7.3.1　三角函数的周期性 练习（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

7.3　三角函数的图象和性质
7.3.1　三角函数的周期性
一、选择题
1.函数f(x)=2sin的最小正周期是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2π B.6π
C.π D.π
2.函数f(x)=2cos的最小正周期是 (　 )
A. B.
C. D.2π
3.若函数f(x)=sin的最小正周期是2π,则ω等于 (　 )
A.1 B.-1
C.π D.±1
4.已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)的最小正周期为,则f的值是 (　 )
A.0 B.1
C.-1 D.
5.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的图象与直线y=2的两个相邻交点间的距离等于π,则ω的值为 (　 )
A. B.1
C.2 D.3
6.定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当2A.2 B.-2
C.-1 D.1
7.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=cos x,则f的值为 (　 )
A.- B. C. D.-
8.(多选题)下列函数的最小正周期为π的是 (　 )
A.y=sin x
B.y=cos
C.y=tan x
D.y=sin
9.(多选题)若存在常数p>0,使得函数f(x)满足f(px)=f(x∈R),则f(x)的一个正周期可以为 (　 )
A. B.
C.p D.2p
二、填空题
10.一个单摆做简谐运动,s表示离开平衡位置的位移(单位:cm),t表示运动的时间(单位:s),s与t之间的函数关系如图所示,则该简谐运动的最小正周期为　　　　s.
11.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值为　　　　.
12.设定义在R上的函数f(x)的最小正周期为,若f(x)=则f=　　　　.
三、解答题
13.求下列函数的最小正周期.
(1)f(x)=tan;
(2)f(x)=4sin(a≠0).
14.已知f(x)是以π为最小正周期的偶函数,且x∈时,f(x)=1-sin x,则当x∈时,求f(x)的解析式.
15.若f(n)=sin,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2026)=　　　　.
16.已知函数f(x)=lo|sin x|.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断其周期性,若是周期函数,求其最小正周期.
7.3　三角函数的图象和性质
7.3.1　三角函数的周期性
1.B　[解析] T===6π.
2.C　[解析] f(x)=2cos,∴T==.
3.D　[解析] 由T==2π,得ω=±1.
4.A　[解析] 因为f(x)=tan ωx(ω>0)的最小正周期T==,所以ω=4,则f=tan π=0.
5.C　[解析] 因为f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点间的距离等于π,所以最小正周期T=π=,解得ω=2.故选C.
6.B　[解析] ∵f(x+4)=f(x),∴f(1)=f(1+4)=f(5),又当27.A　[解析] f=f=f=-f=-cos=-.
8.BC　[解析] A中,T=2π;B中,T==π;C中,T=π;D中,T==4π.
9.BCD　[解析] 令px-=u,则px=u+,依题意有f=f(u),此式对任意u∈R都成立,而>0且为常数,因此,f(x)是周期函数,所以是f(x)的一个正周期且的正整数倍也是f(x)的正周期.
10.4　[解析] 由图象知,该简谐运动的最小正周期为2×(3-1)=4(s).
11.13　[解析] ∵T==≤2,∴k≥4π.又k∈Z,∴正整数k的最小值为13.
12.　[解析] ∵f(x)的最小正周期为,∴f=f=f=sin=.
13.解:(1)∵f(x)=-tan,∴ω=2,
又T==,∴函数f(x)=tan的最小正周期T=.
(2)当a>0时,T=;当a<0时,f(x)=-4sin,T=.
综上可知,T=.
14.解:当x∈时,3π-x∈,因为当x∈时,f(x)=1-sin x,
所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sin x.
又f(x)是以π为最小正周期的偶函数,
所以f(3π-x)=f(-x)=f(x),
所以当x∈时,f(x)的解析式为f(x)=1-sin x.
15.　[解析] ∵f(n)=sin的最小正周期T===6,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2026)=337[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=sin+sin+sin π+sin= .
16.解:(1)∵|sin x|>0,∴sin x≠0,∴x≠kπ,k∈Z,
∴函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
(2)∵f(x+π)=lo|sin(x+π)|=lo|sin x|=f(x),
∴函数f(x)是周期函数,且最小正周期是π.