2024-2025学年福建省龙岩市一级校联盟高二上学期11月期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年福建省龙岩市一级校联盟高二上学期11月期中联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.公差不为的等差数列中，，则的值不可能是( )
A. B. C. D.
3.已知数列，，，则( )
A. B. C. D.
4.从含有件次品的件新产品中，任意抽取件进行检验，抽出的件产品中恰好有件次品的抽法种数为( )
A. B. C. D.
5.已知点关于直线对称的点在圆上，则( )
A. B. C. D.
6.数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型斐波那契数列，，，，，，，，，这个数列的前两项都是，从第三项起，每一项都等于前面两项之和请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是( )
A. B. C. D.
7.已知圆，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是( )
A. 圆关于轴的对称圆的方程为
B. 若反射光线与圆相切于点，与轴相交于点，则
C. 若反射光线平分圆的周长，则反射光线所在直线的方程为
D. 若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为
8.已知数列的前项和为，，，且关于的不等式有且仅有个解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的展开式的第项与第项系数的和为，则( )
A. B. 展开式的各项系数的和为
C. 展开式的各二项式系数的和为 D. 展开式的常数项为第项
10.传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是( )
A. 名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为
B. 名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为
C. 名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为
D. 名同学分成三组每组至少有两人，进行三种不同的训练，则有种不同的训练方法
11.已知圆和圆其中正确的结论是( )
A. 当时，圆和圆有条公切线
B. 若圆与圆相交，则的取值范围为
C. 若直线与圆交于，两点，且为坐标原点，则实数的值为
D. 若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，则所有满足条件的点的坐标为或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆，圆，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 ．
13.已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与，不重合，则的值为 ．
14.在数列相邻的每两项中间插入这两项的平均数，构造成一个新数列，这个过程称为原数列的一次“平均拓展”，再对新数列进行如上操作，称为原数列的二次“平均拓展”已知数列的通项公式为，现在对数列进行次“平均拓展”，得到一个新数列，记为与之间的次平均拓展之和，为与之间的次平均拓展之和，，则 依此类推，将数列，，，，经过次“平均拓展”后得到的新数列的所有项之和记为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的值
求的值．
16.本小题分
已知的三个顶点的坐标分别是，，．
求的面积
求外接圆的方程．
17.本小题分
已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且．
求和的通项公式
设数列的前项和为，证明：．
18.本小题分
已知圆和点．
点在圆上运动，且为线段的中点，求点的轨迹曲线的方程．
设为中曲线上任意一点，过点向圆引一条切线，切点为．
(ⅰ)求的取值范围．
(ⅱ)试探究：在轴上是否存在定点异于点，使得为定值若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值若不存在，请说明理由．
19.本小题分
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字命名的函数称为高斯函数，函数，其中表示不超过的最大整数例如：，，已知数列满足，
求．
证明：数列是等比数列．
求的个位数．
参考答案
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15.解：展开式的通项，
令，得，得．
令，得
令，得，
所以．
16.解：已知，，
直线的斜率，
则直线的方程为，
点到直线的距离．
又，
所以的面积．
设外接圆的方程为，把点，，的坐标代入圆的方程，
得
可得
所以圆的方程为．
17.解：数列的前项和，当时，，
当时，，
因为也适合上式，
所以．
设数列的公比为，因为，
所以，解得，
又，所以．
证明：由题意得
设数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则
，
，
所以，
两式相减得，
所以，
故．
18.解：设，，
则，
因点在圆上运动，所以，
，
即点的轨迹曲线的方程为
依题意得直线与圆相切于点，所以，
当为坐标原点，，三点共线时，取得最大值和最小值，
所以的取值范围为
(ⅱ)设为曲线：上任意一点，
假设存在轴上定点异于点满足条件，设，
则对恒为定值，
则，且或舍，
所以存在轴上定点使得为定值．
19.解：．
证明：由题可得为正整数，则，
所以数列为递增数列，
当时，．
当时，，即，
所以，即．
由，
结合，均为正整数，可得，
其中，而，故，其中
所以，由，得，
所以，故数列是以为首项，为公比的等比数列．
解：由可得，，
因为是的倍数，
所以，
故的个位数为．
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