8.1.1　函数的零点 练习（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第八章　函数应用
8.1　二分法与求方程近似解
8.1.1　函数的零点
一、选择题
1.方程log3x+2x-8=0的解所在的区间是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(5,6)
2.函数f(x)=x2-2x的零点个数为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 -74 24.5 -36.7 -123.6
则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 (　 )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
4.函数f(x)=|x|+k有两个零点,则 (　 )
A.k=0 B.k>0
C.0≤k<1 D.k<0
5.函数f(x)=x2--2在区间(1,3)内的零点个数是 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
6.若方程x2+(1-k)x-2(k+1)=0有两个不相等的实数根,且仅有一个根在区间(2,3)内,则实数k的取值范围是 (　 )
A.(3,4) B.(2,3)
C.(1,3) D.(1,2)
7.已知x0是函数f(x)=2x-lox的零点,若0A.f(x1)>0
B.f(x1)<0
C.f(x1)=0
D.f(x1)>0或f(x1)<0
8.(多选题)下列说法中正确的有 (　 )
A.函数f(x)=x2+ln x有且仅有一个零点
B.若f(x)的图象是一条连续的曲线,且f(0)·f(1)>0,则f(x)在(0,1)内没有零点
C.若f(x)的图象是一条连续的曲线,且f(0)·f(1)<0,则f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点
D.若f(x)的图象是一条连续的曲线,且f(0)·f(1)≤0,则f(x)在[0,1]上有零点
9.(多选题)函数f(x)=x-2-log4|x|的零点所在的区间可能为 (　 )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(2,3) D.(3,4)
二、填空题
10.若方程lg x=4-2x的根x∈(k,k+1),k∈Z,则k=　　　　.
11.方程2x+3x=k的解都在[1,2)内,则k的取值范围为　　　　.
12.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有2个零点,则实数m的取值范围是　　　　.
三、解答题
13.下列函数是否存在零点 如果存在,请求出;如果不存在,请说明理由.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)g(x)=1-log2(x+3);
(3)h(x)=2x-1-3;
(4)m(x)=.
14.[2024·山东日照高一期中] 已知函数f(x)满足f(2x-1)=4x2-2x+3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=(1-2m)x+2-2m有两个实根,其中一个实根在区间(-1,0)内,另一个实根在区间(2,3)内,求实数m的取值范围.
15.(多选题)定义域和值域均为[-a,a]的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,其中a>b>c>0,则下列四个结论中正确的是 (　 )
A.方程f[g(x)]=0有且仅有三个解
B. 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解
C.方程f[f(x)]=0有且仅有九个解
D. 方程g[g(x)]=0有且仅有一个解
16.已知a∈R,函数f(x)=log2.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≤1的解集;
(2)若关于x的方程f(x)+2x=0的解集中恰有两个元素,求a的取值范围.
第八章　函数应用
8.1　二分法与求方程近似解
8.1.1　函数的零点
1.C　[解析] 设f(x)=log3x-8+2x,∴f(1)=log31-8+2=-6<0,f(2)=log32-8+4<0,f(3)=log33-8+6=-1<0,f(4)=log34>0,f(5)=log35+2>0,f(6)=log36+4>0,∴f(3)·f(4)<0.∵函数f(x)=log3x-8+2x的图象是连续的,∴函数f(x)的零点所在的区间是(3,4).故选C.
2.C　[解析] 令f(x)=0,得x2=2x,画出y=x2和y=2x的图象如图所示,由图可知,两个函数的图象有3个交点,也即f(x)有3个零点.故选C.
3.B　[解析] 依题意,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根据函数零点存在定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有1个零点,故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.
4.D　[解析] 在同一平面直角坐标系中,画出y=|x|的图象和直线y=-k,如图所示.若f(x)有两个零点,则必有-k>0,即k<0.
5.B　[解析] 因为函数y=x2-2,y=-在区间(1,3)内都单调递增,所以函数f(x)=x2--2在区间(1,3)内单调递增,又f(1)=-2,f(3)=,所以f(1)·f(3)<0,所以函数f(x)=x2--2在区间(1,3)内的零点个数是1.故选B.
6.D　[解析] 设f(x)=x2+(1-k)x-2(k+1),因为方程x2+(1-k)x-2(k+1)=0有两个不相等的实数根,且仅有一个根在区间(2,3)内,所以①当f(2)f(3)<0时,(4-4k)(10-5k)<0,即(k-1)(k-2)<0,解得17.B　[解析] 因为x0是函数f(x)=2x-lox的零点,则-lox0=0,且f(x)=2x-lox为(0,+∞)上的增函数,由零点存在定理可知当08.AD　[解析] 因为y=-x2与y=ln x的图象有且仅有一个交点,所以-x2=ln x有且仅有一个根,所以f(x)=x2+ln x有且仅有一个零点,故A正确;因为f(x)的图象是一条连续的曲线,且f(0)·f(1)>0,所以不能确定f(x)在(0,1)内零点的情况,故B错误;若f(x)的图象是一条连续的曲线,且f(0)·f(1)<0,则由函数零点存在定理知,f(x)在(0,1)上至少有一个零点,故C错误;若f(x)的图象是一条连续的曲线,且f(0)·f(1)≤0,则由函数零点存在定理知,f(x)在[0,1]上有零点,故D正确.故选AD.
9.ABC　[解析] 令f(x)=x-2-log4|x|=0,可得x-2=log4|x|,所以函数f(x)=x-2-log4|x|的零点所在区间等价于函数y=x-2与y=log4|x|图象的交点横坐标所在的区间,作出y=x-2与y=log4|x|的图象如图所示.由图可知函数y=x-2与y=log4x图象的三个交点的横坐标分别位于区间(-1,0),(0,1),(2,3)内,所以函数f(x)=x-2-log4|x|的零点所在的区间可能为(-1,0),(0,1),(2,3).故选ABC.
10.1　[解析] 令f(x)=lg x+2x-4,则易知f(x)在(0,+∞)上是增函数.因为f(1)=lg 1+2×1-4=-2<0,f(2)=lg 2+2×2-4=lg 2>0,所以原方程的根在区间(1,2)上,所以k=1.
11.5≤k<10　[解析] 设f(x)=2x+3x,由题意,可知f(x)=2x+3x在[1,2)内是增函数,又f(1)=21+3×1=5,f(2)=22+3×2=10,∴5≤k<10.
12.(-1,0)　[解析] 函数f(x)的图象如图所示,由函数g(x)=f(x)-m有2个零点,可知方程f(x)=m有2个实数解,所以y=f(x)的图象与直线y=m有2个交点,由图知,实数m的取值范围是(-1,0).
13.解: (1)解方程x2+7x+6=0,得x=-1或x=-6,所以函数的零点是-1,-6.
(2)解方程1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数的零点是-1.
(3)解方程2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26.
(4)解方程=0,得x=-6,所以函数的零点是-6.
14.解:(1)因为函数f(x)满足f(2x-1)=4x2-2x+3=(2x-1)2+2x-1+3,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2+x+3.
(2)由f(x)=x2+x+3=(1-2m)x+2-2m,整理得x2+2mx+1+2m=0,
设g(x)=x2+2mx+1+2m,由二次函数的图象与性质,可得解得-故实数m的取值范围为.
15.AD　[解析] 对于A,令f(x)=0,数形结合可知,x=b或x=0或x=-b,因为a>b>0,所以b∈[-a,a],-b∈[-a,a],数形结合可知g(x)=b,g(x)=0,g(x)=-b都有一个解,故方程f[g(x)]=0有且仅有三个解,A正确.对于B,令g(x)=0,数形结合可知,x=b,令f(x)=b,因为a>b>c>0,所以数形结合可知,该方程有一个解,故方程g[f(x)]=0有且仅有一个解,故B错误.对于C,令f(x)=0,数形结合可知,x=b或x=0或x=-b,由题可知,a>b>c>0,则0>-c>-b>-a,数形结合可知,f(x)=b,f(x)=-b各有一个解,f(x)=0有三个解,故方程f[f(x)]=0有且仅有五个解,故C错误.对于D,令g(x)=0,数形结合可知,x=b,令g(x)=b,又a>b>0,数形结合可知,该方程有一个解,故方程g[g(x)]=0有且仅有一个解,故D正确.故选AD.
16.解:(1)由题意得log2≤1=log22,所以+1≤2,即≤1,解得x≥0,
所以不等式f(x)≤1 的解集为[0,+∞).
(2)根据集合中元素的唯一性可知,关于x的方程f(x)+2x=0有两个不相等的实数根,
即方程log2=-2x=log22-2x有两个不相等的实数根,即方程+a=2-2x有两个不相等的实数根,
令t=(t>0),即方程t2-t-a=0在区间(0,+∞)内有两个不相等的实数根t1,t2,从而有即解得-故a的取值范围是.