2024-2025学年福建省漳州市十校联盟高二上学期期中质量检测联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省漳州市十校联盟高二上学期期中质量检测联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D. 不存在
2.等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
3.数列满足，则( )
A. B. C. D.
4.若方程表示圆，则( )
A. B. C. D. 或
5.已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知一小球从地面竖直向上射出到高度后落下，每次着地后又弹回到前一次高度的处，则该小球第次落地时，经过的路程为( )
A. B. C. D.
7.已知曲线，是曲线上一动点，则( )
A. 曲线围成的图形有条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长为
C. 的最大值为 D. 曲线上任意两点间的距离不大于
8.曲线上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两直线与，则( )
A. 直线过定点 B. 直线在轴上的截距为
C. 当时， D. 当时，与之间的距离为
10.已知数列的前项和为，，且，则( )
A. B. 数列为递减数列
C. 数列为等差数列 D. 数列的前项和为
11.已知，圆，点为圆上一动点，且点为线段的中点，则( )
A. 的取值范围为 B. 点的轨迹方程为
C. 直线的斜率的最大值为 D. 当点在圆上时，点的横坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列中，，，则 ．
13.已知点，在直线上，且，两点到原点的距离均小于或等于，则的最大值为 ．
14.对于任意给定的一个正整数，将分母小于或等于的既约最简真分数按照自左至右递增排列，并在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，该数列称为阶数列，记为，其项数记为，各项的和记为如下，给出，，，，在中，有，．
，
，，
，，，，
，，，，，，
，，，，，，，，，，
已知，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点为，，．
求边上的高所在直线的方程
直线经过点，且，两点到直线的距离相等，求直线的方程．
16.本小题分
已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
求过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程
求圆的方程．
17.本小题分
已知数列是等差数列，为的前项和，且，．
求与
记集合，，若将中所有元素从小到大依次排列成一个新的数列，为前项和．
(ⅰ)求
(ⅱ)求满足的最小正整数的值．
18.本小题分
过原点的直线与圆交于，两点，且点．
过点作圆的切线，求切线的方程
求弦的中点的轨迹方程
设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
19.本小题分
已知半圆，圆，作圆与半圆，圆，轴均相切，点，且
求的周长
证明：为等比数列
证明：对任意正整数，．
参考答案
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15.解：直线 的斜率为 ，
所以的斜率为 ，
所以边上的高所在直线的方程为 ，即．
因为直线经过点，且，两点到直线的距离相等，所以直线与直线平行，或过线段的中点，
若直线 与直线 平行，则直线 的方程为 ，即．
线段的中点坐标为 ，
若直线 过 ，则直线 的方程为 ，即 ．

16.解：当直线过原点时，直线的斜率为，此时直线的方程为．
当直线不过原点时，可设直线的方程为．
因为直线过点，
所以，
解得．
此时直线的方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．
直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为．
又线段的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为．
由解得即圆心．
又圆的半径为，
所以圆的方程为．
17.解：设等差数列的公差为，由，得
解得所以，．
与集合相比，元素间隔大，
所以在集合中加入几个中的元素来考虑．
．
考虑到，
，
，
易知为递增数列，
则满足的最小正整数的值为．
18.解：当直线的斜率不存在时，直线与圆相离，不符合题意．
当直线的斜率存在时，可设直线，即．
因为直线与圆相切，圆的圆心，半径，
所以，即，
解得，或．
所以直线的方程为，或．
因为点，为过原点的直线与圆的交点点，且点弦的中点，
所以由圆的性质知：点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为，
所以点的轨迹方程为
当直线的斜率不存在时，其方程为，
此时点，的坐标为，
所以．
当直线的斜率存在时，可设其方程为．
设，，
由联立，得．
由，得，
所以
．
综上所述，为定值．
19.解：因为圆，圆与轴均相切，且圆的圆心坐标为，
所以圆的半径为，圆的半径为．
又圆，圆均与半圆相内切，圆与圆相外切，
所以，．
所以的周长为：．
依题意，有，，，
得
即．
消去，得，
整理，得，
两边同时减去，得．
依题意，易得，所以，即．
所以．
所以为等比数列，首项为，公比为．
由得，，．
令，则当时，．
要证，
即证，
即证．
当时，
当且仅当时，等号成立
当且仅当时，等号成立
．
所以，
，得证．
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