第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
一、选择题
1.函数f(x)=2sin的减区间为 ( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
2.函数y=Asin(ωx+φ)+1(A>0,ω>0)的最大值为5,则A= ( )
A.5 B.-5 C.4 D.-4
3.设f(x)=Asin+B(A>0,ω>0)的定义域为R,最小正周期为,值域为[-1,3],则函数f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=2sin+1
B.f(x)=2sin-1
C.f(x)=2sin-1
D.f(x)=2sin+1
4.将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x)图象的一条对称轴的方程可以为 ( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
5.把函数f(x)=sin的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象,若g(x)是偶函数,则φ的值为 ( )
A. B.
C.或 D.或
6.函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是 ( )
A. B.2
C.1 D.
7.设函数y=sin ωx(ω>0)的最小正周期是T,将其图象上所有的点向左平移T个单位长度后,得到的部分图象如图所示,则函数y=sin ωx(ω>0)的增区间是 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
8.(多选题)已知函数f(x)=sin ωx(ω>0且ω∈Z)的图象关于点对称,且在区间上单调递增,则ω的取值可以为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
9.(多选题)已知函数f(x)=sin,以下结论中正确的是 ( )
A.函数f(x)的图象关于直线x=对称
B.x=-是方程f(x)=0的一个根
C.函数f(x)的图象可由g(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
D.函数f(x)在上单调递增
二、填空题
10.函数f(x)=sin的图象的对称轴方程是 .
11.在函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)的一个周期上,当x=时,有最大值2,当x=时,有最小值-2,则ω= .
12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上相邻的最高点和最低点间的距离为2,且过点,则函数f(x)的解析式为f(x)= .
三、解答题
13.已知函数f(x)=2sin+1(ω>0)的最小正周期T=π.
(1)求函数 f(x) 的解析式;
(2)求函数 f(x) 的单调区间;
(3)求不等式f(x)>+1的解集.
14.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈时,求f(x)的取值范围.
15.[2024·江苏苏州高一期中] 已知函数f(x)=cos+(ω>0),若方程f(x)=0在[0,π]上恰好有7个实根,则ω的取值范围是 .
16.已知函数f(x)=2sin+1(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的减区间.
第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
1.A [解析] 由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故函数的减区间为,k∈Z.故选A.
2.C [解析] ∵A>0,∴函数的最大值为A+1=5,∴A=4.
3.A [解析] 因为-A+B=-1,A+B=3,所以A=2,B=1.因为f(x)的最小正周期T==,所以ω=3,故f(x)=2sin+1.
4.A [解析] 将f(x)=sin的图象向右平移个单位长度得到g(x)=sin=sin(2x-π)=-sin 2x的图象.由2x=kπ+(k∈Z)得g(x)图象的对称轴的方程为x=+(k∈Z),取k=1,得x=,故选A.
5.D [解析] 由题意,得g(x)=sin=sin.∵g(x)是偶函数,∴2φ-=kπ+(k∈Z),∴φ=+(k∈Z).当k=0时,φ=;当k=1时,φ=,故选D.
6.C [解析] 依题意得,函数f=sin(ω>0)的图象经过点,于是有f=sin=sin ωπ=0(ω>0),所以ωπ=kπ,k∈N*,即ω=k,k∈N*,因此ω的最小值是1.故选C.
7.A [解析] 方法一:由题图知,y=sin ωx(ω>0)的最小正周期是2×=,所以=,解得ω=,所以y=sinx.由2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z)得函数y=sinx的增区间是(k∈Z).
方法二:因为T=,所以将y=sin ωx(ω>0)的图象上所有的点向左平移T个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为y=sin.由题图知,ω=,所以ω=,所以y=sinx.由2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z)得函数y=sinx的增区间是(k∈Z).
8.AD [解析] 因为函数f(x)=sin ωx的图象关于点对称,且在上单调递增,所以解得所以ω的取值为3,6.故选AD.
9.ABD [解析] 令2x+=kπ+(k∈Z),当k=0时,x=,即函数f(x)的图象关于直线x=对称,选项A正确;令2x+=kπ(k∈Z),当k=0时,x=-,即x=-是方程f(x)=0的一个根,选项B正确;2x+=2,故函数f(x)的图象可由g(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到,选项C错误;若x∈,则2x+∈,故f(x)在上单调递增,选项D正确.故选ABD.
10.x=kπ+,k∈Z [解析] 令x-=+kπ,k∈Z,得f(x)图象的对称轴方程是x=+kπ,k∈Z.
11.2 [解析] 依题意知=-=,所以T=π,又T==π,所以ω=2.
12.sin [解析] 由函数图象上相邻的最高点和最低点间的距离为2,得=2,解得T=4,∴ω==,∴f(x)=sin.∵函数图象过点,∴f(2)=sin=-sin φ=-,又∵-≤φ≤,∴φ=,∴f(x)=sin.
13.解:(1)依题意,f(x)=2sin+1(ω>0),
由f(x)的最小正周期T==π,解得ω=1,
则f(x)=2sin+1.
(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以f(x)的增区间为,k∈Z;
令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
所以f(x)的减区间为,k∈Z.
(3)由f(x)>+1,得2sin+1>+1,
即sin>,
则2kπ+<2x-<2kπ+,k∈Z,解得kπ++1的解集为,k∈Z.
14.解:(1)由函数图象得A=1,=-=,所以T=2π,则ω=1.
将代入f(x)的解析式得sin=1,而-<φ<,所以φ=,所以f(x)=sin.
(2)因为-π≤x≤-,所以-≤x+≤,所以-1≤sin≤,所以f(x)的取值范围是.
15. [解析] f(x)=cos+,令t=2ωx-,∵0≤x≤π,∴-≤2ωx-≤2πω-,由题意方程f(x)=0在[0,π]上恰好有7个实根,即cos t=-在t∈时恰有7个不相等的实根,即t=+2kπ或t=+2kπ,k∈Z,当k=0时,t1=,t2=,…,当k=3时,t7=,t8=.由y=cos t的性质可得≤2πω-<,解得≤ω<.
16.解:(1)∵f(x)为偶函数,∴φ-=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ+(k∈Z).
又0<φ<π,∴φ=,
∴f(x)=2sin+1=2cos ωx+1.
∵函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为,∴T==2×,∴ω=2,∴f(x)=2cos 2x+1,∴f=2cos+1=+1.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数f的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到f的图象,
所以g(x)=f=2cos 2+1=2cos+1.
当2kπ≤-≤2kπ+π(k∈Z),即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)是减函数,
∴函数g(x)的减区间是(k∈Z).7.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
一、选择题
1.下列说法正确的是 ( )
A.将y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度可得y=cos x的图象
B.将y=cos x的图象上所有的点向右平移个单位长度可得y=sin x的图象
C.当φ>0时,将y=sin x的图象上所有的点向右平移|φ|个单位长度可得y=sin(x+φ)的图象
D.当φ<0时,将y=sin x的图象上所有的点向左平移|φ|个单位长度可得y=sin(x+φ)的图象
2.函数y=sin在区间上的简图是 ( )
A B C D
3.为了得到函数y=-sin的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
4.下列函数中,图象的一部分如图所示的是 ( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=cos
D.y=cos
5.将函数f(x)=sin的图象上所有的点向右平移个单位长度,那么所得的图象对应的函数解析式是 ( )
A.y=sin 2x B.y=cos 2x
C.y=sin D.y=sin
6.将函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是 ( )
A. B.1
C. D.2
7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=Acos ωx的图象,只需把y=f(x)的图象上所有的点 ( )
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
8.(多选题)要得到函数y=sin 2x的图象,只需将函数y=sin的图象 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
9.(多选题)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin ,则下列结论正确的是 ( )
A.把曲线C1向左平移个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线C2
B.把曲线C1向左平移个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线C2
C.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
D.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
二、填空题
10.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,列表如下:
ωx+φ 0 π 2π
x
y 0 2 0 -2 0
则根据表格可得出A= ,ω= ,φ= .
11.函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移 个单位长度得到.
12.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数的解析式为 .
三、解答题
13.已知函数f(x)=3sin.
(1)请用“五点法”作出y=f(x)的图象.
(2)y=f(x)的图象经过怎样的变换,可以得到y=sin x的图象 (请写出具体的变换过程)
14.函数f1(x)=Asin(ωx+φ)的图象过点(0,1),如图所示.
(1)求函数f1(x)的解析式;
(2)将函数y=f1(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到函数y=f2(x)的图象,求y=f2(x)的最大值,并求出此时自变量x的取值集合.
15.把函数y=sin(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象上所有的点向右平移个单位长度后,所得图象与函数y=sin的图象重合,则φ的值为 ( )
A.- B. C. D.-
16.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若存在x1,x2∈R,使得[f(x1)]2+[g(x2)]2=2,则|x1-= .
7.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.B
2.A [解析] 当x=0时,y=sin=-<0,故可排除B,D;当x=时,y=sin=sin 0=0,排除C.故选A.
3.A [解析] 把函数y=sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度,可得y=sin=sin=-sin的图象,故选A.
4.D [解析] 由图知T=4×=π,∴ω==2.又x=时,y=1,经验证,可得D项解析式符合题目要求.故选D.
5.D [解析] 由已知得,平移后的图象对应的函数解析式是y=sin=sin,故选D.
6.D [解析] 将函数f(x)=sin ωx的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin的图象,因为点在g(x)的图象上,所以sin=0,所以=kπ(k∈Z),即ω=2k(k∈Z),由ω>0得ω的最小值是2.故选D.
7.D [解析] 由题图可知A=1,-==(T为f(x)的最小正周期),所以T=π,又T=,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),g(x)=cos 2x.因为f=sin=-1,|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin=cos=cos=cos 2,易知把y=f(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度得到g(x)=cos 2x的图象,故选D.
8.AD [解析] 设将函数y=sin的图象横向平移|φ|个单位长度可得到y=sin 2x的图象,则平移后的解析式为y=sin=sin,根据题意,只需满足2φ-=2kπ,k∈Z即可,故当k=0时,φ=,即向左平移个单位长度,故A符合题意;当k=-1时,φ=-,即向右平移个单位长度,故D符合题意.故选AD.
9.AD [解析] 对于A,把曲线C1:y=cos x向左平移个单位长度,得到曲线y=cos,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线y=cos=cos=sin,故A正确;对于B,把曲线C1:y=cos x向左平移个单位长度,得到曲线y=cos,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线y=cos=cos,故B错误;对于C,把曲线C1:y=cos x上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线y=cos 2x,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线y=cos=cos=cos,故C错误;对于D,把曲线C1:y=cos x上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线y=cos 2x,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线y=cos=cos=cos=sin,故D正确.故选AD.
10.2 3 - [解析] 由表格得A=2,最小正周期T=π-=,∴ω=3,∴ωx+φ=3x+φ.∵当x=时,3x+φ=+φ=0,∴φ=-.
11. [解析] 因为y=sin x-cos x=2sin,所以函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.
12.y=2sin [解析] 由题图可知A===2,且该函数的最小正周期T=-=6π,∴ω===,∴y=2sin.将(2π,2)代入函数解析式得2sin=2,得sin=1.∵|φ|<,即-<φ<,∴<+φ<,∴+φ=,得φ=-.因此,所求函数解析式为y=2sin.
13.解:(1)列表如下:
x π π π π
2x- 0 π 2π
f(x) 0 3 0 -3 0
描点,连线,得到函数f(x)=3sin的图象如图所示.
(2)将函数f(x)=3sin图象上所有点的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的,得到函数y=sin的图象,将y=sin的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin的图象,将y=sin的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin x的图象.
14.解:(1)由题图知,f1(x)的最小正周期T=π,于是ω==2.将y=Asin 2x的图象上所有的点向左平移个单位长度,得y=Asin(2x+φ)的图象,于是φ=2×=.将(0,1)代入y=Asin,得A=2.
故f1(x)=2sin.
(2)依题意得,f2(x)=2sin=-2cos,当2x+=2kπ+π(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,f2(x)max=2,
此时x的取值集合为.
15.B [解析] 把函数y=sin(2x+φ)的图象上所有的点向右平移个单位长度后,得到y=sin的图象,根据所得图象与函数y=sin的图象重合,可得-+φ=2kπ+,k∈Z.又-π≤φ<π,∴φ=+=,故选B.
16. [解析] 由题知g(x)=f=sin,所以[f(x1)]2+[g(x2)]2=sin22x1+sin2=2,所以sin22x1=sin2=1,则2x1=+k1π,2x2-=+k2π,k1∈Z,k2∈ Z,即x1=+,x2=+,k1∈Z,k2∈ Z,所以|x1-x2|==,当k1-k2=0时,|x1-x2|min=.
