2024-2025学年安徽省十校联考合肥一中高二上学期期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省十校联考合肥一中高二上学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.给出下列命题，其中是真命题的是( )
A. 已知向量组是空间的一个基底，若，则不是空间的一个基底．
B. 若，，则．
C. 若，则是钝角．
D. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面．
3.已知直线与直线，若，则( )
A. B. C. 或 D.
4.如图，在四面体中，点为底面三角形的重心，为的中点，设，，，则在基底下的有序实数组为( )
A. B. C. D.
5.已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论不正确的是( )
A. 圆关于轴的对称圆的方程为
B. 若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为
C. 若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则
D. 若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为
6.已知圆：，圆：，其中，，若两圆外切，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，，，点在圆：上运动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，则( )
A. 直线恒过点
B. 直线的斜率可以为任意负数
C. 点到直线的最大距离为
D. 当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为
10.已知曲线的方程为，则( )
A. 曲线围成的图形面积为
B. 若点在曲线上，则
C. 若圆：包含曲线，则的最小值为
D. 若点，在曲线上，点，则的最大值为
11.已知正方体棱长为，为棱的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得；
B. 存在唯一点，使得；
C. 当，此时点的轨迹长度为；
D. 当为底面的中心时，三棱锥的外接球表面积为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的焦点为、，为椭圆上一点，是的中点，若，则的长等于________．
13.圆：，点，过点作圆的两条切线，分别与圆切于、两点，则直线、的斜率之积为________．
14.在矩形中，，为的中点，将沿直线翻折至的位置，则翻折过程中，直线与所成角的余弦值最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点的坐标为、、．
求边的垂直平分线所在直线的一般式方程；
求的平分线所在直线的一般式方程；
16.本小题分
如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点．
求证：；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知椭圆：，圆过椭圆的左、右顶点和上顶点．
求圆的标准方程；
若直线经过椭圆的右焦点，与圆交于、两点．
(ⅰ)若，求直线的方程；
(ⅱ)直线经过点与圆交于、，且直线与直线相互垂直，求四边形面积的最大值．
18.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，，为侧棱上一点，四边形是过、两点的截面，且 平面．
证明： ；
求平面与平面夹角的余弦值；
是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
19.本小题分
古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．如图，在棱长为的正方体中，点是的中点，点是正方体表面上一动点包括边界，且两直线，与平面所成的角相等．
证明：点的轨迹是阿波罗尼斯圆的一段弧，并求出这段弧的长度；
求的取值范围；
当线段最短时，在线段上是否存在点，使得 平面，若有，请求出平面截正方体的截面周长，若无，说明理由．
参考答案
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15.解：易知的中点为，
，边的垂直平分线的斜率为，
所以边的垂直平分线所在直线的一般式方程为：．
，，
，，
，
即的平分线的一个方向向量为，
故的平分线的斜率为，
所以的平分线所在直线的一般式方程：．
16.证明：连接，
由题意知，为等边三角形，
因为为中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形为菱形，所以，
又，分别为，中点，所以，所以，
因为，、平面，所以平面，
又平面，所以．
解：连接，
因为，，所以为正三角形，所以，
又平面平面垂直，平面平面，平面，
所以平面，
所以，，两两垂直，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，得，
所以点到平面的距离为．
17.解：易知椭圆的左、右顶点的坐标为、，上顶点的坐标为，
设圆的一般方程：，
因为圆过椭圆的左、右顶点和上顶点，
，解得：
故圆的一般方程为：，
标准方程为：
易知椭圆的右焦点，圆心
当直线的斜率不存在时，，此时，符合条件
当直线的斜率存在时，设的斜率为，则即：，
设圆心到直线的距离为，
，解得
，解得，
所以
综上：直线的方程为：或；
如图，过圆心，分别作，，垂足分别为、，
则：， ，且，
，
当且仅当时，取等号．
所以：四边形面积的最大值为
18.解：证明：因为平面，平面，平面平面，
故AC．
取棱长的一半为单位长度，则在中，，，，
根据余弦定理，得得，
故．
又，，平面，平面，
故AC平面取中点，连接，可知，
又因是等边三角形，则，
因为，、平面．
故平面．
如图，以为原点，分别以，为，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，，
设是平面的法向量，则，
取．
因为平面，所以取平面的一个法向量为，
，，
所以此时平面与平面夹角的余弦值为，
假设存在点，使得平面平面．
设，其中
则，
连接，因平面，平面，平面平面，
故 AC，则取与同向的单位向量．
设是平面的法向量，则，
取
由平面平面，知，有，解得．
故在侧棱上存在点且当时，使得平面平面．

19.解：证明：由于是正方体，
两直线，与面所成的角相等，即，
由于，，
即，即，
依题意平面内点到两定点，距离之比为，
故点的轨迹是圆，而点是正方体表面上一动点包括边界，
即点的轨迹是一段阿波罗尼斯圆的圆弧如图所示．
单独考查平面，以所在直线为轴，所在直线为轴，
建立平面直角坐标系，
设点．，、，
，化简得：，
即，
所以点所在圆的方程为，圆心，半径为．
假设其圆心为，且圆心在所在的直线上，圆与交于点，
与交于点，点的轨迹为正方形内的一段弧，
则，，易得：，弧长：，
所以这段弧的长度为．
由得到
，
，，
，而，
，
故的取值范围．
解：由可知，当线段的长最短时，即点在直线上，
故延长交于点，过点做，交于点，交于点，
交于点，连接交于点，所求的截面即为五边形．
以下证明此时即平面，
由于，平面，平面，
所以平面，
故有，，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，，，
所以所求的截面五边形的周长
．
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