8.1.2　用二分法求方程的近似解 练习（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

8.1.2　用二分法求方程的近似解
一、选择题
1.下列是关于函数y=f(x),x∈[a,b]的说法:
①若x0∈[a,b],且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点;
②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;
③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点;
④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值.
则以上说法中正确的序号为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.① B.②
C.③ D.④
2.设f(x)=3x+3x-8,在用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内近似解的过程中,已经得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间 (　 )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能确定
3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的近似解(精确度为0.05)为 (　 )
A.1.25 B.1.375 C.1.437 5 D.1.5
4.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,且有如下的x,f(x)对应值:
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064 11.238
由表可知函数y=f(x)在区间(1,7)内的零点个数至少为 (　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)·f(b)<0,f(a)·f>0,则 (　 )
A.f(x)在上有零点
B.f(x)在上有零点
C.f(x)在上无零点
D.f(x)在上无零点
6.方程2x+x=0的实数根所在区间为 (　 )
A.(-2,-1) B.(1,2)
C.(-1,0) D.(0,1)
7.[2024·浙江丽水高一期末] 已知增函数y=f(x)的图象在[a,b]上是一条连续不断的曲线,在用二分法求该函数零点的过程中,依次确定了零点所在区间为[a,b],,,则b-a的值是 (　 )
A.1 B.
C.- D.
8.(多选题)下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是 (　 )
A.y=+1
B.y=
C.y=x2+4x+8
D.y=|x|
9.(多选题)[2024·广州高一期末] 用二分法求方程2x+3x-7=0的近似解时,设函数f(x)=2x+3x-7,通过计算给出如下对应值表:
x 1.25 1.375 1.406 25 1.421 875 1.429 687 5 1.437 5 1.5
f(x) -0.87 -0.28 h -0.06 -0.02 0.02 0.33
分析表中数据,下列说法正确的是 (　 )
A.h>0
B.方程2x+3x-7=0有实数解
C.若精确度为0.1,则近似解可取为1.4
D.若精确度为0.1,则近似解可取为1.3
二、填空题
10.用“二分法”求方程x2-2x-5=0在区间(2,4)内的实根,取区间中点为x0=3,那么下一个有根的区间是 　　　　.
11.用二分法研究函数f(x)在区间(0,1)内的零点时,计算得f(0)<0,f(0.5)<0,f(1)>0,那么下一次应计算x=　　　　时的函数值.
12.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是　　　　.
三、解答题
13.用二分法求函数f(x)=x3+x-3的零点.(精确度为0.05)
14.证明2x+x=4在区间[1,2]内有解,设f(x)=2x+x-4,填写下表,并求方程的近似解(精确度为0.1).
区间 区间中点值xn f(xn)的值
(1,2) x1=　　　 f(x1)≈0.328
(1,1.5) x2=1.25 f(x2)≈　　　
(1.25,1.5) x3=1.375 f(x3)≈-0.031
(1.375,1.5) x4=1.437 5 f(x4)≈0.146
15.在16枚崭新的金币中,有1枚外表与真币完全相同的假币(比真币略轻).现只有一台天平,请问:利用二分法的思想(每次均二等分),需要　　　　次就可以找出这枚假币.
16.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.
8.1.2　用二分法求方程的近似解
1.A　[解析] ①∵x0∈[a,b],且f(x0)=0,∴x0是f(x)的一个零点,∴①中说法正确;②∵函数f(x)的图象不一定连续,∴②中说法错误;③方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,∴③中说法错误;④用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,∴④中说法错误.故选A.
2.B　[解析] ∵f(1)<0,f(1.5)>0,∴函数f(x)=3x+3x-8在区间(1,1.5)内存在一个零点,又∵f(1.5)>0,f(1.25)<0,∴函数f(x)=3x+3x-8在区间(1.25,1.5)内存在一个零点,由此可得方程3x+3x-8=0的解落在区间(1.25,1.5)内,故选B.
3.C　[解析] 由二分法及表格中数据可知零点在(1.406 25,1.437 5)上,因为|1.406 25-1.437 5|=0.031 25<0.05,所以方程的近似解为1.437 5.故选C.
4.D　[解析] 由表可知,f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,f(6)·f(7)<0,所以函数y=f(x)在区间(1,7)内至少有4个零点.故选D.
5.B　[解析] 由f(a)·f(b)<0,f(a)·f>0可知f·f(b)<0,根据函数零点存在定理可知f(x)在上有零点.故选B.
6.C　[解析] 构造函数f(x)=2x+x,则f(x)在R上是增函数,且f(-1)=-1=-<0,f(0)=1>0,f(-1)·f(0)<0,故函数f(x)的零点,也即方程2x+x=0的实数根所在区间为(-1,0).故选C.
7.B　[解析] 因为依次确定了零点所在区间为[a,b],,,所以即解得所以b-a=1-=.故选B.
8.CD　[解析] 易知选项A,B中的函数有零点,且可用二分法求零点的近似值;对于选项C,y=x2+4x+8=(x+4)2≥0,该函数有零点,但不能用二分法求零点的近似值;对于选项D,y=|x|≥0,该函数有零点,但不能用二分法求零点的近似值.故选CD.
9.BC　[解析] ∵y=2x与y=3x-7都是R上的增函数,∴f(x)=2x+3x-7是R上的增函数,∴f(x)在R上至多有一个零点,由表格中的数据可知f(1.421 875)<0,f(1.437 5)>0,∴f(x)在R上有唯一零点,零点所在的区间为(1.421 875,1.437 5),∴h<0,A错误;方程2x+3x-7=0有实数解,B正确;f(1.375)<0,f(1.437 5)>0,∵|1.437 5-1.375|=0.062 5<0.1,∴方程的近似解可取为1.4,C正确,D错误.故选BC.
10.(3,4)　[解析] 设f(x)=x2-2x-5,f(2)=-5<0,f(4)=3>0,f(3)=-2<0,f(x)零点所在的区间为(3,4),方程x2-2x-5=0有根的区间是(3,4),故答案为(3,4).
11.0.75　[解析] ∵f(0)<0,f(0.5)<0,f(1)>0,∴根据函数零点存在定理,可知函数零点落在区间(0.5,1)内,∴下次取x=0.75.
12.a2=4b　[解析] ∵函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法,∴函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切,∴Δ=a2-4b=0,∴a2=4b.
13.解:易知函数f(x)=x3+x-3在R上单调递增,
又f(1)=-1,f(2)=7,且f(1)·f(2)<0,
所以f(x)在(1,2)上存在唯一的零点,记为x0,
又f=f(1.5)=1.875,且f(1)·f(1.5)<0,
所以x0∈(1,1.5),
又f=f(1.25)≈0.203,且f(1)·f(1.25)<0,所以x0∈(1,1.25).
又f=f(1.125)≈-0.451,且f(1.25)·f(1.125)<0,所以x0∈(1.125,1.25).
因为f=f(1.187 5)≈-0.138,且f(1.187 5)·f(1.25)<0,所以x0∈(1.187 5,1.25).
因为f=f(1.218 75)≈0.029,且f(1.187 5)·f(1.218 75)<0,
所以x0∈(1.187 5,1.218 75).
因为|1.187 5-1.218 75|=0.031 25<0.05,
所以f(x)的零点可取为1.2.
14.解:易知f(x)在定义域内是增函数,因为f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0,所以方程2x+x-4=0在区间[1,2]内有唯一解.利用二分法求值填写下表,得
区间 区间中点值xn f(xn)的值
(1,2) x1=1.5 f(x1)≈0.328
(1,1.5) x2=1.25 f(x2)≈-0.372
(1.25,1.5) x3=1.375 f(x3)≈-0.031
(1.375,1.5) x4=1.437 5 f(x4)≈0.146
因为|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1,所以方程的近似解可取为1.4,所以2x+x=4在区间[1,2]内的近似解可取为1.4.
15.4　[解析] 利用二分法,需要四次就可以找出这枚假币.第一次把16枚金币平均分成两组,放在天平上称,天平一定不平衡,轻的一组(8枚金币)含假币;第二次把含假币的8枚金币平均分成两组,放在天平上称,天平一定不平衡,轻的一组(4枚金币)含假币;第三次把含假币的4枚金币分成两组,放在天平上称,天平不平衡,轻的一组(2枚金币)含假币;第四次把含假币的2枚金币放在天平上称,天平不平衡,轻的一边是假币.
16.证明:∵f(1)>0,∴f(1)=3a+2b+c>0,
即3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,
∴-b-c>c,即a>c.
∵f(0)>0,∴c>0,∴a>0.取区间[0,1]的中点,
则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.
∵f(0)>0,f(1)>0,∴函数f(x)在区间和内各有一个零点.
又f(x)为二次函数,最多有两个零点,∴f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.