8.2.2　函数的实际应用 练习（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

8.2.2　函数的实际应用
一、选择题
1.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次,存车费为:电动自行车0.3元/辆次,普通自行车0.2元/辆次.若该天普通自行车存车x辆次,存车费总收入为y元,则y与x的函数关系式为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=0.2x(0≤x≤4000)
B.y=0.5x(0≤x≤4000)
C.y=-0.1x+1200(0≤x≤4000)
D.y=0.1x+1200(0≤x≤4000)
2.声强级LI(单位:dB)由公式LI=10·lg给出,其中I为声强(单位:W/m2).若学校规定:在阅览室内,声强级不能超过40 dB,则最大声强为 (　 )
A.10-6 W/m2 B.10-7 W/m2
C.10-8 W/m2 D.10-9 W/m2
3.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数m=162-3x.若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为 (　 )
A.40元/件 B.42元/件
C.54元/件 D.60元/件
4.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等,则该年5月份 (　 )
A.甲食堂的营业额较高
B.乙食堂的营业额较高
C.甲、乙两食堂的营业额相等
D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
5.池塘里浮萍的生长速度极快,它覆盖池塘的面积,每天可增加原来的一倍.若一个池塘在第30天时,刚好被浮萍盖满,则浮萍覆盖池塘一半的面积是 (　 )
A.第15天 B.第20天
C.第25天 D.第29天
6.假设一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时,交通灯由红变绿,汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走,那么(　 )
A.人可在7秒内追上汽车
B.人可在10秒内追上汽车
C.人追不上汽车,其间距最少为5米
D.人追不上汽车,其间距最少为7米
7.[2024·北京陈经纶中学高一期中] 某机构对一种病毒在特定环境下进行观测,每隔单位时间T进行一次记录,用x(x∈N*)表示经过的单位时间数,用y表示病毒感染人数,得到的观测数据如下:
x 1 2 3 4 5 6 …
y … 6 … 36 … 216 …
若y与x的关系有两个函数模型可供选择:①y=mx2+n;②y=k·ax(k>0,a>1).若经过M个单位时间,该病毒的感染人数不少于1万,则M的最小值为(参考数据:≈1.41,≈1.73,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) (　 )
A.9 B.10
C.11 D.12
8.(多选题)某工厂8年来的产品年产量y与时间t(单位:年)的函数关系如图所示,则下面四个结论中正确的是 (　 )
A.前3年的年产量增长速度越来越快
B.前3年的年产量增长速度越来越慢
C.3年后,这种产品停止生产
D.3年后,这种产品年产量保持不变.
二、填空题
9.统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.
季度 1 2 3 4
每千克售价(单位:元) 19.55 20.05 20.45 19.95
某公司计划按这一年各季度最佳近似值m收购这种水果,其中最佳近似值m满足m与上表中各售价差的平方和最小,那么m的值为　　　　.
10.一种专门侵占内存的计算机病毒,开机时占据内存2 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后经过　　　　分钟,该病毒占据64 MB内存.(1 MB=1024 KB)
11.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少.为了保障交通安全,规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过　　　　小时才能开车.
(精确到1小时,参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
三、解答题
12.[2024·江苏盐城高一期中] 天气转冷,某暖手宝厂商为扩大销量,拟进行促销活动.根据前期调研,获得该产品的销售量a万件与投入的促销费用x(x≥0)万元满足关系式a=8-(k为常数),而如果不搞促销活动,该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本18万元,厂家将每件产品的销售价格定为元,设该产品的利润为y万元.(注:利润=销售收入-投入成本-促销费用)
(1)求出k的值,并将y表示为x的函数.
(2)促销费用为多少万元时,该产品的利润最大 此时最大利润为多少
13.随着科技的发展,直播带货成为一种新型的商品销售模式.经测算某服装的价格近似满足:J=Jb+(J0-Jb),其中J0(单位:元)表示开始卖时的服装价格,J(单位:元)表示经过一定时间t(单位:天)后的价格,Jb(单位:元)表示波动价格,h(单位:天)表示波动周期.某位商人通过直播带货销售此服装,开始销售时的价格为每件120元,波动价格为每件20元,服装价格降到70元每件时需要10天时间.
(1)求h的值;
(2)求服装价格降到60元每件时需要的天数.(结果精确到整数)
参考数据:lg 2≈0.301 0.
14.某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本y(单位:元/吨)与上市时间x(单位:天)的数据如下表.
时间x 50 110 250
种植成本y 1500 1080 1500
(1)根据上表数据,从y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a·bx ,y=a·logbx中选取一个函数描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系;
(2)利用(1)中选取的函数,求西红柿种植成本y最低时的上市天数x及最低种植成本.
8.2.2　函数的实际应用
1.C　[解析] 由题意得y=0.3(4000-x)+0.2x=-0.1x+1200(0≤x≤4000).
2.C　[解析] 由题意可知,10·lg≤40,所以lg≤4,即lg I-lg 10-12≤4,则lg I≤-8=lg 10-8,所以I≤10-8,即最大声强为10-8 W/m2.故选C.
3.B　[解析] 设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件.
4.A　[解析] 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意,可得m+8a=m(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m(1+x)4=,因为-=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故该年5月份甲食堂的营业额较高.
5.D　[解析] 因为每天增加原来的一倍,且第30天时,池塘刚好被浮萍盖满,所以可知,第29天时,浮萍刚好覆盖池塘的一半.故选D.
6.D　[解析] 设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值为7,故选D.
7.C　[解析] 若选y=mx2+n,将和代入得所以所以y=x2-4,代入x=6得y=86≠216,不合题意.若选y=k·ax(k>0,a>1),将和代入得所以所以y=()x.代入x=6得y=216,符合题意.依题意可得()M≥10 000,即Mlg≥4,则M(lg 2+lg 3)≥8,又lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,所以M≥≈10.256,因为M∈N*,所以M的最小值为11.故选C.
8.AD　[解析] 由图象可知,前3年中,年产量的增长速度越来越快.后5年的年产量是不变的,故选AD.
9.20　[解析] 设y=(m-19.55)2+(m-20.05)2+(m-20.45)2+(m-19.95)2=4m2-2×(19.55+20.05+20.45+19.95)m+19.552+20.052+20.452+19.952,则当m==20时,y取得最小值,故最佳近似值m的值为20.
10.45　[解析] 因为开机时占据内存2 KB,每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,所以3分钟后病毒占据内存22 KB,6分钟后病毒占据内存23 KB,9分钟后病毒占据内存24 KB,故n个3分钟后,病毒所占内存为2n+1 KB,令2n+1=64×210=216,∴n=15,15×3=45,故开机45分钟后,该病毒占据64 MB内存.
11.5　[解析] 设经过n小时后才能开车,此时血液中酒精含量为0.3(1-0.25)n.根据题意,有0.3(1-0.25)n≤0.09,即(1-0.25)n≤0.3,在不等式两边取对数,得nlg=n(lg 3-2lg 2)≤lg 0.3=lg 3-1,将已知数据代入,得n(0.48-0.60)≤0.48-1,解得n≥=4,故至少要经过5小时才能开车.
12.解:(1)由题意知当x=0时,a=4,故4=8-,∴k=4,
则a=8-,故y=a-18a-x,
即y=16a+12-x=16+12-x=140-,所以y=140-(x≥0).
(2)y=140-=141-≤141-2)=125,
当且仅当=x+1,即x=7时等号成立,
故促销费用为7万元时,该产品的利润最大,此时最大利润为125万元.
13.解:(1)在J=Jb+(J0-Jb)中,当J=70,Jb=20,J0=120,t=10时,
有70=20+(120-20),整理得=,
即=1,解得h=10,所以h的值为10.
(2)由(1)知,J=20+100,当J=60时,20+100=60,即有=,取常用对数得lg=lg,解得t==10×≈10×≈13.22,又t∈N*,则t=14,
所以服装价格降到60元每件时需要14天.
14.解:(1)根据表中数据,可判定西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系的函数不是单调函数,这与函数y=ax+b,y=a·bx,y=a·logbx的单调性都不符,
所以在a≠0的前提下,可选取二次函数y=ax2+bx+c进行描述.
把表格中的三组数据(50,1500),(110,1080),(250,1500)代入二次函数y=ax2+bx+c,
可得解得
所以西红柿种植成本y与上市时间x的函数关系是y=x2-15x+2125.
(2)由(1)得y=x2-15x+2125,
可得函数的图象开口向上,且对称轴为x=-=150,
所以当x=150时,西红柿种植成本y最低,
最低成本为y=×1502-15×150+2125=1000(元/吨),
即上市150天时,西红柿种植成本y最低为1000元/吨.