2024-2025学年广东省清远市高二上学期期中联合学业质量监测考试数学试题（含答案）

2024-2025学年广东省清远市高二上学期期中联合学业质量监测考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将枚质地均匀的硬币抛掷次，恰好出现次正面向上的概率是( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知空间向量，，，若、、共面，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线，，若关于对称的直线为，则直线的方程是( )
A. B. C. D.
5.已知过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线必过定点( )
A. B. C. D.
6.若直线平分圆，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.在平行六面体底面是平行四边形的棱柱中，有，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是( )
A. 圆和圆关于直线对称
B. 圆和圆的公共弦长为
C. 的取值范围为
D. 若为直线上的动点，则的最小值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙两人各投篮一次，若两人投中的概率都是，且两人是否投中彼此互不影响，则下列判断正确的是( )
A. 两人都投中的概率是 B. 恰有一人投中的概率是
C. 至少有一人投中的概率是 D. 至多有一人投中的概率是
10.已知圆，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，圆与圆外离
B. 当时，是圆与圆的一条公切线
C. 当时，圆与圆有一条公切线是
D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为
11.如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有( )
A. ，使
B. 线段存在最小值，最小值为
C. 直线与平面所成的角恒为
D. ，都存在过且与平面平行的平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，三点共线，则对空间任一点，存在三个不全为的实数，，使，那么的值为 ．
13.已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于，则 ．
14.已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
与直线垂直直线的一个方向向量为与直线平行．
已知直线过点， ．
求直线的一般方程
若直线与圆相交于、，求弦长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，点为棱的中点，．
证明：平面
求点到直线的距离
求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题，为体现公平，制定如下规则：
第一轮回答顺序为甲、乙、丙，第二轮回答顺序为乙、丙、甲，第三轮回答顺序为丙、甲、乙，第四轮回答顺序为甲、乙、丙，，后面按此规律依次向下进行
当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出．
已知每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立．
求一轮中三人全部回答正确的概率
记为甲在第轮胜出的概率，为乙在第轮胜出的概率，求与，并比较与的大小．
18.本小题分
如图，直三棱柱的体积为，的面积为．
求到平面的距离
设为的中点，，平面平面．
(ⅰ)证明：平面
(ⅱ)求二面角的正弦值．
19.本小题分
已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为，分别异于，．
求实数的取值范围
若，用含的式子表示四边形的面积
当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程．
参考答案
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15.解：选：
因为直线的斜率为，
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，
即；
选：
因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，
即；
选：因为的斜率为，
又因为直线与平行，所以直线的斜率为，
依题意，直线的方程为：，
即；
圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离为，
则，
即弦长为．
16.解：取的中点，连接，，如图．
和分别为和的中点，
，且，
又底面是直角梯形，，，
且即四边形为平行四边形，
，．
平面，平面，
平面．
因为，，
所以，
因为底面，
所以，又，为平面内两条相交直线，
所以平面，
又在平面内，
所以，
因为为的中点，
所以点到直线的距离为，
因为，所以，
所以到直线的距离为．
由知，因为，为的中点，
所以，
由知平面，平面，
所以，，为平面内两条相交直线，
所以平面，，
所以平面，
所以与平面所成角为，其余弦值为．
17.解：设一轮中三人全回答正确为事件．
则，
甲在第一轮胜出的概率为，
即，
依题意，，，
，
所以，时，，
，时，，
，时，，
同理：，时，，
，时，，
，时，，
，时，
，，时，
，时，
18.解：设到平面的距离为，
因为直三棱柱的体积为，即可得，
故，
又，
解得，所以到平面的距离为；
连接，因为直三棱柱中，，
故四边形为正方形，即，
又平面平面，平面平面，平面，
故平面，
又平面，所以，
又因为，平面，且，
故平面；
(ⅱ)由平面，平面，则，
所以三条直线两两垂直，
故如图建立以为原点的空间直角坐标系，
设，，则，
由条件可得，解得
则，，，，的中点，
所以，，
设平面的一个法向量为，
，取，
同理可求得平面的一个法向量为，
所以，，
所以二面角的正弦值为
19.解：圆的半径为，
因为直线与圆交于，两点，
所以圆心到直线的距离，解得，
则的取值范围为；
当时，设，，则，，
由，得，
所以，，，
所以，
因为四边形为直角梯形，
所以四边形的面积为：
；
证明：由，，得，，且直线，的斜率存在，
当时，由知，，
，，
直线，直线，
因为，相交，
所以，即，，
所以，解得，
联立，的方程，得
，
，
所以，
故点在定直线上运动．
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