7.2.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式(一)
一、选择题
1.cos(-120°)= ( )
A. B.
C.- D.-
2.[2024·山东日照高一期中] 已知角α的终边经过点P(1,-2),则sin(α+π)= ( )
A.-2 B.-
C.- D.
3.已知n为整数,化简所得的结果是 ( )
A.tan nα B.-tan nα
C.tan α D.-tan α
4.sin2150°+sin2135°+2sin 210°+cos2225°的值是 ( )
A. B. C. D.
5.已知cos 31°=a,则cos 211°tan 149°的值为 ( )
A. B.
C. D.-
6.已知sin=,则sin的值为 ( )
A. B.- C. D.-
7.[2024·河南驻马店高二期中] 已知a=tan ,b=sin,c=cos,则 ( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>c>a D.c>a>b
8.(多选题)下列化简结果正确的是 ( )
A.tan(π+1)=tan 1
B.=cos α
C.=tan α
D.=-1
9.(多选题)已知角A,B,C是锐角三角形ABC的三个内角,则下列结论正确的是 ( )
A.sin(B+C)=sin A
B.tan(A+B)=tan C
C.sin B
D.cos(A+B)二、填空题
10.sincostan= .
11.= .
12.设tan 2024°=a,则sin(-316°)+cos(-316°)的值为 (用a表示).
三、解答题
13.求下列各式的值.
(1)sin+tan+cos;
(2).
14.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α=-,求f(α)的值.
15.[2024·上海普陀区高一期末] 对于给定的正整数n,定义集合An=.若An中恰有4个元素,则n的可能取值有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
16.(1)已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,求的值;
(2)已知sin(4π+α)=sin β,cos(6π+α)=cos(2π+β),且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.
7.2.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式(一)
1.D [解析] cos(-120°)=cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=-,故选D.
2.D [解析] sin(α+π)=-sin α=-=.故选D.
3.C [解析] =tan(nπ+α)=tan α.
4.A [解析] 因为sin 150°=sin(180°-30°)=sin 30°=,sin 135°=sin(180°-45°)=sin 45°=,sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-,cos 225°=cos(180°+45°)=-cos 45°=-,所以原式=++2×+=+-1+=.
5.B [解析] cos 211°tan 149°=cos(180°+31°)tan(180°-31°)=-cos 31°·(-tan 31°)=sin 31°==.故选B.
6.C [解析] sin=sin=-sin=sin=.
7.B [解析] 因为a=tan =tan=tan =,b=sin=sin=sin=,c=cos=cos=cos=cos=,所以a>b>c.故选B.
8.ABD [解析] 对于A,tan(π+1)=tan 1,故A正确;对于B,==cos α,故B正确;对于C,==-tan α,故C错误;对于D,==-=-1,故D正确.故选ABD.
9.AD [解析] 对于A,sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,故A正确;对于B,tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,故B错误;对于C,当A=,B=,C=时,显然sin B=>=cos A,故C错误;对于D,cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,由C为锐角,可得cos C>0,所以cos(A+B)=-cos C10.- [解析] sincostan=sincostan=-sin··=-××=-.
11.1 [解析] =
=1.
12. [解析] 由已知得tan 44°=a,∴cos 44°=,sin 44°=,∴sin(-316°)+cos(-316°)=sin 44°+cos 44°==.
13.解:(1)sin+tan+cos=sin+tan-cos=-1-=-1.
(2)原式==
=
==
==.
14.解:(1)f(α)==sin αcos α.
(2)∵α=-=-10π-,
∴sin α=sin=-sin=-,cos α=cos=cos=,
则f(α)=sin αcos α=-.
15.B [解析] 当k∈N,0≤k≤n时,sin的取值为0,sin,sin,…,sin,sin π,根据诱导公式可知0=sin π,sin=sin,sin=sin,….若An中恰有4个元素,则n的可能取值为6,7.故选B.
16.解:(1)因为方程5x2-7x-6=0的两根为2和-,所以sin α=-.由sin2α+cos2α=1,得cos α=±=±.
当cos α=时,tan α=-;当cos α=-时,tan α=.所以原式==tan α=±.
(2)因为sin(4π+α)=sin β,所以sin α=sin β①,因为cos(6π+α)=cos(2π+β),所以cos α=cos β②.
①2+②2,得sin2α+3cos2α=2(sin2β+cos2β)=2,所以cos2α=,即cos α=±.又0<α<π,所以α=或α=.又0<β<π,当α=时,由②得β=;当α=时,由②得β=.所以α=,β=或α=,β=.第2课时 诱导公式(二)
一、选择题
1.已知sin 40°=a,则cos 130°= ( )
A.a B.-a
C. D.-
2.若tan α=,且α为第三象限角,则cos= ( )
A. B.
C.- D.-
3.若sin=,则cos= ( )
A.- B.-
C. D.
4.已知sin 10°=k,则cos 620°的值为 ( )
A.k B.-k
C.±k D.不确定
5.若sin(3π+α)=-,则cos等于 ( )
A.- B.
C. D.-
6.若α为锐角,且2tan(π-α)-3cos=-5,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sin α= ( )
A. B.
C. D.
7.= ( )
A.-sin θ B.sin θ
C.cos θ D.-cos θ
8.(多选题) 已知x∈R,则下列等式中恒成立的是 ( )
A.sin(-x)=-sin x
B.cos=sin x
C.sin=cos x
D.cos(π-x)=cos x
9.(多选题)已知sin(π+α)=-,则下列计算正确的是 ( )
A.sin(5π-α)=
B.sin=
C.cos=-
D.tan=
二、填空题
10.sin 95°+cos 175°的值为 .
11.若sin=,则cos2θ-sin2θ= .
12.已知cos=2 sin,则= .
三、解答题
13.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若角α的终边在第二象限且sin α=,求f(α).
14.已知A,B,C为△ABC的内角.
(1)求证:cos2+cos2=1;
(2)若cossintan(C-π)<0,求证:△ABC为钝角三角形.
15.[2024·苏州高一期末] 若△ABC的内角A,B,C满足sin A=cos B=tan C, 则A与B的关系为 ( )
A.A-B= B.A+B=
C.B-A= D.A+B=
16.是否存在角α,β,α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos,cos(-α)=-cos(π+β)同时成立 若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.
第2课时 诱导公式(二)
1.B [解析] cos 130°=cos(90°+40°)=-sin 40°=-a.
2.A [解析] 由题意,知tan α=,且α为第三象限角,根据同角三角函数的基本关系式,得sin α=-,所以cos=-sin α=,故选A.
3.C [解析] cos=cos=sin=.
4.B [解析] cos 620°=cos(360°+260°)=cos 260°=cos(270°-10°)=-sin 10°=-k.
5.A [解析] 因为sin(3π+α)=-sin α=-,所以sin α=,所以cos=cos=-cos=-sin α=-.
6.C [解析] 由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得tan α=3,又α为锐角,∴sin α=,故选C.
7.A [解析] 原式==
=-sin θ.
8.ABC [解析] sin(-x)=-sin x,故A中等式恒成立;cos=-cos=sin x,故B中等式恒成立;sin=sin=cos x,故C中等式恒成立;cos(π-x)=-cos x,故D中等式不恒成立.故选ABC.
9.AC [解析] 由sin(π+α)=-sin α=-,得sin α=,所以cos α=±=±.sin(5π-α)=sin α=,A选项正确;sin=cos α=±,B选项错误;cos=-sin α=-,C选项正确;tan===±,D选项错误.故选AC.
10.0 [解析] sin 95°+cos 175°=sin(90°+5°)+cos(180°-5°)=cos 5°-cos 5°=0.
11.- [解析] sin=cos θ=,从而sin2θ=1-cos2θ=,所以cos2θ-sin2θ=-.
12. [解析] 因为cos=2sin,所以sin α=2cos α,所以原式===.
13.解:(1)f(α)===-cos α.
(2)由题意知cos α=-=-,
∴f(α)=-cos α=.
14.证明:(1)因为A+B=π-C,所以=-,
所以cos=cos=sin,所以cos2+cos2=1.
(2)因为cossintan(C-π)<0,
所以(-sin A)(-cos B)tan C<0,即sin Acos Btan C<0.
又因为00,
所以或所以B为钝角或C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.
15.A [解析] 因为sin A=cos B,且 A,B,C为△ABC的内角,所以sin A=cos B>0,所以016.解:由条件得①2+②2,得sin2α+3cos2α=2,所以cos2α=,
又α∈,所以α=或α=-,将α=代入②,得cos β=.又β∈(0,π),所以β=,代入①可知符合条件.将α=-代入②得cos β=,
又β∈(0,π),所以β=,代入①可知不符合条件.综上可知,存在α=,β=满足条件.