第2课时 正弦、余弦函数的性质
一、选择题
1.y=sin是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.奇函数也是偶函数
2.使得函数y=sin x单调递减,且函数值为负数的区间为 ( )
A. B.
C. D.
3.下列函数中,最小正周期为π且在上单调递减的是 ( )
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin D.y=cos
4.函数y=2sin2x+2cos x-3的最大值是 ( )
A.-1 B.1
C.- D.-5
5.下列关系式中正确的是 ( )
A.sin 11°
B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°6.已知函数f(x)=的定义域为R,则 ( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C.f(x)既是奇函数又是偶函数
D.f(x)既不是奇函数又不是偶函数
7.函数y=2sin-cos(x∈R)的最小值等于 ( )
A.-3 B.-2
C.-1 D.-
8.(多选题)已知函数f(x)=sin 2x,下列说法正确的是 ( )
A.f(x)为偶函数
B.f>f
C.f(x)的最大值为1
D.f(x)的最小正周期为π
9.(多选题)已知函数f(x)=cos(ω>0)在上单调递减,则ω的取值可能为 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题
10.函数y=的奇偶性为 .
11.比较cos与cos的大小: .
12.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是,则ω= .
三、解答题
13.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=cos 2x;
(2)f(x)=sin+2;
(3)f(x)=x·cos x.
14.[2024·山东济宁高一期中] 已知函数f(x)=cos,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和减区间;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值,并求出取得最值时x的值.
15.下列函数中,以为最小正周期且在区间上单调递增的是 ( )
A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
16.已知函数f(x)=-cos2x+2acos x+a2+2(x∈R).
(1)若函数f(x)的最大值是最小值的4倍,求实数a的值;
(2)若方程f(x)=0存在实数根,求该方程的实数根.
第2课时 正弦、余弦函数的性质
1.B [解析] 因为sin=cos x,y=cos x为偶函数,所以y=sin为偶函数.故选B.
2.C [解析] 由y=sin x的图象与性质可知,当x∈时,函数y=sin x单调递减,且函数值为负数.故选C.
3.A [解析] 由最小正周期为π,排除C,D.A中,y=sin=cos 2x在上单调递减,符合题意.B中,y=cos=-sin 2x在上单调递增,不符合题意.故选A.
4.C [解析] y=2sin2x+2cos x-3=2(1-cos2x)+2cos x-3=-2-,∵-1≤cos x≤1,∴当cos x=时,函数有最大值,最大值为-.故选C.
5.C [解析] ∵sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°.由正弦函数的单调性得sin 11°6.B [解析] ∵函数f(x)=的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)====f(x),∴f(x)=为偶函数.故选B.
7.C [解析] ∵+=,∴y=2sin-cos=2cos-cos=cos,∴ymin=-1.
8.BCD [解析] 因为f(x)=sin 2x,所以f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,故A不正确;因为f=sin=1,f=sin=-,所以f>f,故B正确;f(x)=sin 2x的最大值为1,故C正确;f(x)的最小正周期为=π,故D正确.故选BCD.
9.ABC [解析] ∵函数f(x)=cos(ω>0)在上单调递减,∴ω·+≥2kπ,且ω·+≤2kπ+π,k∈Z,即ω≤-4k且ω≤4k+,k∈Z.又ω>0,由-4k>0,得k<,由4k+>0,得k>-,故k=0,可得ω≤.故选ABC.
10.非奇非偶 [解析] 由题意,得函数y=的定义域为,由于定义域不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数.
11.cos>cos [解析] ∵cos=cos=cos,cos=cos=cos,而函数y=cos x在上是减函数,<,∴cos>cos,即cos>cos.
12. [解析] ∵0≤x≤且0<ω<1,∴0≤ωx≤<.∵f(x)max=2sin=,∴sin=,∴=,即ω=.
13.解:(1)因为x∈R,f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),所以f(x)=cos 2x是偶函数.
(2)因为x∈R,f(x)=sin+2=cos+2,所以f(-x)=cos+2=cos+2=f(x),所以函数f(x)=sin+2是偶函数.
(3)因为x∈R,f(-x)=-x·cos(-x)=-x·cos x=-f(x),所以f(x)=xcos x是奇函数.
14.解:(1)f(x)的最小正周期T===π.
当2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,即kπ+≤x≤kπ+,k∈Z时,f(x)单调递减,
∴f(x)的减区间是,k∈Z.
(2)∵x∈,∴2x-∈,
∴cos∈,
∴f(x)在上的最大值为1,
此时2x-=0,即x=;
f(x)在上的最小值为-,
此时2x-=,即x=.
15.A [解析] 作出y=sin|x|的图象,如图①,由图可知其不是周期函数,排除D;因为y=cos|x|=cos x,最小正周期为2π,排除C;作出y=|cos 2x|的图象,如图②,由图象知,其最小正周期为,在区间上单调递增,A符合题意;作出y=|sin 2x|的图象,如图③,由图象知,其最小正周期为,在区间上单调递减,排除B.故选A.
①
②
③
16.解:(1)f(x)=-cos2x+2acos x+a2+2=-(cos x-a)2+2a2+2,
当x∈R时,-1≤cos x≤1,令cos x=t(-1≤t≤1),g(t)=-(t-a)2+2a2+2,
①当a≤-1时,f(x)max=g(-1)=a2-2a+1,f(x)min=g(1)=a2+2a+1,
由题得a2-2a+1=4(a2+2a+1),解得a=-3或a=-,由a≤-1得a=-3.
②当a≥1时,f(x)max=g(1)=a2+2a+1,f(x)min=g(-1)=a2-2a+1,
由题得a2+2a+1=4(a2-2a+1),解得a=3或a=,由a≥1得a=3.
③当-1由题得2a2+2=4(a2+2a+1),解得a=-2±,
由-1④当0≤a<1时,f(x)max=g(a)=2a2+2,f(x)min=g(-1)=a2-2a+1,
由题得2a2+2=4(a2-2a+1),解得a=2±,由0≤a<1得a=2-.
综上所述a=-3或3或-2+或2-.
(2)由(1)知,a2-2a+1=(a-1)2≥0,a2+2a+1=(a+1)2≥0,2a2+2>0,
若方程f(x)=0存在实数根,则必有a=-1或1,
①当a=-1时,cos x=1,此时方程f(x)=0的实数根为x=2kπ(k∈Z);
②当a=1时,cos x=-1,此时方程f(x)=0的实数根为x=2kπ+π(k∈Z).7.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦、余弦函数的图象
一、选择题
1.函数y=cos x(x∈R)的图象向右平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的解析式为 ( )
A.g(x)=-sin x B.g(x)=sin x
C.g(x)=-cos x D.g(x)=cos x
2.函数y=3-cos x的图象 ( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线x=对称
3.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是 ( )
A B C D
4.函数y=cos x|tan x|的大致图象是 ( )
A B C D
5.如图所示的图象所对应的函数解析式可以是 ( )
A.y=1+sin x,x∈[0,2π]
B.y=1+2sin x,x∈[0,2π]
C.y=1-sin x,x∈[0,2π]
D.y=1-2sin x,x∈[0,2π]
6.函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2的交点的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
7.如图,函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成了一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为 ( )
A.4 B.8
C.2π D.4π
8.(多选题)函数y=-cos x的图象中与y轴最近的最高点的坐标可能为 ( )
A. B.(π,1)
C.(0,1) D.(-π,1)
9.(多选题)已知cos x=-,且x∈[0,2π],则角x可能为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
10.将余弦函数y=cos x的图象向右至少平移m(m>0)个单位长度,可以得到函数y=-sin x的图象,则m= .
11.若x∈[0,π),则满足sin x<的x的取值范围为 .
12.函数y=cos x+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点坐标为 .
三、解答题
13.用“五点法”作出下列函数的简图:
(1)y=+sin x,x∈[0,2π];
(2)y=1-cos x,x∈[0,2π].
14.利用平移变换和对称变换作出函数y=-sin x-2,x∈[0,2π]的简图.
15.方程sin x=的根的个数是 ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
16.方程sin x=在x∈时有两个实数根,求a的取值范围.
7.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦、余弦函数的图象
1.B [解析] 观察正弦曲线和余弦曲线可知选B.
2.B [解析] 由y=cos x的图象关于y轴对称,可知函数y=3-cos x的图象也关于y轴对称.
3.B [解析] y=sin(-x)=-sin x,其图象与y=sin x的图象关于x轴对称.故选B.
4.C [解析] 函数可化为y=观察所给图象知只有C正确.
5.C [解析] 当x=时,y=0,排除A,B,D.故选C.
6.B [解析] 由函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象(如图所示),可知图象与直线y=2只有1个交点.故选B.
7.D [解析] 依题意,由余弦函数图象的对称性,可得y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成的封闭图形的面积为2π×2=4π.
8.BD [解析] y=-cos x的最大值为1,令-cos x=1,解得x=π+2kπ,k∈Z,所以函数y=-cos x的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(π,1)或(-π,1).
9.AC [解析] 作出y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可知,x=或.
10. [解析] 根据诱导公式得,y=-sin x=cos=cos,故欲得到y=-sin x的图象,需将y=cos x的图象向右至少平移个单位长度.
11.∪ [解析] 当x∈[0,π)时,令sin x=,解得x=或π,作出正弦函数图象,如图所示,结合函数图象可知,当x∈[0,π)时,sin x<的解集为∪.
12., [解析] 作出函数y=cos x+4,x∈[0,2π]的图象(图略),易知它与直线y=4的交点坐标为,.
13.解:(1)按五个关键点列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
+sin x -
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示:
(2)按五个关键点列表:
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
1-cos x 0 1 2 1 0
描点连线,其图象如图所示:
14.解:先作出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象(如图中虚线所示),将图象关于x轴作对称变换,得到函数y=-sin x,x∈[0,2π]的图象,然后将其向下平移2个单位长度,得到函数y=-sin x-2,x∈[0,2π]的简图(如图所示).
15.A [解析] 在同一坐标系内画出y=和y=sin x的图象如图所示.根据图象可知方程有7个根.故选A.
16.解:如果y=sin x,x∈与y=的图象有两个交点,那么方程sin x=在x∈时就有两个实数根.
y=sin x,x∈的图象如图所示,由图可知,当≤<1,即-1一、选择题
1.函数f(x)=tan的最小正周期是 ( )
A.2π B.π C. D.
2.函数y=tan的定义域是 ( )
A.
B.
C.
D.
3.为了得到函数y=tan的图象,只需把函数y=tan 2x的图象上所有的点 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
4.函数y=|x|tan 2x是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.奇函数,也是偶函数
5.函数y=tan在一个周期内的图象是 ( )
A B C D
6.函数f(x)=tan的减区间为 ( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.(kπ,(k+1)π),k∈Z
7.与函数y=tan的图象不相交的一条直线的方程是 ( )
A.x= B.x=-
C.x= D.x=
8.(多选题)下列不等式成立的是 ( )
A.tan 1<-tan 2
B.tan 375°>tan 800°
C.tan>tan
D.tan>tan
9.(多选题)已知函数f(x)=tan,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)在定义域内是增函数
B.y=f是奇函数
C.f(x)的最小正周期是π
D.f(x)图象的对称中心是,k∈Z
二、填空题
10.已知函数f(x)=tan x+,若f(a)=5,则f(-a)= .
11.函数y=+的定义域为 .
12.若f(x)=tan,则f(1)+f(2)+…+f(2025)= .
三、解答题
13.已知函数f(x)=3tan.
(1)求f(x)的最小正周期和减区间;
(2)试比较f(π)与f的大小.
14.(1)比较大小:tan 2与tan 9;
(2)求满足-15.[2024·江苏徐州高一期末] 已知函数f(x)=tan(n∈Z)在区间上单调递减,则n的取值集合为 .(用列举法表示)
16.[2024·江苏常州高一期末] 已知函数f(x)=(2x-2tan θ)(2x-tan θ),其中x∈R,θ∈.
(1)当θ=时,求f(x)在区间[0,3]上的最值及取得最值时x的值;
(2)若f(x)的最小值为-,求θ.
第3课时 正切函数的图象与性质
1.D [解析] 由题可知,f(x)的最小正周期T==.
2.D [解析] 由x-≠kπ+,k∈Z,得x≠kπ+,k∈Z,即该函数的定义域是.故选D.
3.C [解析] ∵y=tan=tan 2,∴把函数y=tan 2x的图象上所有的点向左平移个单位长度,即可得到函数y=tan的图象,故选C.
4.A [解析] 易知2x≠kπ+,k∈Z,即x≠+,k∈Z,函数的定义域关于原点对称.又|-x|tan(-2x)=-|x|tan 2x,∴y=|x|tan 2x是奇函数.
5.A [解析] 由函数y=tan的最小正周期T==2π,排除选项B,D.将x=π代入函数解析式中,得y=tan=tan 0=0,故函数图象与x轴的一个交点的坐标为,排除C.故选A.
6.B [解析] 因为f(x)=tan=-tan,所以原函数的减区间就是函数y=tan的增区间.令kπ-7.D [解析] 当x=时,y=tan=tan=1;当x=-时,y=tan=tan=1;当x=时,y=tan=tan=-1;当x=时,2x+=.故选D.
8.AC [解析] ∵-tan 2=tan(π-2),且0<1<π-2<,y=tan x在上单调递增,∴tan 1<-tan 2,选项A中不等式成立;∵tan 375°=tan(360°+15°)=tan 15°,tan 800°=tan(720°+80°)=tan 80°,y=tan x在(0°,90°)上单调递增,∴tan 15°tan,选项C中不等式成立;tan=tan=tan9.BD [解析] f(x)在整个定义域内没有单调性,故A错误;f=tan=tan 2x,易知y=tan 2x是奇函数,故B正确;函数f(x)的最小正周期T=,故C错误;令2x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,所以f(x)图象的对称中心是,k∈Z,故D正确.故选BD.
10.-5 [解析] 易知函数f(x)为奇函数,故f(a)+f(-a)=0,则f(-a)=-f(a)=-5.
11. [解析] 由题意得,所以2kπ-12.0 [解析] f(x)=tan的最小正周期T==3.因为f(1)=tan=,f(2)=tan=-,f(3)=tan π=0,所以f(1)+f(2)+f(3)=0,又=675,所以f(1)+f(2)+…+f(2025)=675×0=0.
13.解:(1)因为f(x)=3tan=-3tan,所以f(x)的最小正周期T==4π.令kπ-<-得4kπ-故函数f(x)的最小正周期为4π,其减区间为(k∈Z).
(2)f(π)=3tan=3tan=-3tan,f=3tan=3tan=-3tan,
因为0<<<,且y=tan x在上单调递增,
所以tanf.
14.解:(1)∵tan 9=tan(9-2π),而<2<9-2π<π,
函数y=tan x在上单调递增,
∴tan 2(2)根据正切函数的图象可知,在上,满足-15.{-3,-2} [解析] 由f(x)在区间上单调递减,得n<0,且-≤,解得|n|≤4,又因为n∈Z,n<0,所以n=-4或n=-3或n=-2或n=-1.当n=-4时,f(x)=-tan,当x∈时,<4x+<,当4x+=,即x=时,函数f(x)无意义,故n=-4不满足题意.当n=-3时,f(x)=-tan,当x∈时,<3x+<,因为y=tan x在上单调递增,所以f(x)在区间上单调递减,故n=-3满足题意.当n=-2时,f(x)=-tan,当x∈时,<2x+<π,因为y=tan x在上单调递增,所以f(x)在区间上单调递减,故n=-2满足题意.当n=-1时,f(x)=-tan,当x∈时,16.解:(1)当θ=时,f(x)==(2x-2)(2x-1),
令2x=t,t∈[1,8],则g(t)=(t-2)(t-1)=t2-3t+2=-,
所以当t=,即x=log2时,f(x)取得最小值,最小值为-;
当t=8,即x=3时,f(x)取得最大值,最大值为42.
所以f(x)在[0,3]上的最小值为-,此时x=log2,最大值为42,此时x=3.
(2)因为f(x)=(2x-2tan θ)(2x-tan θ)=-(3tan θ)·2x+2tan2θ=-tan2θ的最小值为-,
所以-tan2θ=-,且tan θ>0,所以tan θ=,
又-<θ<,所以θ=.