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24.2.2 直线与圆的位置关系（3） 导学案
学习目标：
1. 理解切线长的概念；
2.掌握切线长定理；
3.会运用切线长定理解决一些简单的几何问题；
一、复习旧知
1. 直线和圆有哪些位置关系？
2. 如何判断直线和圆相切？(常用方法)
二、新知探究
探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？
思考：切线与切线长有什么区别.
合作交流 请同学们小组合作，完成以下问题：
（1）图中的线段 PA 与 PB 有什么关系？
（2）图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？
如何验证我们的猜想是否正确？
已知：如图 PA 与 PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.
求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.
探究二：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能最大化利用三角形废料呢？
请类比三角形的外心，填一填.
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三、小试牛刀
1.若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 又能得出什么新的结论
2.若延长 PO 交☉O 于点 C，连接 CA、CB，还能得出什么新的结论
3.如图，△ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB = 8，BC = 15，CA = 12，求 AF、BD、CE 的长.
四、课堂小结
本节课你有什么收获？还有哪些困惑？
五、布置作业
见精准作业单中小学教育资源及组卷应用平台
24.2.2 直线与圆的位置关系（3） 教学设计
学习目标：
1. 理解切线长的概念；
2.掌握切线长定理；
3.会运用切线长定理解决一些简单的几何问题；
教学重难点：
重点：切线长定理的理解和运用
难点：切线长定理的证明，以及在复杂几何图形中识别和运用切线长定理解决问题.
一、复习旧知
1. 直线和圆有哪些位置关系？
相离、相交、相切.
2. 如何判断直线和圆相切？(常用方法)
(1) 数量关系法(证明 d = r)；
(2) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
二、新知探究
探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？
归纳：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长( PA 和 PB ).
思考：切线与切线长有什么区别.
合作交流 请同学们小组合作，完成以下问题：
（1）图中的线段 PA 与 PB 有什么关系？
猜想：PA = PB
（2）图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？
猜想：∠APO = ∠BPO
如何验证我们的猜想是否正确？
测量，翻折，证明.
已知：如图 PA 与 PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.
求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.
证明：连接 OA、OB.
∵PA，PB 与 ⊙O 相切，点 A，B 是切点.
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠OAP = ∠OBP = 90°.
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△AOP≌Rt△BOP(HL).
∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.
切线长定理：
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
几何语言：
∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B，
∴ PA = PB，∠OPA = ∠OPB.
探究二：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能最大化利用三角形废料呢？
如图，已知△ABC.求作：和△ABC 的各边都相切的圆 I.
1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
如：☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形.
请类比三角形的外心，填一填.
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 外心到三顶点的距离相等； 2.外心不一定在三角形的内部．
内心：三角形内切圆的圆心 三角形三条角平分线的交点 内心到三边的距离相等； 2.内心在三角形内部．
三、小试牛刀
1.若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 又能得出什么新的结论
结论：OP 垂直平分 AB.
证明：∵ PA，PB 是☉O 的切线，
点 A，B 是切点，
∴ PA = PB ，∠OPA =∠OPB.
∴△PAB 是等腰三角形，
PM 为顶角的平分线.
∴ OP 垂直平分 AB.
2.若延长 PO 交☉O 于点 C，连接 CA、CB，还能得出什么新的结论
结论：CA = CB.
证明：∵ PA，PB 是☉O 的切线，
点 A，B 是切点，
∴ PA = PB ，∠OPA =∠OPB.
∴ PC = PC.
∴ △PCA≌△PCB.
∴ AC = BC.
3.如图，△ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB = 8，BC = 15，CA = 12，求 AF、BD、CE 的长.
解：设 AF = x ，则 AE = x .
∴ CE = CD = AC - AE = 8 - x，
BF = BD = AB - AF = 12 - x.
由 BD + CD = BC，可得
(12 - x) + (8 - x) = 15，
∴ AF = 2.5 ，BD = 9.5 ，CE = 5.5 .
解决本题的关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
四、课堂小结
本节课你有什么收获？还有哪些困惑？
五、布置作业
见精准作业单
六、板书设计
24.2.2 直线与圆的位置关系（3）
1.切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
∵ PA、PB 分别切
☉O 于 A、B，
∴ PA = PB，
∠OPA = ∠OPB.
2.相关辅助线：
①分别连接圆心和切点；
②连接两切点；
③连接圆心和圆外一点(共19张PPT)
24.2.2 直线与圆的位置关系（3）
人教版九年级（上）
1. 理解切线长的概念；
2.掌握切线长定理；
3.会运用切线长定理解决一些简单的几何问题；
教学重难点：
重点：切线长定理的理解和运用
难点：切线长定理的证明，以及在复杂几何图形中识别和运用切线长定理解决问题.
学习目标
1. 直线和圆有哪些位置关系？
2. 如何判断直线和圆相切？(常用方法)
相离、相交、相切.
(1) 数量关系法(证明 d = r)；
(2) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
复习旧知
探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？
你还有其他的画法吗？
新知探究
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长( PA 和 PB ).
归纳总结
思考：切线与切线长有什么区别.
（1）图中的线段 PA 与 PB 有什么关系？
猜想：PA = PB
（3）如何验证我们的猜想是否正确？
（2）图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？
猜想：∠APO = ∠BPO
测量，翻折，证明.
合作交流
请同学们小组合作，完成以下问题：
证明：连接 OA、OB.
∵PA，PB 与 ⊙O 相切，点 A，B 是切点.
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠OAP = ∠OBP = 90°.
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△AOP≌Rt△BOP(HL).
∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.
已知：如图 PA 与 PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.
求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.
试用文字和几何语言叙述你所发现的结论.
切线长定理：
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
几何语言：
∵ PA、PB 分别切
☉O 于 A、B，
∴ PA = PB，
∠OPA = ∠OPB.
归纳总结
1.若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 又能得出什么新的结论
结论：OP 垂直平分 AB.
证明：∵ PA，PB 是☉O 的切线，
点 A，B 是切点，
∴ PA = PB ，∠OPA =∠OPB.
∴△PAB 是等腰三角形，
PM 为顶角的平分线.
∴ OP 垂直平分 AB.
小试牛刀
2.若延长 PO 交☉O 于点 C，连接 CA、CB，还能得出什么新的结论
结论：CA = CB.
证明：∵ PA，PB 是☉O 的切线，
点 A，B 是切点，
∴ PA = PB ，∠OPA =∠OPB.
∴ PC = PC.
∴ △PCA≌△PCB.
∴ AC = BC.
小试牛刀
探究二：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能最大化利用三角形废料呢？
最大化利用
里圆面积最大
里圆与三边相切
新知探究
与三角形三边都相切
三个内角的平分线的交点
圆心到三边距离都相等
M
N
I
如图，已知△ABC.求作：和△ABC 的各边都相切的圆 I.
新知探究
1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B
A
C
I
如：☉I 是△ABC 的内切圆，
点 I 是△ABC 的内心，
△ABC 是☉I 的外切三角形.
新知探究
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1.外心到三顶点的距离相等；2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条角平分线的交点
1.内心到三边的距离相等；2.内心在三角形内部．
请类比三角形的外心，填一填.
归纳总结
3.如图，△ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB = 8，BC = 15，CA = 12，求 AF、BD、CE 的长.
AF = AE
BF = BD
CD = CE
☉O 为三角形内切圆
设未知数求解
小试牛刀
解：
设 AF = x ，则 AE = x .
∴ CE = CD = AC - AE = 8 - x，
BF = BD = AB - AF = 12 - x.
由 BD + CD = BC，可得
(12 - x) + (8 - x) = 15，
∴ AF = 2.5 ，BD = 9.5 ，CE = 5.5 .
解得 x = 2.5.
解决本题的关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
切线长
原理
切线长定理
三角形的内接圆
作用
辅助线
重要结论
应用
图形的轴对称性
提供了证线段和
角相等的新方法
①分别连接圆心和切点；
②连接两切点；
③连接圆心和圆外一点
内心的概念及性质
将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程
课堂小结
布置作业
见精准作业单！
谢谢大家！中小学教育资源及组卷应用平台
24.2.2 直线与圆的位置关系（3） 精准作业设计
课前诊断
如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( )
A. B.2 C.2 D.3
精准作业
必做题
2.如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA，PC 是 ⊙O 的切线，A，C 为切点，∠BAC = 30°.
(1) 求∠P 的大小；
(2) 若 AB = 2. 求 PA 的长(结果保留根号).
3.如图，☉O 为△ABC 的内切圆，AC = 10，AB = 8，BC = 9，点 D，E 分别为 BC，AC 上的点，且 DE 为☉O 的切线，求△CDE 的周长.
如图，已知 △ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连接 OB，OD. 若∠ABC = 40°，求∠BOD 的度数.
探究题
5.已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》—书中给出了计算公式--海伦公式 (其中 a，b，c 是主角形的三边长，，S 为三角形的面积)，并给出了证明.例如：在△ABC 中，a= 3，b = 4，c = 5，那么它的面积可以这样计算：
∵ a= 3，b = 4，c = 5，∴=6.
∴.
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在 △ABC 中，BC = 5，AC = 6，AB = 9.
(1) 用海伦公式求△ABC 的面积；
(2) 求△ABC 内切圆的半径 r.
精准作业答案
1.解：B
2.解：(1) PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，
∴ PA⊥AB. ∴∠BAP = 90°.
∵∠BAC = 30°，
∴∠CAP = 90°-∠BAC = 60°.
又∵PA、PC 切⊙O 于点 A、C，
∴PA = PC. ∴△PAC 为等边三角形.
∴∠P = 60°.
(2) 如图，连接 BC，则∠ACB = 90°.
在 Rt△ACB 中，AB = 2，∠BAC = 30°.
∴ BC = 1，AC = ，∠PAC = 60°.
∴ △PAC 为等边三角形.
∴ PA = AC.
∴ PA = .
3.解：
1
4.解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，
∴ OB 平分∠ABC，OD⊥BC.
∴ BC=
∴∠BOD = 90°-∠OBD = 70°.
解：(1)∵ BC = 5，AC = 6，AB = 9，
的面积是
的内切圆半径是
