2024-2025学年重庆市“名校联盟”高一上学期第一次联合考试数学试题（含答案）

2024-2025学年重庆市“名校联盟”高一上学期第一次联合考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中正确的
A. 与表示同一个集合；
B. 方程的所有解的集合可表示为；
C. 由，，组成的集合可表示为或；
D. 很小的实数可以构成集合．
2.已知命题：，，命题：，，则
A. ： B. ：，
C. ：， D. ：，
3.设，，则与的大小关系为
A. B. C. D.
4.设集合，，，则
A. B. C. D.
5.“”是“”的
A. 必要不充分条件 B. 充分必要条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若，则关于的不等式的解集为
A. B.
C. D.
7.若对任意，不等式恒成立．则实数的取值范围是
A. B. 或
C. 或 D.
8.若、、是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数的最小值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则
10.若正实数，满足，则下列说法正确的是
A. 有最小值 B.
C. D. 有最大值
11.已知函数，则下列结论正确的是
A. 是奇函数
B. 值域为
C. 当时，恒有成立
D. 若，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是_________．
13.已知，且，则的最小值是_________．
14.设是非空数集，若对任意，都有、，则称集合为一个“完美集”，给出以下命题：
若是一个“完美集”，且，则也为“完美集”；
若、都是“完美集”，且，则也是“完美集”；
若是“完美集”，则可以是有限集；
若、都是“完美集”，则也是“完美集”．
其中说法正确的序号是_________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，
当时，求集合，；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
年重庆市林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围阴影部分均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米。

若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；
若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．
17.本小题分
已知函数
求关于的不等式的解集；
若函数时存在零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，且满足，
求和的值；
判断在上的单调性，并用定义证明；
设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知定义在的函数满足以下条件：
对任意实数，恒有；
当时，；．
求，的值；
若对任意恒成立，求的取值范围；
求不等式的解集．
参考答案
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15.解：解：因为，当时，．
所以，
．
当时，，解得，满足
当时，若，则解得，
综上所述，实数的取值范围为
16.解：设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得，
因为矩形的长比宽至少多米，所以，
所以，解得，
又因为，所以，
所以草坪宽的最大值为米．
设整个绿化面积为，由题意可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故整个绿化面积的最小值为平方米．
17.解：由得，即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
因为在时存在零点，
在时存在实根，
即方程有实根，
令，
令，，，
由对钩函数性质知，在上单调递减，在单调递增。
，，，
所以，
18.解：由函数 满足 ， ，
可得 ，解之得
由得 ，则在 上单调递增，
证明如下：
设任意 ，且 ，则
，
由 ，可得 ，
又 ， ， ，
则 ，则 ，
则 在上单调递增．
对任意的 ，由 在 上单调递增，
可得 ，即 ，
则 在 上的值域为 ，
对称轴 ，
当 时， 在 上为增函数，
值域为 ，
由题意可得 ，则 ，解之得 ；
综上，实数 的取值范围为 ．

19.解：令，则，
由于当时，，所以，
令，可得，即；
对任意恒成立对任意恒成立，
令，以下探讨的取值范围．
令可得，
当时，，则，
时，．
原不等式等价于：在恒成立，
即．
，当时取等号．
．
由可得，，
．
下面证明的单调性：
任取，，且，，
则，
所以函数 在上单调递增，
，
令，在上单调递增，且
，
所以原不等式解集为：．
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