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24.1.2垂直于弦的直径 教学设计
1.探究
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？
结论证明：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
从前面的证明我们知道,如果⊙O的直径CD⊥AB，垂足为M ，那么点A与B对称点.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧
这样，我们就得到垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
几何语言：
垂径定理的几个基本图形：
定理辨析：
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
定理推论
如果把垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦”的题设与结论交换一下，所得命题是否成立？
所得命题：
已知：AB是⊙O的一条弦， 作直径CD，使AM=BM.
求证（1）CD⊥AB
（2）
垂径定理推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
几何语言：
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
例 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？
练习
1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径.
三、课堂小结
在利用垂径定理解题时，通常需要作____，构造__________，
把____定理和____定理结合起来，容易得到圆的半径r，弦心距d，和弦长
a之间的关系式.
四、作业布置
见精准作业设计中小学教育资源及组卷应用平台
24.1.2垂直于弦的直径 教学设计
一、教学目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论.
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
重点：理解垂直于弦的直径的性质和推论.
难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
二、教学过程
探究
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？
可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
结论证明：
要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上.
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，
∵ OA=OA′
∴ △OAA′是等腰三角形
又 AA′⊥CD
∴ AM=MA′
即CD是AA′的垂直平分线
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.即
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
从前面的证明我们知道,如果⊙O的直径CD⊥AB，垂足为M ，那么点A与B对称点.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧
线段: AE=BE
这样，我们就得到垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
几何语言：
∵ CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E.
∴ AE=BE，.
垂径定理的几个基本图形：
定理辨析：
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
（1）是
（2）不是，因为没有垂直
（3）是
（4）不是，因为CD没有过圆心
定理推论
如果把垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦”的题设与结论交换一下，所得命题是否成立？
所得命题：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦.
已知：AB是⊙O的一条弦， 作直径CD，使AM=BM.
求证（1）CD⊥AB
（2）
证明: （1）连接AO,BO,则AO=BO
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）
∴∠AEO=∠BEO=90°
∴CD⊥AB
（2）由垂径定理可得
垂径定理推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
几何语言：
∵ CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦(不是直径)，且AE=BE
∴ CD⊥AB，
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？
解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.
由题设可知，AB=37m，CD=7.23m
所以，AD=AB=×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2
即 R2=18.52+(R-7.23)2
解得 R≈27.3(m)
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m
练习
1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径.
解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA.
∴ AE=BE=AB=×8=4(cm)
在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+OE2=AO2
即 42+32=AO2
解得 AO=5cm
因此，⊙O的半径为5cm.
三、课堂小结
在利用垂径定理解题时，通常需要作___弦心距___，构造___直角三角形_______，
把__ 垂径 __定理和_ 勾股___定理结合起来，容易得到圆的半径r，弦心距d，和弦长
a之间的关系式.
四、作业布置
见精准作业设计
五、板书设计
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
几何语言：
∵ CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E.
∴ AE=BE，.
垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
几何语言：
∵ CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦(不是直径)，且AE=BE
∴ CD⊥AB，中小学教育资源及组卷应用平台
课前诊测
如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB=60°，则弦AB的长为 cm.
精准作业
必做题
1.如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若MC=2，则AB的长为 .
2.如图，AB是⊙O的弦,C为AB的中点，OC的延长线交⊙O于点D.若CD=2，AB=12,求⊙O的半径.
解：如图，连接AO
.
选做题
如图，已知⊙O的半径为10cm,弦AB的长为16cm，
P为AB延长线上一点，BP=4cm，则OP= cm.
参考答案
课前诊测
如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB=60°，则弦AB的长为 4 cm.
精准作业
必做题
1.如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若MC=2，则AB的长为 8 .
2.如图，AB是⊙O的弦,C为AB的中点，OC的延长线交⊙O于点D.若CD=2，AB=12,求⊙O的半径.
解：如图，连接AO
设⊙O的半径R，则OA=R,OC=R-2
∵C为AB的中点
∴ AC=BC=AB=×12=6
∵OC⊥AB
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2+OC2=AO2
即 （R-2）2+62=R2
解得 R=10
因此，⊙O的半径为10.
选做题
如图，已知⊙O的半径为10cm,弦AB的长为16cm，
P为AB延长线上一点，BP=4cm，
则OP= cm.(共15张PPT)
人教版.九年级上册
24.1.2垂直于弦的直径
学习目标
学习目标：
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论.
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
重点：理解垂直于弦的直径的性质和推论.
难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
实验发现
实验：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
结论：
自主探究
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
●O
要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线（对称轴）的对称点也在圆上.
如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意一点.
过点A作AA’⊥CD,交⊙O于
点A’，垂足为M,连接OA,OA’.
结论证明
在△OAA’中，∵OA=OA’
∴△OAA’是等腰三角形.
∵ AA’⊥CD
∴AM=AM ’
即CD是AA ’的垂直平分线，因此⊙O关于直线CD对称.
·
O
B
C
D
M
A
从前面的证明我们知道,如果⊙O的直径CD⊥AB，垂足为M ，那么点A与B对称点.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
这样我们就得到了垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，AB为弦
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
几何语言：
垂径定理
CD⊥AB于点E，
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
A
B
O
D
C
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
定理辨析
如果把垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦”的题设与结论交换一下，所得命题是否成立？
所得命题：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦.
·
O
A
B
D
M
C
已知：AB是⊙O的一条弦，
作直径CD，使AM=BM.
求证（1）CD⊥AB
（2）
定理推论
⌒
⌒
AC 与BC相等吗？
⌒
⌒
AD与BD相等吗？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD
⌒
⌒
⌒
⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）
∴∠AEO=∠BEO=90°
∴CD⊥AB
推论论证
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
⌒
⌒
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
·
O
A
B
C
D
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
∵ CD是直径，AB是弦（不是直径） 且AM=BM,
∴CD⊥AB，
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
几何语言：
垂径定理推论
37m
7.23m
例 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径.
人教版初中数学《垂直于弦的直径》ppt精美（PPT优秀课件）
例题讲解
解：用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足.
由垂径定理可得，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高．
A
C
D
B
O
AD= AB=18.5，
R
18.5
OD=OC-CD=R-7.23
在Rt△AOD中，
∵ OA2=AD2+OD2
R-7.23
∴R2=18.52+(R-7.23)2
解得 R≈27.3
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m．
例题讲解
如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，圆心O到AB的距离为3㎝，求圆O的半径.
解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA.，
AE=4cm OE⊥AB OE=3cm
在Rt△OEA中，根据勾股定理得：
AO2=OE2+AE2=32+42=25
AO=5cm
巩固练习
在利用垂径定理解题时，通常需要作______，构造__________，把____定理和____定理结合起来，容易得到圆的半径r，弦心距d，和弦长
a之间的关系式____________.
弦心距
直角三角形
垂径
勾股
解题方法：
数学思想：
转化思想、
方程思想、
分类讨论的数学思想.
课堂小结
谢谢！
