6.2 第2课时　反比例函数的性质 课件(共37张PPT) 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

(共37张PPT)
6.2 反比例函数的图象与性质
第六章 反比例函数
第2课时　反比例函数的性质
复习导入
反比例函数 的图象大致是图中的( )．
D
反比例函数的图象是什么？
反比例函数的性质是什么？能类比前面学习的一次函数得到吗？
反比例函数的图象是双曲线
问题1
问题2
反比例函数的图象和性质
1
合作探究
例1 画反比例函数 的图象.
-2
x
y
O
2
4
6
2
4
6
-4
-6
-2
-4
-6
-2
x
y
O
2
4
6
2
4
6
-4
-6
-2
-4
-6
-2
x
y
O
2
4
6
2
4
6
-4
-6
-2
-4
-6
观察函数图象，回答下列问题：
思考：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
-2
x
y
O
2
4
6
2
4
6
-4
-6
-2
-4
-6
-2
x
y
O
2
4
6
2
4
6
-4
-6
-2
-4
-6
-2
x
y
O
2
4
6
2
4
6
-4
-6
-2
-4
-6
函数的图象都位于一、三象限.
(2) 在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？
你能由它们的表达式说明原因吗？
-2
x
y
O
2
4
6
2
4
6
-4
-6
-2
-4
-6
-2
x
y
O
2
4
6
2
4
6
-4
-6
-2
-4
-6
-2
x
y
O
2
4
6
2
4
6
-4
-6
-2
-4
-6
随着 x 值的增大，y 越来越小.
考察当 k =－2，－4，－6 时，反比例函数 的图象，它们有哪些共同特征？
议一议
-2
x
y
O
2
4
6
2
4
6
-4
-6
-2
-4
-6
-2
x
y
O
2
4
6
2
4
6
-4
-6
-2
-4
-6
-2
x
y
O
2
4
6
2
4
6
-4
-6
-2
-4
-6
归 纳
反比例函数 的图象
当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。
1. 由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
-2
x
y
O
2
4
6
2
4
6
-4
-6
-2
-4
-6
-2
x
y
O
2
4
6
2
4
6
-4
-6
-2
-4
-6
-2
x
y
O
2
4
6
2
4
6
-4
-6
-2
-4
-6
2. 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
(1) 当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
一般地，反比例函数 (k ≠ 0) 的图象是双曲线，它具有以下性质：
k 的正负决定反比例函数图象的位置和增减性
归纳总结
1. 点 (2，y1) 和 (3，y2) 均在函数 的图象上，则 y1 y2 (填“＞”“＜”或“=”).
＜
练一练
例2 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求 a 的值.
解：由题意得 a2 + a－7 = －1，且 a－1<0．
反比例函数的图象和性质的初步运用
2
解得 a =－3.
2. 已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0．
解得 m = 3.
练一练
1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向
x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，并填写下页表格：
反比例函数表达式中 k 的几何意义
3
合作探究
5
1
2
3
4
-1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2，2)，Q (4，1)
S1 的值
S2 的值
S1 与 S2的关系
猜想 S1，S2 与 k 的关系
4
4
S1 = S2
S1 = S2 = k
-5
-4
-3
-2
1
4
3
2
-3
-2
-4
-5
-1
Q
S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系
P (－1，4)， Q (－2，2)
2. 若在反比例函数 的图象
上也用同样的方法取 P，Q 两
点，并分别向两坐标轴引垂线，
围成面积为 S1，S2 的矩形，填写表格：
4
4
S1 = S2
S1 = S2 = -k
y
x
O
P
Q
S1
S2
由前面的探究过程，可以猜想：
若点 P 是反比例函数 (k ≠ 0) 图象上的任意一点，作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，点 O 为坐标原点，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP = |k|.
Q
P
S1
S2
想一想
设P点坐标为（x1，y1）， Q点坐标（x2，y2），
则S1=|x1| |y1|
=|k|
S2=|x2| |y2|
=|k|
S1=S2=|k|
自己尝试证明
k > 0的情况.
y
x
O
P
S
我们就 k＜0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b).
A
B
∵ 点 P (a，b) 在函数 的图
象上，
∴ ，即 ab = k.
∴ S矩形 AOBP = PB·PA = -a·b = -ab = -k.
若点 P 在第二象限，则 a＜0，b＞0.
若点 P 在第四象限，则 a＞0，b＜0.
∴ S矩形 AOBP = PB·PA = a·(-b) = -ab = -k.
B
P
A
综上可知，
S矩形 AOBP = |k|.
k＞0 的情况请同学们自行证明！
归 纳
反比例函数 （k≠0）中比例系数k的几何意义：
过双曲线y= （k≠0）上任意一点作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.
Q
P
S1
S2
点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA ⊥y 轴于点 A，作 QB ⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = .
推论：△QAO 与△QBO 的面积和 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = .
对于反比例函数 (k ≠ 0)，
A
B
|k|
y
x
O
归纳：
反比例函数的面积不变性
Q
A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 SA，SB，SC，则 ( )
A. SA＞SB＞SC B. SA＜SB＜SC
C. SA = SB = SC D. SA＜SC＜SB
3. 如图，在函数 (x＞0) 的图象上有三点
y
x
O
A
B
C
C
练一练
4. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作
PA⊥x 轴于 A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .
-12
提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k＜0.
y
x
O
P
A
例3 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___.
y
D
B
A
C
x
3
2
5
5.如图所示，在平面直角坐标系中，过点 M 的直线与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数 (x＞0) 和 (x＜0)的图象交于点P，Q，若△POQ 的面积为 8，则k =______.
Q
P
O
x
M
y
－10
练一练
反比例函数
的性质
性质
反比例函数图象中比例系数k的几何意义
当k＞0时，在每一象限内，
y 的值随 x 的增大而减小.
当k<0时，在每一象限内，
y 的值随 x 的增大而增大.
1. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，
则 m 的取值范围是________.
2. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (-1，12) 和点 (10，-1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于第二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1) (3)
m ＞ 2
A. 4 B. 2
C. －2 D.不确定
3. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点，
过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上，
△ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( )
O
B
A
P
x
y
A
4. 已知反比例函数 y = mxm －5，它的两个分支分别在
第一、第三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm －5 的两个分支分别在第
一、第三象限，
所以有
m2－5 = －1，
m＞0，
解得 m = 2.
课堂小结
当k>0时，图象位于一、三象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
反比例函数 的图象
课堂小结
当k<0时，图象位于二、四象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。
反比例函数 的图象
Q
P
S1
S2
反比例函数 （k≠0）中比例系数k的几何意义：
过双曲线y= （k≠0）上任意一点作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.
课后作业
随堂练习＋习题6.3
1、2、3、4、5
随堂练习
1.（1）若点A（－6，y1），B（－4，y2）在反比例函数 上，试比较y1与y2的大小. 你是怎么做的？
k<0，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。
所以y1＜y2.
（2）已知点（4，y3），（6，y4）在反比例函数 的图象上，试比较y3和y4的大小.
（3）已知点（－4，y5），（6，y6）在反比例函数 的图象上，试比较y5和y6的大小.
y3＜y4
y6＜y5
＞0
＜0
2. 下列函数中，其图象位于一、三象限的有_____________；在其图象所在象限内，y的值随x的增大而增大的有______.
（1） （2） （3） （4）
k＞0
（1）
（2）
（3）
k＜0
（4）
3. 如图，P（x，y）是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个动点，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（ ）
O
P
B
A
x
y
A．不变 B.增大
C. 减小 D.无法确定
B