机械振动
第二节 简谐运动的描述
A组·基础达标
1．某沿水平方向振动的弹簧振子在0～6 s内做简谐运动的振动图像如图所示，由图可知( )
A．该振子的振幅为5 cm，振动周期为6 s
B．第3 s末振子的速度沿x轴负方向
C．第3 s末到第4 s末的过程中，振子做减速运动
D．该振子的位移x和时间t的函数关系：x＝5sin cm
2．一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x＝处所用的最短时间为t1，从最大的正位移处第一次运动到x＝处所用的最短时间为t2，那么下列关于t1与t2的大小关系正确的是( )
A．t1＝t2 B．t1C．t1>t2 D．t1＝2t2
3．(多选)(2024年深圳福田红岭中学段考)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin cm.下列说法正确的是( )
A．MN间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C．t＝0时，振子位于N点
D．t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
4．(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin，则质点( )
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．3 s末至5 s末的位移方向都相同
D．3 s末至5 s末的速度方向都相同
5．(多选)一个弹簧振子的振幅是A，若在Δt的时间内振子运动的路程是s，则下列关系式中可能正确的是(包括一定正确的)( )
A．Δt＝，s＝2A B．Δt＝，s>2A
C．Δt＝，s＝A D．Δt＝，s>A
6．(2024年成都段考)如图甲所示，水平放置的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O是平衡位置．以水平向右为正方向，弹簧振子振动图像如图乙所示，则( )
A．0.1 s末，振子运动到O点
B．0.2 s末，振子有正方向的最大速度
C．0.2～0.3 s，振子从O向A做减速运动
D．振子在A点和B点相对平衡位置的位移相同
7．弹簧振子做简谐运动，若从平衡位置O开始计时，经过4 s振子第一次经过P点，又经过了1 s，振子第二次经过P点，则该简谐运动的周期为( )
A．5 s B．8 s
C．14 s D．18 s
8．(2024年宁夏银川期末)如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm.则质点的振动周期和振幅分别为( )
A．3 s、6 cm B．4 s、6 cm
C．4 s、9 cm D．2 s、8 cm
B组·能力提升
9．如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为( )
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
10．弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10-3sin m
B．x＝4×10-3sin m
C．x＝8×10-3sin m
D．x＝4×10-3sin m
11．已知弹簧振子的振动周期与振子的质量和弹簧的劲度系数有关，周期T＝2π，小鸟落在弹性树枝上的振动类似于弹簧振子的振动．一只100 g的小鸟落在树枝P处，其振动周期为T，另一只鸟落在P右边一点Q处的振动周期也是T，右端为树枝末端，则另一只鸟的质量可能为( )
A．50 g B．100 g
C．150 g D．200 g
12．如图所示为A、B(实线为A，虚线为B)两个弹簧振子的振动图像，试写出它们的位移方程，并求出相位差Δφ.
13．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v.
(1)求弹簧振子振动的周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm.从平衡位置开始计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像．
14．如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距30 cm.小球经过O点向右运动时开始计时，经过0.4 s第一次回到O点．
(1)写出小球的振动方程；
(2)求1.0 s内小球通过的路程及1.0 s末小球的位移大小．机械振动
第二节 简谐运动的描述
A组·基础达标
1．某沿水平方向振动的弹簧振子在0～6 s内做简谐运动的振动图像如图所示，由图可知( )
A．该振子的振幅为5 cm，振动周期为6 s
B．第3 s末振子的速度沿x轴负方向
C．第3 s末到第4 s末的过程中，振子做减速运动
D．该振子的位移x和时间t的函数关系：x＝5sin cm
【答案】C 【解析】根据图像可知，第3 s末振子经过平衡位置向正方向运动，B错误；第3 s末振子处于平衡位置处，速度最大，则第3 s末到第4 s末的过程中，振子做减速运动，C正确；由振动图像可得：振幅A＝5 cm，周期T＝4 s，初相φ＝，则角频率ω＝＝ rad/s，故该振子做简谐运动的表达式为x＝5sin，A、D错误．
2．一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x＝处所用的最短时间为t1，从最大的正位移处第一次运动到x＝处所用的最短时间为t2，那么下列关于t1与t2的大小关系正确的是( )
A．t1＝t2 B．t1C．t1>t2 D．t1＝2t2
【答案】B 【解析】根据振子远离平衡位置时速度减小，衡位置时速度增大，可知振子从平衡位置第一次以最短时间运动到x＝A处的平均速度大于从最大正位移处第一次运动到x＝A处的平均速度，而路程相等，则t13．(多选)(2024年深圳福田红岭中学段考)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin cm.下列说法正确的是( )
A．MN间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C．t＝0时，振子位于N点
D．t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
【答案】BC 【解析】MN间距离为2A＝10 cm，A错误；振子的运动周期是T＝＝＝0.2 s，B正确；根据振动方程x＝5sin cm，可知t＝0时，x＝5 cm，则振子位于N点，C正确；t＝0.05 s时，x＝0，则振子在平衡位置，振子加速度为零，D错误．
4．(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin，则质点( )
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．3 s末至5 s末的位移方向都相同
D．3 s末至5 s末的速度方向都相同
【答案】AD 【解析】由关系式可知，将t＝1 s和t＝3 s代入关系式中求得两时刻位移相同，A正确．画出对应的位移—时间图像，由图像可以看出，第1 s末和第3 s末的速度方向不同，B错误．由图像可知，3 s末至5 s末的位移大小相同，方向相反，C错误．由图像可知，3 s末至5 s末的速度是大小相同，方向也相同，D正确．
5．(多选)一个弹簧振子的振幅是A，若在Δt的时间内振子运动的路程是s，则下列关系式中可能正确的是(包括一定正确的)( )
A．Δt＝，s＝2A B．Δt＝，s>2A
C．Δt＝，s＝A D．Δt＝，s>A
【答案】ACD 【解析】因每个全振动所通过的路程为4A，故A、C正确，B错误．又因振幅为振子的最大位移，而s为时的路程，故s有可能大于A，故D正确．
6．(2024年成都段考)如图甲所示，水平放置的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O是平衡位置．以水平向右为正方向，弹簧振子振动图像如图乙所示，则( )
A．0.1 s末，振子运动到O点
B．0.2 s末，振子有正方向的最大速度
C．0.2～0.3 s，振子从O向A做减速运动
D．振子在A点和B点相对平衡位置的位移相同
【答案】C 【解析】0.1 s末，弹簧振子位移最大，振子运动到B点，A错误；0.2 s末，振子有负方向的最大速度，B错误；0.2～0.3 s，振子从O向A运动，弹簧振子受到的弹力与速度方向相反，振子做减速运动，C正确；振子在A点和B点相对平衡位置的位移大小相同，位移方向不同，D错误．
7．弹簧振子做简谐运动，若从平衡位置O开始计时，经过4 s振子第一次经过P点，又经过了1 s，振子第二次经过P点，则该简谐运动的周期为( )
A．5 s B．8 s
C．14 s D．18 s
【答案】D 【解析】如图，假设弹簧振子在水平方向BC之间振动，若振子开始先向右振动，振子的振动周期为T＝4× s＝18 s，若振子开始先向左振动，设振子的振动周期为T′，则＋＝4 s，解得T′＝6 s，故选D．
8．(2024年宁夏银川期末)如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm.则质点的振动周期和振幅分别为( )
A．3 s、6 cm B．4 s、6 cm
C．4 s、9 cm D．2 s、8 cm
【答案】B 【解析】简谐运动的质点，先后以同样的速度通过M、N两点，则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O时间与由O到N的时间相等，那么平衡位置O到N点的时间，t1＝0.5 s，因过N点后再经过t＝1.0 s，质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，则有从N点到最大位置的时间t2＝0.5 s．因此，质点振动的周期是T＝4×(t1＋t2)＝4 s，这2 s内质点总路程的一半，即为振幅，所以振幅A＝＝6 cm，故选B．
B组·能力提升
9．如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为( )
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
【答案】B 【解析】由简谐运动的对称性可知，tO b＝0.1 s，tb c＝0.1 s，故＝0.2 s，解得T＝0.8 s，f＝＝1.25 Hz，B正确．
10．弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10-3sin m
B．x＝4×10-3sin m
C．x＝8×10-3sin m
D．x＝4×10-3sin m
【答案】B 【解析】振子振动范围0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期为0.5 s，所以ω＝＝4π，而初始时刻具有正向最大加速度，即振子在负向最大位移处，综上可得，x＝4×10-3sin m，B正确，A、C、D错误．
11．已知弹簧振子的振动周期与振子的质量和弹簧的劲度系数有关，周期T＝2π，小鸟落在弹性树枝上的振动类似于弹簧振子的振动．一只100 g的小鸟落在树枝P处，其振动周期为T，另一只鸟落在P右边一点Q处的振动周期也是T，右端为树枝末端，则另一只鸟的质量可能为( )
A．50 g B．100 g
C．150 g D．200 g
【答案】A 【解析】一只鸟落在Q处时，由于Q点比P点靠近树枝末端，Q点与P点受到同样的作用力时，作用Q点时，树枝的形变更大，则类似弹簧的劲度系数k变小，由于周期仍然为T，则落在Q处的鸟质量m较小，A正确，B、C、D错误．故选A．
12．如图所示为A、B(实线为A，虚线为B)两个弹簧振子的振动图像，试写出它们的位移方程，并求出相位差Δφ.
【答案】xA＝2sin(πt) cm xB＝2sincm
【解析】A的位移方程为xA＝2sin(πt) cm，
B的位移方程为xB＝2sincm，
其相位差Δφ＝φB－φA＝，则B的相位比A超前.
13．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v.
(1)求弹簧振子振动的周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm.从平衡位置开始计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像．
【答案】(1)1.0 s (2)200 cm (3)x＝12.5sin(2πt) cm 图见解析
【解析】(1)根据弹簧振子简谐运动的对称性可得
T＝0.5×2 s＝1.0 s.
(2)若B、C之间距离为25 cm，
则振幅A＝×25 cm＝12.5 cm，
振子4.0 s内通过的路程s＝×4×12.5 cm＝200 cm.
(3)根据x＝Asin ωt，A＝12.5 cm，ω＝＝2π得
x＝12.5sin(2πt) cm.
振动图像如图所示．
14．如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距30 cm.小球经过O点向右运动时开始计时，经过0.4 s第一次回到O点．
(1)写出小球的振动方程；
(2)求1.0 s内小球通过的路程及1.0 s末小球的位移大小．
【答案】(1) x＝0.15sin(2.5πt) m (2)0.75 m 0.15 m
【解析】(1)振子从O到第一次回到O所用时间t＝0.4 s，
所以周期为T＝2t＝0.8 s，
设振幅为A，由题意得BC＝2A＝30 cm，
可得A＝15 cm＝0.15 m，
则振动方程为x＝Asint＝0.15sin (2.5πt) m．
(2)振子在1个周期内通过的路程为4A，
因t＝1.0 s＝1.25T，故振子在1.0 s内通过的路程
s＝5A＝5×15 cm＝75 cm＝0.75 m，
1.0 s末小球的位移为x＝0.15 m．
