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24.2.2 直线与圆的位置关系（2） 导学案
学习目标：
1.能用“数量关系”确定“位置关系”的方法推导切线的判定定理.
2.能判定一条直线是否为圆的切线；能从逆向思维的角度理解切线的性质定理．
3.掌握切线的判定定理和性质定理，并能解决相关的计算与证明问题．（重难点）
一、复习引入
思考： 直线和圆的位置关系有哪几种？
____个公共点 ____个公共点 ____个公共点
直线与圆_____ 直线与圆_____ 直线与圆_____
二、推进新课
1.生活中的数学
1. 下雨天快速转动雨伞时，水滴顺着伞的什么方向飞出去的？
2. 砂轮打磨零件时，溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的
思考1：如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l⊥OA ，则直线l与⊙O的位置关系怎样？为什么？
条件一：______________________
条件二：______________________
切线的判定定理：
_____________________并且__________________的直线是圆的切线.
几何符号表达：
∵ OA是________，OA______l于点A ∴ l是⊙O的___________.
思考2：改变切线判定定理的题设与结论：
如果直线l是⊙O的切线，切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
切线的性质定理： 圆的切线_________于过__________的半径.
几何符号表达： ∵直线l________⊙O于点A， ∴OA________l .
例1：如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.
求证：AC是⊙O的切线.
三、当堂练习
1.如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是( )
A．∠A＝50°，∠C＝40°
B．∠B－∠C＝∠A
C．AB2＋BC2＝AC2
D．⊙A与AC的交点是AC中点
2.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB.若∠B＝35°，则∠AOB的度数为( )
A．65°
B．55°
C．45°
D．35°
3． 如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
如图，已知⊙O的半径为2，AC与⊙O相切，连接AO并延长，交⊙O于点B，过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，连接BD，若∠A＝30°，则弦BD的长为( )
A．3
B．5
C．
D．
5.如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C作OA的平行线，交⊙O于点D，连接AD.
求证：AD为⊙O的切线.
四、课堂小结
本节课，你学到了什么，结合你的收获回答问题.
1.切线的判定定理:
经过_________的外端并且_________于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理：
圆的切线___________于过__________的半径.
五、作业布置
见精准作业布置单.中小学教育资源及组卷应用平台
24.2.2 直线与圆的位置关系（2） 教学设计
教学目标
1.能用“数量关系”确定“位置关系”的方法推导切线的判定定理.
2.能判定一条直线是否为圆的切线；能从逆向思维的角度理解切线的性质定理．
3.掌握切线的判定定理和性质定理，并能运用圆的切线的判定和性质解决相关的计算与证明问题．
教学重点
探索圆的切线的判定和性质，并能运用它们解决与圆的切线相关的计算和证明等问题．
教学难点
探索圆的切线的判定方法和解决相关问题时怎样添加辅助线．
教学过程
一、复习引入
思考： 直线和圆的位置关系有哪几种？
_0_个公共点 _1_个公共点 _2_个公共点
直线与圆___相离__ 直线与圆___相切__ 直线与圆__相交___
二、推进新课
1.生活中的数学
1. 下雨天快速转动雨伞时，水滴顺着伞的什么方向飞出去的？
2. 砂轮打磨零件时，溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的
均沿着圆的切线的方向飞出．
思考1：如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l⊥OA ，则直线l与⊙O的位置关系怎样？为什么？ 可以看出，圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，直线l就是⊙O的切线.
条件一：直线l 经过半径OA的外端点A.
条件二：直线l 垂直于半径OA.
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
几何符号表达：
∵ OA是半径，OA⊥l于点A ∴ l是⊙O的切线.
思考2：改变切线判定定理的题设与结论：
如果直线l是⊙O的切线，切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径.
几何符号表达： ∵直线l切⊙O于点A， ∴OA⊥l .
例1：如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.
求证：AC是⊙O的切线.
证明：连接OD,作OE⊥AC 于E .
∴∠OEC=90°.
∵ AB是⊙O的切线, ∴OD⊥AB.
∴∠ODB=90 ° =∠OEC.
∵AB=AC ,∴∠B=∠C.
∵O是BC的中点， ∴OB=OC .
∴△OBD≌△OCE(AAS), ∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.
三、课堂练习
1.如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是( D )
A．∠A＝50°，∠C＝40°
B．∠B－∠C＝∠A
C．AB2＋BC2＝AC2
D．⊙A与AC的交点是AC中点
2.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB.若∠B＝35°，则∠AOB的度数为( B )
A．65°
B．55°
C．45°
D．35°
3． 如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是( A )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
4．如图，已知⊙O的半径为2，AC与⊙O相切，连接AO并延长，交⊙O于点B，过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，连接BD，若∠A＝30°，则弦BD的长为( C )
A．3
B．5
C．
D．
5.如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C作OA的平行线，交⊙O于点D，连接AD.求证：AD为⊙O的切线.
解：连接OD，∵∠OAB＝30°，∠B＝90°，∴∠AOB＝60°，
又∵CD∥AO，∴∠C＝∠AOB＝60°，又∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°－60°－60°＝60°，
又∵OB＝OD，AO＝AO，
∴△AOB≌△AOD，∴∠ADO＝∠ABO＝90°，
又∵点D在⊙O上，∴AD是⊙O的切线.
四、课堂小结
本节课，你学到了什么，结合你的收获回答问题.
1.切线的判定定理:
经过___半径__的外端并且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理：
圆的切线__垂直__于过___切点___的半径.
五、作业布置
见精准作业布置单.
六、板书设计
右边板书
24.2.2 直线与圆的位置关系（2） 作图板书
1.切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
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课前诊测
1.已知圆O的直径是2，圆心到直线l的距离d＝，则直线l与圆O的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
2.如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？
精准作业
必做题
1．下列直线为圆的切线的是( )
A．与圆有公共点的直线 B．垂直于圆半径的直线
C．到圆心的距离等于半径的直线 D．过圆直径外端点的直线
如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，
PO交⊙O于点B，AP＝4，OA＝3，则线段BP的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，AB为⊙O直径，D为⊙O上一点，BC⊥CD于点C，交⊙O于点E，CD与BA的延长线交于点F，BD平分∠ABC.求证：CD是⊙O的切线．
4．如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D. 求证：(1)BE＝CE； (2)EF为⊙O的切线．
5.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E.
(1)求证：△CBA≌△DAB；
(2)若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB.
探究题
如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，∠ABC＝60°.
(1)⊙O的直径为____cm；
(2)若D是AB延长线上一点，连接CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切？
(3)若动点E以2 cm/s的速度从点A出发沿着AB方向运动，同时动点F以1 cm/s的速度从点B出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0＜t＜2)，连接EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形？
参考答案
课前诊断
B
过点C作AB的垂线段CD.∵AC＝4，AB＝8，∠ACB＝90°，
∴BC＝4，又CD·AB＝AC·BC，
∴CD＝2，当半径长为2cm时，AB与⊙C相切.
精准作业
C 2. A
3.证明：连接OD.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，
又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.
又∵BC⊥CD，∴∠C＝90°，∴∠DBC＋∠BDC＝90°，
∴∠ODB＋∠BDC＝90°，即OD⊥DC，且OD是圆O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
4.证明：(1)∵四边形ACBE是圆内接四边形，∴∠EAM＝∠EBC，
∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM，
又∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EBC，∴BE＝CE.
(2)如图，连接EO并延长交BC于点H，连接OB，OC，
∵OB＝OC，EB＝EC，∴直线EO垂直平分BC，∴EH⊥BC，
∵EF∥BC，∴EH⊥EF.
∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线.
解：(1)证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△CBA与Rt△DAB中，
∴Rt△CBA≌Rt△DAB(HL)
∵BE＝BF，BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE，
∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，
∴∠E＋∠BAE＝90°，由(1)知∠D＝90°，∴∠DAF＋∠AFD＝90°，
∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，
∴∠DAF＝∠BAE，∴AC平分∠DAB.
探究题
解：(1) 4
(2)如图①，CD切⊙O于点C，连接OC，则OC＝OB＝AB＝2 cm.
∵CD⊥CO，∴∠OCD＝90°.∵∠BAC＝30°，∴∠COD＝2∠BAC＝60°，
∴∠D＝180°－∠COD－∠OCD＝30°，∴OD＝2OC＝4 cm，
∴BD＝OD－OB＝4－2＝2(cm).即当BD长为2 cm时，CD与⊙O相切.
根据题意，得BE＝(4－2t)cm，BF＝t cm.
如图②，当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时∠BEF＝30°，
∴BF＝BE，即t＝(4－2t)，解得t＝1；
如图③，当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时∠BFE＝30°，BE＝BF，
即4－2t＝t，解得t＝1.6.∴当t为1 s或1.6 s时，△BEF为直角三角形.
