C.
3.C [解析] y=lg=lg,由>0,得或解得-14.A [解析] 将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100,所以x=7时,y=100log2(7+1)=300.
5.D [解析] 由题意得loga9=2,即a2=9,又∵a>0,∴a=3,∴f(x)=log3x,∴f(x)的反函数为g(x)=3x.
6.C [解析] 令h(x)=ax2+2x-1,因为函数g(x)=log3h(x)是增函数,所以要使函数g(x)=log3(ax2+2x-1)有最大值1,应使h(x)=ax2+2x-1有最大值3,所以解得a=-.
7.C [解析] ∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上单调递减,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(-2)=f(2)=0,不等式(x-1)·f(log3x)<0等价于或∴08.BC [解析] ①y=(x≥0)为幂函数,且x的指数α=>0,所以在[0,+∞)上单调递增,故①不可选;②y=lo(x+1)(x>-1)为对数型函数,且底数a=∈(0,1),所以在(-1,+∞)上单调递减,故②可选;③y=|x-1|在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故③可选;④y=2x+1为指数型函数,底数a=2>1,所以在(-∞,+∞)上为增函数,故④不可选.综上所述,可选的序号为②③,故选BC.
9.ABC [解析] 由题得解得x≠±,即函数f(x)的定义域为.f(x)=故f(x)在,上单调递减,在上单调递增,又f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以f(x)是奇函数.综上,A,B,C中说法错误,D中说法正确.故选ABC.
10.-1 [解析] 方法一:因为函数y=f(x)的反函数为f-1(x),且f-1(x)=3x+1,令y=3x+1,则x=3y+1,所以y=-1+log3x,即函数f(x)=-1+log3x(x>0),所以f(1)=-1+log31=-1.
方法二:设f(1)=t,则点(t,1)在函数f-1(x)=3x+1的图象上,所以3t+1=1,所以t=-1.
11.1 [解析] 由函数f(x)为奇函数,得f(x)=-f(-x),所以log3=-log3,所以=,所以a2=1,又易知a≠-1,所以a=1.
12.{1} [解析] 设t=-x2+2ax,由题意可得函数t=-x2+2ax图象的对称轴为直线x=a,依题意得解得a=1,即答案为{1}.
13.解:(1)∵a>1,∴函数f(x)=logax在上单调递增.
∵f(x)在上的最大值为1,
∴f(3)=loga3=1,解得a=3.
(2)∵a=3,∴F(x)=log3+log3=log3=log3.
由解得-令t=-x2,则t∈,∴F(x)≤log3=-2,
∴F(x)的值域为(-∞,-2].
14.解:(1)当总质比为230时,v=2000ln 230≈2000×5.4=10 800,即A型火箭的最大速度为10 800 m/s.
(2)A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍,总质比变为原来的,所以A型火箭的喷流相对速度变为2000×1.5=3000(m/s),总质比变为,
由题意,得3000ln-2000ln T≥500,
即ln≥0.5,所以≥e0.5,可得T≥27e0.5,
因为1.648所以不小于T的最小整数为45.
15.B [解析] 当x≥1时,f(x)=1-31-x在[1,+∞)上单调递增,此时f(x)∈[0,1),无最大值;当x<1时,因为y=x2+2a在(-∞,0]上单调递减,在[0,1)上单调递增,所以f(x)=lo(x2+2a)在(-∞,0]上单调递增,在[0,1)上单调递减,所以当x<1时,f(x)的最大值为f(0)=lo(2a).由题意可得lo(2a)≥1,所以0<2a≤,解得016.解:(1)要使函数g(x)=log2(1-x)+log2(1+x)有意义,则需解得-1故g(x)的定义域为(-1,1).
(2)g(x)为偶函数.
证明:∵g(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,
且g(-x)=log2(1+x)+log2(1-x)=g(x),
∴g(x)为偶函数.
(3)若存在正整数m,使得不等式g(x)≥m-1成立,
则g(x)max≥m-1.
g(x)=log2(1-x)+log2(1+x)=log2(1-x2),
∵y=1-x2在(-1,0]上单调递增,在(0,1)上单调递减,
∴ymax=1-0=1,∴g(x)max=log21=0,
∴m-1≤0,则m≤1,
故存在正整数m=1,使得不等式g(x)≥m-1成立.