2024-2025学年江苏省南通市部分地区高二上学期11月期中调研测试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年江苏省南通市部分地区高二上学期11月期中调研测试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 157.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-13 07:21:51 | ||
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文档简介
2024-2025学年江苏省南通市部分地区高二上学期11月期中调研测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过两点的直线的一个方向向量为，则( )
A. B. C. D.
2.若直线与直线垂直，则( )
A. B. C. D.
3.在空间四边形中，设，，，点为的中点，点为的中点，则( )
A. B.
C. D.
4.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知圆，圆，则圆与圆的公切线条数为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的两个焦点与短轴的两个端点在同一个圆上，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知直线，圆，若圆上有且仅有一个点到直线的距离为，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆，直线与椭圆在第二象限交于，两点，与两坐标轴分别交于，两点，且，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线和圆，则( )
A. 直线的倾斜角为 B. 直线与两坐标轴围成的三角形面积为
C. 直线被圆截得的弦长为 D. 圆被直线截得的优弧与劣弧弧长之比为
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且的最大值为，最小值为，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的离心率为
B. 的周长为
C. 若，则的面积为
D. 的取值范围是
11.在棱长为的正方体中，点在线段上，点在线段上，则( )
A. 当为的中点，为的中点时，平面
B. 当为的中点时，
C. 当平面时，的最小值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且与直线平行的直线方程为 ．
13.若过点的圆与两坐标轴都相切，则该圆的标准方程为 ．
14.已知曲线是椭圆，则该椭圆的离心率为 为上任意一点，与点之间的距离的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，．
求的外接圆方程
若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离．
16.本小题分
如图，直三棱柱的所有棱长均为，，分别是，的中点．
证明：平面平面
求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
已知圆．
若直线经过点，且与圆相切，求直线的方程
设点，点在圆上，为线段的中点，求的轨迹的长度．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，且离心率为．
求椭圆的方程
直线经过且与椭圆交于，两点，证明：当且仅当直线与圆相切时，．
19.本小题分
如图，是等边三角形，为等腰直角三角形，将沿翻折到位置，且点不在平面内如图点在线段上不含端点．
证明：
直线与所成角的余弦值为．
当直线与平面所成角为时，求
设平面与平面的夹角为，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：设线段，的垂直平分线分别为，，
因为，所以的斜率为，
又线段的中点为，
所以的方程为，即．
因为，所以的斜率为，
又线段的中点为，
所以的方程为，即．
设的外接圆圆心为，半径为，
联立解得，
所以，，
所以的外接圆方程为．
因为点关于直线的对称点为，所以，
因为，所以直线的方程为，即，
所以点到直线的距离为．
16.解：因为，是中点，所以．
平面，结合平面，可得．
因为，，平面，
所以平面C.
因为平面，
所以平面平面C.
设为中点，则，，两两垂直，以为坐标原点，为基底，
如图建立空间直角坐标系．
则，，，．．
设平面的法向量为，则，取，
所以，，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
17.解：圆的标准方程为，
圆心，半径．
当直线的斜率不存在时，的方程为，
圆心到的距离，所以，
直线与圆相切，符合题意．
当直线的斜率存在时，
设的方程为，即，
所以圆心到的距离．
由，得，解得，
所以直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
设，，
因为为线段的中点，
所以得，
因为点在圆上，所以，
化简，得，
即的轨迹方程为，
所以的轨迹的长度为．
18.解：由题意，椭圆半焦距且，
所以，又，
所以椭圆方程为．
由得，圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，直线，，不符合题意．
当直线的斜率存在时，设，
先证：当直线与圆相切时．
设直线，即．
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，解得
联立得，
所以
所以．
根据对称性，当直线的方程为时，．
再证：仅当直线与圆相切时，
即证当时，直线与圆相切．
设直线，
联立得，所以
所以
，解得，
得直线，即，
圆的圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切．
综上，当且仅当直线与圆相切时，．
19.证明：设为线段的中点，连接，，
因为，，
所以，，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
解：因为为等腰直角三角形，，
所以，
因为是等边三角形，
所以，
设，，，
则，，，
因为，，
所以，
所以，
解得或，
因为，
所以，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，为基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
则，
设，得，，
设平面的法向量为，
则，取，
所以，，
因为直线与平面所成角为，
所以，解得不合题意，舍，
所以；
设平面的法向量为，
则，取，
所以，，
令，则，且，
因为时，，
所以，，
所以的取值范围为．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过两点的直线的一个方向向量为，则( )
A. B. C. D.
2.若直线与直线垂直，则( )
A. B. C. D.
3.在空间四边形中，设，，，点为的中点，点为的中点，则( )
A. B.
C. D.
4.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知圆，圆，则圆与圆的公切线条数为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的两个焦点与短轴的两个端点在同一个圆上，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知直线，圆，若圆上有且仅有一个点到直线的距离为，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆，直线与椭圆在第二象限交于，两点，与两坐标轴分别交于，两点，且，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线和圆，则( )
A. 直线的倾斜角为 B. 直线与两坐标轴围成的三角形面积为
C. 直线被圆截得的弦长为 D. 圆被直线截得的优弧与劣弧弧长之比为
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且的最大值为，最小值为，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的离心率为
B. 的周长为
C. 若，则的面积为
D. 的取值范围是
11.在棱长为的正方体中，点在线段上，点在线段上，则( )
A. 当为的中点，为的中点时，平面
B. 当为的中点时，
C. 当平面时，的最小值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且与直线平行的直线方程为 ．
13.若过点的圆与两坐标轴都相切，则该圆的标准方程为 ．
14.已知曲线是椭圆，则该椭圆的离心率为 为上任意一点，与点之间的距离的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，．
求的外接圆方程
若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离．
16.本小题分
如图，直三棱柱的所有棱长均为，，分别是，的中点．
证明：平面平面
求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
已知圆．
若直线经过点，且与圆相切，求直线的方程
设点，点在圆上，为线段的中点，求的轨迹的长度．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，且离心率为．
求椭圆的方程
直线经过且与椭圆交于，两点，证明：当且仅当直线与圆相切时，．
19.本小题分
如图，是等边三角形，为等腰直角三角形，将沿翻折到位置，且点不在平面内如图点在线段上不含端点．
证明：
直线与所成角的余弦值为．
当直线与平面所成角为时，求
设平面与平面的夹角为，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：设线段，的垂直平分线分别为，，
因为，所以的斜率为，
又线段的中点为，
所以的方程为，即．
因为，所以的斜率为，
又线段的中点为，
所以的方程为，即．
设的外接圆圆心为，半径为，
联立解得，
所以，，
所以的外接圆方程为．
因为点关于直线的对称点为，所以，
因为，所以直线的方程为，即，
所以点到直线的距离为．
16.解：因为，是中点，所以．
平面，结合平面，可得．
因为，，平面，
所以平面C.
因为平面，
所以平面平面C.
设为中点，则，，两两垂直，以为坐标原点，为基底，
如图建立空间直角坐标系．
则，，，．．
设平面的法向量为，则，取，
所以，，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
17.解：圆的标准方程为，
圆心，半径．
当直线的斜率不存在时，的方程为，
圆心到的距离，所以，
直线与圆相切，符合题意．
当直线的斜率存在时，
设的方程为，即，
所以圆心到的距离．
由，得，解得，
所以直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
设，，
因为为线段的中点，
所以得，
因为点在圆上，所以，
化简，得，
即的轨迹方程为，
所以的轨迹的长度为．
18.解：由题意，椭圆半焦距且，
所以，又，
所以椭圆方程为．
由得，圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，直线，，不符合题意．
当直线的斜率存在时，设，
先证：当直线与圆相切时．
设直线，即．
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，解得
联立得，
所以
所以．
根据对称性，当直线的方程为时，．
再证：仅当直线与圆相切时，
即证当时，直线与圆相切．
设直线，
联立得，所以
所以
，解得，
得直线，即，
圆的圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切．
综上，当且仅当直线与圆相切时，．
19.证明：设为线段的中点，连接，，
因为，，
所以，，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
解：因为为等腰直角三角形，，
所以，
因为是等边三角形，
所以，
设，，，
则，，，
因为，，
所以，
所以，
解得或，
因为，
所以，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，为基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
则，
设，得，，
设平面的法向量为，
则，取，
所以，，
因为直线与平面所成角为，
所以，解得不合题意，舍，
所以；
设平面的法向量为，
则，取，
所以，，
令，则，且，
因为时，，
所以，，
所以的取值范围为．
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