2024-2025学年山东省烟台市高一上学期期中学业水平诊断数学试题（含答案）

2024-2025学年山东省烟台市高一上学期期中学业水平诊断数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
4.下列各组函数中是同一个函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
5.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数与在同一坐标系下的大致图象如图所示，则函数的图象可能为( )
A. B. C. D.
7.已知是定义在上的偶函数，，且对，，都有
，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.若集合的三个子集、、满足，则称为集合的一组“亲密子集”已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，均为实数，下列命题正确的有( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数，则( )
A. 在上单调递减 B. 的值域为
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
11.已知函数的定义域为，区间，若存在非零常数，使得对任意，，都有，则称函数是区间上的“衰减函数”下列说法正确的有( )
A. 函数是上的“衰减函数”
B. 若函数是上的“衰减函数”，则的最大值为
C. 已知函数为偶函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最大值为
D. 已知函数为奇函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数为奇函数，则实数的值为 ．
13.若函数的最小值为，则实数的取值范围为 ．
14.已知函数在上的最大值为，则的值为 令，，若用且将区间分成个小区间，且恒成立，则实数的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
若，求
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数
若函数在上单调递增，求实数的取值范围
求函数在区间上的最小值．
17.本小题分
已知某工厂生产一种电子元件，每年需投入固定成本万元，当年产量为单位：万件时，需额外投入可变成本单位：万元根据市场调研，每个元件售价为元在年产量不超过万件时，在年产量超过万件时，假设该元件的年销量等于年产量．
注：年利润年销售收入固定成本可变成本
求年利润关于年产量的函数解析式
当为何值时，年利润最大最大年利润是多少
18.本小题分
若定义在上的函数满足．
求函数的解析式
用定义法证明：在区间上单调递减
已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数利用上述结论，求函数图象的对称中心注：
19.本小题分
已知函数的定义域为，且对定义域内任意，都有．
设，证明：函数为偶函数
若满足：当时，．
(ⅰ)求不等式的解集
(ⅱ)若，使得对，都有，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：由得，，所以．
当时，，
，
所以或．
因为“”是“”的充分不必要条件，所以，．
令，得，
因为，解得，所以．
所以，且，解得．
16.解：当时，，单调递增
当时，，
函数在上单调递增，
若函数为上的增函数，只需解得．
当时，函数，对称轴为．
所以，当，即时，函数在上单调递增，
所以
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
综上，当时，的最小值为
当时，的最小值为．
17.解：当时，．
当时，
所以
当时，，
当时，单调递增，当时，单调递减所以，
当时，，
当且仅当，即时取“”．
因为，
当该电子元件的年产量为万件时，最大年利润为万元．
18.解：因为，
将上式中的用替代，得，
得：，所以．
任取，且，
则

，
因为，所以，，， ，，
所以，所以函数在区间上单调递减；
设函数图象的对称中心为，则函数为奇函数，
，
因为，代入整理得，对任意恒成立所以，且，
解得，．
所以，函数图象的对称中心为．
19.解：由，得，
令，得，所以．
令，得，所以．
令，得．
又的定义域关于原点对称，
所以是上的偶函数．
由知，．
，且，
，
因为，当时，，所以，
又，所以，即．
所以，在上单调递减．
因为，
所以，即．
因为为偶函数，在上单调递减，且，
所以，
又，，解得或所以，
不等式的解集为．
由，得，
即，对恒成立，
所以．
因为在上单调递减，，所以．
所以，使得成立，即成立，
令，，则或．
即，解得或
由，解得或．
所以或，即的取值范围是
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