7.2.2　同角三角函数关系 练习 （含解析）-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

7.2.2　同角三角函数关系
一、选择题
1.若sin α=,0<α<,则cos α= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B.-
C. D.
2.化简的结果是 (　 )
A.cos 160° B.-cos 160°
C.±cos 160° D.±
3.化简(1-cos α)的结果是 (　 )
A.sin α B.cos α
C.1+sin α D.1+cos α
4.已知sin α-cos α=-,则sin α·cos α等于 (　 )
A. B.-
C.- D.
5.已知=,则等于 (　 )
A. B.-
C.2 D.-2
6.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,则sin θcos θ的值为 (　 )
A. B.-
C. D.-
7.若<α<π,则化简-的结果是 (　 )
A.-2tan α B.2tan α
C. D.-
8.(多选题)下列等式中恒成立的是 (　 )
A.sin21=1-cos21
B.sin2α+cos2α=sin23+cos23
C.(sin 2x+cos 2x)2=1+2sin 2xcos 2x
D.sin α=tan αcos α
9.(多选题)若角α为钝角,且sin α+cos α=-,则下列选项中正确的是 (　 )
A.sin α=
B.cos α=-
C.tan α=-
D.sin αcos α=-
二、填空题
10.已知cos=,0<α<,则sin=　　　　.
11.若tan θ=3,则2sin2θ-sin θcos θ-cos2θ=　　　　　.
12.已知α是△ABC的内角,且sin α+cos α=,则sin α-cos α的值为　　　　.
三、解答题
13.(1)已知α∈,且sin αcos α=,求sin α+cos α的值.
(2)若sin α+3cos α=0,求sin2α+2sin αcos α的值.
14.求证:=.
15.若sin θ,cos θ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个根,则实数m的值是 (　 )
A.1+ B.1-
C.1± D.-1-
16.(1)分别计算cos4-sin4,cos2-sin2,cos的值,你有什么发现
(2)分别计算cos4-sin4,cos2-sin2,cos的值,你有什么发现
(3)证明: x∈R,cos4x-sin4x=cos2x-sin2x.
(4)推测 x∈R,cos2x-sin2x与cos 2x的关系,不需证明.
7.2.2　同角三角函数关系
1.D　[解析] ∵sin α=,0<α<,∴cos α===.故选D.
2.B　[解析] = =|cos 160°|=-cos 160°.故选B.
3.A　[解析] (1-cos α)=(1-cos α)===sin α.
4.C　[解析] 由sin α-cos α=-,两边同时平方得1-2sin αcos α=,所以sin αcos α=-.故选C.
5.B　[解析] 由1-sin2x=cos2x,可得=-=-.
6.A　[解析] 由sin4θ+cos4θ=,得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,所以sin2θcos2θ=.因为θ是第三象限角,所以sin θ<0,cos θ<0,所以sin θcos θ=.故选A.
7.A　[解析] ∵<α<π,∴cos α<0,则-=-
=-=-=-+=-=-2tan α,故选A.
8.ABC　[解析] 由同角三角函数的基本关系的平方关系知,A,B,C显然恒成立;对于D,当α=kπ+,k∈Z时,tan α无意义,等式不成立.故选ABC.
9.BD　[解析] 由题意得(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,解得sin αcos α=-,故D正确;(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+=,∵α是钝角,∴sin α-cos α>0 ,则sin α-cos α=,由解得
∴tan α==-,故A,C错误,B正确.故选BD.
10.　[解析] ∵sin2+cos2=1,∴sin2=1-=.∵0<α<,∴<α+<,∴sin=.
11.　[解析] ∵tan θ=3,∴2sin2θ-sin θcos θ-cos2θ===.
12.　[解析] sin α+cos α=的两边同时平方,可得1+2sin αcos α=,则2sin αcos α=-<0.因为α是△ABC的内角,所以sin α>0,所以cos α<0,所以sin α-cos α====.
13.解:(1)因为α∈,所以sin α+cos α>0,所以sin α+cos α====.
(2)因为sin α+3cos α=0,所以tan α=-3,sin2α+2sin αcos α===.
14.证明:∵左边======右边,∴原等式成立.
15.B　[解析] sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,∴∴(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=-2×=1,解得m=1±.又方程4x2+2mx+m=0有实根,则Δ=(2m)2-16m≥0,解得m≤0或m≥4.综上,m的值为1-.故选B.
16.解:(1)因为cos4-sin4==cos2-sin2=-=,cos2-sin2=-=,cos=,
所以cos4-sin4,cos2-sin2,cos的值相等.
(2)因为cos4-sin4==cos2-sin2=-=0,cos2-sin2=-=0,cos=0,
所以cos4-sin4,cos2-sin2,cos的值相等.
(3)证明: x∈R,cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x-sin2x.
(4)推测 x∈R,cos2x-sin2x=cos 2x.