2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗一中高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.平面内点到、的距离之和是，则动点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
2.已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.如图，三棱柱中，为棱的中点，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.若直线平分圆的周长，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知圆与圆关于直线对称，则的方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知，分别是椭圆的左右焦点，点在此椭圆上，则的周长是( )
A. B. C. D.
7.已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆：上的动点和定点，，则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：和直线：，下列说法正确的是( )
A. 始终过定点 B. 若，则或
C. 若，则或 D. 当时，始终不过第三象限
10.在棱长为的正方体中，点分别是线段，线段，线段上的动点包含端点，且则下列说法正确的有( )
A. 平面
B. 异面直线与所成的最大角为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 当四棱锥的体积最大时，该四棱锥外接球的表面积为
11.已知点在圆上，点，，则( )
A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时， D. 当最大时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围为______．
13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为 ．
14.已知圆：，若直线上总存在点，使得过点的圆的两条切线夹角为，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆和圆．
Ⅰ求证：圆和圆相交；
Ⅱ求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长．
16.本小题分
已知动点与两个定点，的距离的比是．
求动点的轨迹的方程
直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程．
17.本小题分
已知，是椭圆的两个焦点，，为上一点．
求椭圆的标准方程；
若为上一点，且，求的面积．
18.本小题分
在四棱锥中，底面，，，，．
证明：
求与平面所成的角的正弦值．
19.本小题分
已知椭圆：的右焦点为，短轴长为直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
求椭圆的方程；
证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：Ⅰ证明：根据题意，圆，其圆心为，半径，
圆，其圆心为，半径，
圆心距，
由于，则圆和圆相交；
Ⅱ根据题意，联立两个圆的方程，有，即两圆公共弦的方程为，
点到的距离，
故公共弦的弦长．
16.解：设点，则，
化简得，即，
所以动点的轨迹的方程为
由可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
可计算得圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，圆心到直线的距离是，不符合条件，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以，化简得，解得或，
所以直线的方程是或．
17.解：不妨设椭圆的焦距为，
因为，
所以，
解得，
即，，
此时，，
由椭圆的定义可得，
则，
故椭圆的标准方程为；
因为，
所以，
解得，
则．
18.解：如图所示，取中点为，连接，，则．
又，所以四边形为平行四边形．
又，
所以四边形为菱形，所以．
同理可得，四边形为菱形，所以，
所以．
因为底面，底面，所以，
又，平面，所以平面．
因为平面，所以．
由知，又，所以，
所以三角形为正三角形．
过点作垂直于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
则，，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，所以．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
19.解：因为椭圆的右焦点为，短轴长为，
所以，，
又，
解得，
则椭圆的方程为；
证明：不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为为线段的中点，
所以，
此时，
则，
因为，
所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
若四边形为平行四边形，
此时，
所以，，
因为点在椭圆上，
所以，
解得，
故当四边形为平行四边形时，直线的斜率为．
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