8.2.1　几个函数模型的比较 练习（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

8.2　函数与数学模型
8.2.1　几个函数模型的比较
一、选择题
1.下面对函数y1=2x与y2=2x在区间(0,+∞)上取同一个x时的函数值的说法正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y1>y2
B.y1=y2
C.y1D.y1,y2的大小关系不确定
2.如图所示是吴老师出门散步时离家的距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象,若用黑点表示吴老师家的位置,则吴老师散步行走的路线可能是 (　 )
A B C D
3.下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数,从足够长远的角度看,更为有前途的生意是 (　 )
A.y=10×1.05x B.y=20+x1.5
C.y=30+lg(x-1) D.y=50
4.已知函数 y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1
5.下列四种说法中,正确的是 (　 )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>0,xn>logax(a>0,且a≠1)恒成立
C.对任意的x>0,ax>logax(a>0,且a≠1)恒成立
D.不一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xn>logax(a>0,且a≠1)
6.有一组试验数据如下表所示:
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是 (　 )
A.y=2x-1 B.y=x2-1
C.y=2log2x D.y=x3
7.某种细菌经60分钟培养,可繁殖为原来的2倍,且知该细菌的繁殖规律为y=10ekt,其中k为常数,t表示时间(单位:小时),y表示细菌个数,10个细菌经过7小时培养,细菌能达到的个数为 (　 )
A.640 B.1280 C.2560 D.5120
8.(多选题)已知函数y1=x,y2=x2,y3=x3,下列关于这三个函数的描述中,当x在(0,+∞)上逐渐增大时,下列说法正确的是 (　 )
A.y1的增长速度越来越快
B.y2的增长速度越来越快
C.y3的增长速度一直快于y1
D.y3的增长速度有时慢于y2
9.(多选题)一次社会实践活动中,数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂五年来某种产品的总产量y与时间x(年)的函数图象(如图),下列判断正确的是 (　 )
A.前三年的年产量逐步增加
B.前三年的年产量逐步减少
C.后两年的年产量与第三年的年产量相同
D.后两年均没有生产
二、填空题
10.函数y=log5x,y=x2与y=5x在区间(4,+∞)上增长最快的是　　　　.
11.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在图中请选择与容器(如图所示)相匹配的图象,A对应　　　　;B对应　　　　;C对应　　　　;D对应　　　　.
A B C D
(1) (2) (3) (4)
12.一位骑自行车者和一位骑摩托车者从甲地前往距甲地80 km的乙地,两人运动的路程(单位:km)与时间(单位:h)的函数图象如图7所示,已知骑自行车者用了6 h(含途中休息的1 h),骑摩托车者用了2 h.有人给出了如下信息:
(1)骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;
(2)骑摩托车者是匀速运动;
(3)骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者.
其中正确信息的序号是　　　　　　.
三、解答题
13.函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数值的大小(以1,a,b,c,d,e为分界点).
14.下表是随x的变化而得到的f1(x),f2(x),f3(x)的函数值:
x f1(x)=2x f2(x)=2x+7 f3(x)=log2x
1 2 9 0
2 4 11 1
3 8 13 1.585 0
4 16 15 2
5 32 17 2.321 9
6 64 19 2.585 0
7 128 21 2.807 4
8 256 23 3
9 512 25 3.169 9
10 1024 27 3.321 9
试回答:
(1)随着x的增大,各函数的函数值有什么共同的变化趋势
(2)各函数增长的快慢有什么不同
15.A,B,C三个物体同时从同一点出发同向而行,位移y关于时间x(x>0)的函数关系式分别为yA=2x-1,yB=log2x,yC=,则下列结论中,所有正确结论的序号是　　　　.
①当x>1时,A总走在最前面;
②当0③当x>4时,B一定走在C前面.
8.2　函数与数学模型
8.2.1　几个函数模型的比较
1.D　[解析] 当02时,y1>y2;当12.D　[解析] 图象显示有一段时间吴老师离家的距离是个定值,所以A,B,C三个选项均不符合,只有D选项符合题意.故选D.
3.A　[解析] 结合三类函数的增长差异可知A的预期收益最大,故选A.
4.B　[解析] 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.
5.D　[解析] 对于A,幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较.对于B,C,当01,n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xn>logax,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不成立.故选D.
6.B　[解析] 由表格中的数据可知,函数的解析式应该是指数函数类型或幂函数类型,故排除C;当x=2.01时,y=2x-1≈3,y=x2-1≈3,y=x3≈8>3,当x=3时,y=2x-1=7,y=x2-1=8,y=x3=27,故排除A,D.故选B.
7.B　[解析] 设原来的细菌数为a,由题意可得,在函数y=10ekt中,当t=1时,y=2a,∴2a=10ek,即ek=,当a=10时,ek=2,y=10ekt=10×2t,当t=7时,y=10×27=1280.故选B.
8.BD　[解析] 在同一平面直角坐标系中,画出函数y1=x,y2=x2,y3=x3的图象,如图所示.由图可知y1的增长速度没有变,所以A错误;在(0,+∞)上y2的增长速度越来越快,所以B正确;由图可知在(0,1)上y3的增长速度最慢,而在(1,+∞)上y3的增长速度最快,所以C错误,D正确.故选BD.
9.BD　[解析] 根据图象观察知,前三年总产量增长速度越来越慢,故前三年的年产量逐步减少,A错误,B正确;后两年总产量没有变化,即后两年均没有生产,C错误,D正确.故选BD.
10.y=5x　[解析] 三个函数中指数函数y=5x的增长速度最快.
11.(4)　(1)　(3)　(2)　[解析] A容器下粗上细,水高度的变化为先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度的变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.
12.(1)(2)(3)　[解析] 观察图象,易知(1)正确;因为骑摩托车者运动的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,故(2)正确;由图知两函数图象的交点的横坐标为4.5,故(3)正确.
13.解:由指数函数、对数函数、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.
由题图知,当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);
当1g(x)>h(x);
当ef(x)>h(x);
当ah(x)>f(x);
当bg(x)>f(x);
当cf(x)>g(x);
当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
14.解:(1)随着x的增大,各函数的函数值都在增大.
(2)各函数增长的快慢不同,随着x的增大,f1(x)=2x的增长速度越来越快;f2(x)=2x+7均匀增长;f3(x)=log2x的增长速度越来越慢.
15.①②　[解析] 在同一坐标系内画出yA=2x-1,yB=log2x,yC=在[0,+∞)上的图象如图所示.当x>1时,函数yA=2x-1的增长速度最快,且当x=1时,yA=2-1=1,yB=log21=0,yC==1,故当x>1时,A总走在最前面,①正确;当016时,B走在C后面,③错误.故填①②.