7.4　三角函数应用 练习（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

7.4　三角函数应用
一、选择题
1.函数y=2sin的周期、振幅、初相位分别是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.,2,
B.4π,-2,-
C.4π,2,
D.2π,2,
2.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin,则当t= s时,电流强度I为 (　 )
A.5 A B.2.5 A
C.2 A D.-5 A
3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:米)的最大值为 (　 )
A.5 B.6
C.8 D.10
4.如图是一个质点做简谐运动的图象,则下列判断正确的是 (　 )
A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为-5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为0
5.一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系式是s=3cos,其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s时,线长l等于 (　 )
A. B.
C. D.
6.在一个港口,相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h,低潮时水深9 m,高潮时水深15 m.每天潮涨潮落时,该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y=Asin(ωt+φ)+k的图象,其中0≤t≤24,且当t=3时涨潮到一次高潮,则该函数的解析式可以是 (　 )
A.y=3sint+12
B.y=-3sint+12
C.y=3sint+12
D.y=3cost+12
7.动点P(x,y)在单位圆(圆心为原点O)上绕坐标原点O沿逆时针方向匀速旋转,每12秒旋转一周.已知时间t=0时,点P的坐标是,则当0≤t≤12时,动点P的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的增区间是 (　 )
A.[0,1] B.[1,7]
C.[7,12] D.[0,1]和[7,12]
8.(多选题)阻尼器是一种以提供运动的阻力,从而达到减震效果的专业工程装置.由物理学知识可知,某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动,其离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=2sin(ωt+φ),其中ω>0,若该阻尼器模型在摆动过程中离开平衡位置的位移为1 cm的相邻时间差为 s,则ω的可能取值为 (　 )
A.2 B.3 C.4 D.6
9.(多选题)水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征,如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时120秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ),则下列说法正确的是 (　 )
A.φ=-
B.当t∈[0,60]时,函数y=f(t)单调递增
C.当t∈[0,60]时,点P到x轴的距离的最大值为3
D.当t=100时,|PA|=6
二、填空题
10.如图为某简谐运动的图象,这个简谐运动需要　　　　s往返一次.
11.一种波的波形为函数y=-sinx的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是　　　　.
12.如图,某游乐园内摩天轮的中心O距地面的高度为50 m,摩天轮做匀速运动.摩天轮上的一点P自最低点A起,经过t min后,点P的高度h=40sin+50(m),那么在摩天轮转动一圈的过程中,点P距地面的高度在70 m 以上的时间将持续　　　　min.
三、解答题
13.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的最小正周期、频率、振幅、初相位.
14.如图所示,弹簧挂着的小球做上下振动,时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的函数关系式是h=2sin,t∈[0,+∞).
(1)以t为横坐标,h为纵坐标,画出函数在一个周期上的简图.
(2)小球开始振动时的位置在哪里
(3)小球最高点、最低点的位置在哪里 它们距平衡位置的距离分别是多少
15.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成关于x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为 (　 )
A B C D
16.[2024·甘肃白银高一期末] 主动降噪耳机工作的原理:先通过微型麦克风采集周围的噪声,然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声(如图所示).已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin,其中振幅为3,且经过点.
(1)求该噪声声波曲线f(x)的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g(x)的解析式;
(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的减区间与图象的对称中心.
7.4　三角函数应用
1.C　[解析] 依题意得,函数的周期T==4π,函数的振幅为2,令x=0,得x+=,即函数的初相位为.故选C.
2.B　[解析] 将t= s代入I=5sin,得I=2.5 A.
3.C　[解析] 由图象知2=-3+k,解得k=5,所以这段时间水深的最大值为3+k=8.
4.D　[解析] 由题中图象及简谐运动的有关知识知,周期T=0.8 s,振幅A=5 cm,当t=0.1 s或t=0.5 s时,振动速度v=0.故选D.
5.D　[解析] 因为周期T=,所以==2π,则l=,故选D.
6.A　[解析] 根据题意得,ω===(T为函数的最小正周期),排除选项C,D.当t=3时,3sint+12=3sin+12=15,符合题意,-3sint+12=-3sin+12=9,不符合题意,排除选项B.故选A.
7.D　[解析] 设y关于t的函数为y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0≤t≤12),由已知可得该函数的周期T=12,∴ω==.又当t=0时,P,∴y=sin.由-+2kπ≤t+≤+2kπ(k∈Z),得-5+12k≤t≤1+12k(k∈Z),又t∈[0,12],∴函数的增区间是[0,1]和[7,12].
8.AC　[解析] 令2sin(ωt+φ)=1,得t=,k∈Z或t=,k∈Z,所以=或=,解得ω=2或ω=4.故选AC.
9.AD　[解析] 由题意,R==6,T=120=,∴ω=,当t=0时,y=-3,代入可得-3=6sin φ,∵|φ|<,∴φ=-,故A正确;f(t)=6sin,当t∈[0,60]时,t-∈,∴函数y=f(t)在[0,60]上不单调递增,故B不正确;当t∈[0,60]时,t-∈,∴|y|max=6,∴点P到x轴的距离的最大值为6,故C不正确;当t=100时,y=-3,则点P(-3,-3),∴|PA|=|3-(-3)|=6,故D正确.故选AD.
10.0.8　[解析] 由题图知,这个简谐运动的周期T=0.8 s.
11.7　[解析] 函数y=-sinx的周期T=4,且当x=3时,y取得最大值1,因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.
12.4　[解析] 由题意得40sin+50>70,即cost<-,在一个周期内,可知<<,∴413.解:(1)由题图,知A=2,T=7-(-1)=8,
所以ω===,所以f(x)=2sin.
将(-1,0)代入,得0=2sin,
因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.
(2)由(1)知f(x)的最小正周期为8,频率为,振幅为2,初相位为.
14.解:(1)用“五点法”作图.①列表如下:
t -
2t+ 0 π π 2π
2sin 0 2 0 -2 0
②描点并将它们用光滑的曲线连接起来,易知在,上的函数图象相同,所以h=2sin(t∈[0,π])的简图如图中实线部分所示.
(2)当t=0时,h=2sin=,即小球开始振动时的位置在平衡位置上方的 cm处.
(3)由题意易知,最高点的位置在平衡位置上方的2 cm处,最低点的位置在平衡位置下方的2 cm处,最高点、最低点到平衡位置的距离均为2 cm.
15.B　[解析] 根据题意知,OM=|OPcos x|=|cos x|,M到直线OP的距离为OM|sin x|=|cos xsin x|,∴f(x)=|cos xsin x|=|sin 2x|,故选B.
16.解:(1)因为函数f(x)的振幅为3,且A>0,所以A=3,所以f(x)=3sin,
由题意可得f(1)=3sin=-,化简得sin=-,
因为0≤φ<π,所以≤φ+<,所以+φ=,解得φ=,
所以f(x)=3sin=3cos.
由题易知g(x)=-3cos.
故该噪声声波曲线f(x)的解析式为f(x)=3cos,降噪声波曲线g(x)的解析式为g(x)=-3cos.
(2)由(1)知h(x)=f(x)-g(x)=6cos,
由2kπ≤x+≤π+2kπ(k∈Z),可得3k-≤x≤3k+(k∈Z),
故函数h(x)的减区间为(k∈Z).
令x+=+kπ(k∈Z),可得x=(k∈Z),
故函数h(x)的图象的对称中心为(k∈Z).